Var (XY), si X e Y son variables aleatorias independientes [duplicado]

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Comentarios

¿ ¿Tiene alguna idea sobre esto usted mismo? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ sería incorrecto; considere un $ X $ constante casi seguro distinto de cero
No señor. Sé que Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 y E (XY) = E (X) E (Y) ya que X, Y son independientes pero no tengo idea de X ^ 2 e Y ^ 2 son independientes o no.
Si $ X $ y $ Y $ son independientes, $ X ^ 2 $ y $ Y ^ 2 $ también son independientes y $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
Caso de producto general aquí: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (el producto de 2 se da en la pregunta)
Muchas gracias Glen_b

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Puedes seguir los comentarios de Henry para llegar a la respuesta. Sin embargo, otra forma de llegar a la respuesta es usar el hecho de que si $ X $ y $ Y $ son independientes, luego $ Y | X = Y $ y $ X | Y = X $ .

Por expectativas iteradas y expresiones de varianza

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ texto {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}

Comentarios

$ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ puede ser correcto, pero es extrañamente no simétrico como $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ sería. Hubiera pensado $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ sería más natural mientras que $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ también sería cierto
@Henry Bueno, usando $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, obtenemos $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Eso ' s simétrico.

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