¿Cómo puedo calcular la varianza de p derivada de una distribución binomial? Digamos que lanzo n monedas y obtengo k caras. Puedo estimar p como k / n, pero ¿cómo puedo calcular la varianza en esa estimación?
Estoy interesado en esto para poder controlar la varianza en mis estimaciones de razón cuando estoy comparando puntos con diferentes números de ensayos. Estoy más seguro de la estimación de p cuando n es mayor, por lo que me gustaría poder modelar qué tan confiable es la estimación.
¡Gracias de antemano!
ejemplo:
- 40/100. El MLE de p sería 0.4, pero ¿cuál es la varianza en p?
- 4/10. El MLE aún sería 0.4, pero la estimación es menos confiable, por lo que debería haber más varianza en p.
Responder
Si $ X $ es $ \ text {Binomial} (n, p) $, entonces MLE de $ p $ es $ \ hat {p} = X / n $.
Una variable binomial se puede considerar como la suma de $ n $ variables aleatorias de Bernoulli. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ donde $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
para que podamos calcular la varianza del MLE $ \ hat {p} $ como
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Entonces, puede ver que la varianza de la MLE se vuelve más pequeña para $ n $ grandes, y también es más pequeña para $ p $ cerca de 0 o 1. En términos de $ p $ se maximiza cuando $ p = 0.5 $.
Para algunos intervalos de confianza, puede consultar Intervalos de confianza binomial
Comentarios
- Creo que el enlace es similar a lo que ' estoy buscando, pero quiero un valor que sea equivalente a la varianza de p. ¿Cómo puedo obtener eso del intervalo de confianza?
- Edité mi respuesta original para responder más de cerca a su pregunta.
- ¿Cómo maneja que la fórmula de la varianza requiere p pero usted solo tienes una estimación de p?
- Podrías considerar usar una transformación estabilizadora de varianza como $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ y luego obtienes que la varianza de la variable transformada es $ \ tfrac {1} {4n} $