Afledning af reduceret masse [duplikat]

System med to kroppe kan analyseres mere simpelt ved hjælp af reduceret masse, da problemet stort set reduceres til en enkelt krop. Den første tilnærmelse kan opnås ved at antage, at m1 >> m2, såsom en planet, der kredser om stjernen, fordi tyngdepunktet falder sammen med m1. Således kan det antages, at den tunge krop er i ro og lettere bevæger sig rundt om den.

Afledning: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {være en masse og placering af den massive krop og} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {den lettere.} $$

$$ \ text {Det antages, at} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Kraften mellem masserne (tyngdekraften) afhænger af placeringsforskellen vektorer}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ tekst {hvor}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {er kraft på krop 1 på grund af krop 2} $$ I vores tilnærmelse antager vi, at den tunge masse er ved hvile ved oprindelse. Således: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Og ligning af bevægelse bliver: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ som kan løses for at opnå position.

For at opnå “ægte” bevægelse viser det sig, at vores tilnærmelse kan gøres nøjagtig ved at overveje centrum af massen (CM). (som er en masse vægtet gennemsnit af positionerne for to masser i dette tilfælde) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Vi vil antal opkald} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {reduceret masse} $$ $$ \ text {Dermed}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Det kan let vises, at netto ekstern kraft på systemet er lig med total masse gange accelerationen af centrum af massen. Hvis du ikke er overbevist, har jeg skrevet før en sådan afledning i denne POST

Da det antages, at der ikke er nogen eksterne kræfter til stede (kraften tyngdekraften mellem masserne “tæller” som den indre), bevæges massepunktet med konstant hastighed. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ antyder \ frac {d \ vec r} {dt} = konst. $$ Lad CM tages som oprindelse for et inerti-koordinatsystem. Således er positionen for de to masser givet ved: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implicerer \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ antyder \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Siden}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ tekst {vi får:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ antyder \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ antyder \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Derfor er ligninger af bevægelse}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W Dette er vores ligning opnået tidligere i vores tilnærmelse med reduceret masse. Bemærk, at hvis m1 >> m2 reduceret masse er næsten den samme som m2.

Denne bevægelse af tolegemsystem består af dens CM og bevægelse omkring den. Bevægelsen omkring den kan beskrives i form af en enkelt, reduceret masse, der bevæger sig rundt om et fast centrum.