For at starte med det er et hjemmearbejdsproblem, ganske langvarigt.
En massepartikel svarende til 208 gange massen af en elektron bevæger sig i en cirkulær bane omkring en kerne af ladning $ + 3e $. Forudsat at Bohr-modellen af atomet kan anvendes på dette system,
- Udled et udtryk for en radius på $ n $ th Bohr-bane.
- Find værdien af $ n $ for hvilken radius er lig med radierne af den første brintbane.
- Find bølgelængden af stråling, der udsendes, når en roterende partikel springer fra den tredje bane til den første.
Nu lavede jeg den første del og fik svaret korrekt. Her er hvad jeg gjorde.
Antag at massen af partiklen, der roterer, er $ M $, dens hastighed er $ v $ og $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatisk kraft er den centripetale kraft Derfor
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Fra Bohr-modellen,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
hvor $ h $ er Plancks konstant. Derfor
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Kvadratere det,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Ligning med de to ligninger, der har $ v ^ 2 $ i sig ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Efter at have løst for $ r $, får vi noget som dette,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Alt ovenstående er korrekt. Problemet er i anden og tredje del; når jeg lægger $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $, får jeg IKKE det nødvendige svar. For at nærme mig den tredje del startede jeg med standard Rydberg-ligningen,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Jeg tilsluttede hver værdi, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; men igen fik ikke svaret korrekt.
Svaret på den anden del er 25 $ (n = 25) $; og til den tredje er 55,2 picometre.
Svar
For at besvare den anden del:
Vi kender $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Første del har en fejl, da det er
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ antyder & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Vi kender også Bohr-radiusen:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ ca. 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Derfor kan vi skrive og annullere:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ derfor & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ derfor & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
Den tredje del:
Rydberg-formlen gives som
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
med Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstant defineret for en foton udsendt af en elektron. Vi antager, at kernens masse er 7 atomenheder (tre protoner + fire neutroner). I betragtning af at $ m_p \ ca. 1836m_e $ når vi frem til
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nu skal Rydberg-konstanten ændres for at inkludere masse af partiklen:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Med $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), fik jeg til $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Uden at tage den reducerede masse i betragtning, dvs. $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ Jeg ankom til $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Begge værdier er rimeligt tæt på den givne løsning.
(Hvis spørgsmålet virkelig handlede om muon, er det mere nøjagtige vægtforhold 206,77 og de tilsvarende bølgelængder 55,1 pm og 56,0 pm.)