Brug af Wikipedia-version af Bekenstein-bundet og erstatning af Wikipedia-værdierne for elektron masse og radius , opnår man 0,0662 bits. Betyder dette virkelig, at et system, ethvert system, der er placeret inde i en kugle på størrelse med et elektron, og som ikke vejer mere end et elektron, er næsten bestemt? Hvad med en elektron i sig selv? Behøver man ikke mindst et par bits for at karakterisere en elektrons opførsel i magnetisk rum?
(Jeg er en professionel matematiker, men jeg ved meget lidt om fysik, jeg er sikker på, at jeg mangler noget indlysende her …)
Kommentarer
- Det betyder kun, at en fysiker er kommet med en anden " Det ' er ikke engang falsk! " udsagn. Indtil nogen taber 16 elektroner i et sort hul og kan bevise eksperimentelt, at ' er det laveste tal til at gemme en hel bit i systemet, er det ' simpelthen intet andet end en meningsløs erklæring.
- " klassisk elektronradius " isn ' t klassisk og isn ' t en elektronradius. Så vidt vi ved, er elektronen en punktlignende partikel. Der er empiriske øvre grænser for dens størrelse (hvis den har intern struktur), som er langt mindre end den klassiske elektronradius.
Svar
Du har fundet en detaljeret måde til beregning af $ 2 \ pi \ alpha / \ ln 2 \ ca. 0,0661658 $. Her repræsenterer $ \ alpha \ approx 1/137 $ finstrukturskonstanten .
De punkter, der skal bemærkes, er at:
A) Bekensteins bund definerer det maksimale antal nats af information, der kan indeholdes i en sfærisk region som omkredsen af den region opdelt af den reducerede Compton-bølgelængde forbundet med den samlede energi indeholdt i dette område,
og
B) den klassiske elektronradius er lig med den fine struktur konstant gange den reducerede Compton-bølgelængde af elektron.
Vil du foretage din beregning igen ved hjælp af elektronmassen og elektronens reducerede Compton-bølgelængde, får du en værdi på $ 9.0647 $ bits. Du vil dog opnå nøjagtig den samme værdi for et proton eller uanset hvilken anden elementær eller sammensat partikel du måtte vælge. Jeg vil ikke lægge nogen fysisk betydning for disse resultater.
Tilføjet: Vi har for øjeblikket ikke en konsistent kvantegravitationsteori, og vi har ikke engang en idé om, hvad der ville være de grundlæggende frihedsgrader i en sådan teori. Derfor løfter enhver udsagn som svar på spørgsmål som “hvor mange bits / nats information der kan knyttes til en elektronmasse” at føre til vrøvl. Når det er sagt, virker det holografiske (Bekenstein-Hawking / sorte hul) mere i stand til at give rimelige kundeemner. Brug af $ 4 \ pi $ gange kvadratet af elektronens reducerede bølgelængde som område i BH-bundet fører til et informationsindhold på $ S / k = \ pi \ hbar c / G m ^ 2 $ nats. Her betegner $ m $ elektronmassen. Dette resultat for “informationsindholdet i et volumen, der er stort nok til at indeholde en elektron”, er i det væsentlige kvadratet af forholdet mellem Planck-massen og elektronmassen. At “en masse nats.
Kommentarer
- Jeg brugte den tredje ligning i WP-artiklen da.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound . Jeg forstår, at ln 2 kommer fra nat / bit-konverteringen, men at ' allerede er der i WP, og kan ' t tage højde for de to størrelsesordener mellem de 9,06 bits, du har beregnet, og de 0,066 bits, som WP-formlen giver. Når du siger " don ' t vedhæft nogen fysisk betydning " siger du, måske på et mere høfligt sprog, det samme som @Jerry Schirmer sagde, nemlig at båndet ikke er gyldigt i denne skala?
- @StudentT – de to størrelsesordener kommer fra finstrukturskonstanten (forskellen mellem at bruge den klassiske elektronradius og Compton-radius på Elektronen. Bundlinjen er: beregningen fører til en cirkulær ræsonnement voi d af fysik.
- Kære @Johannes, lad mig stille spørgsmålet på en ikke-cirkulær måde: givet et fysisk system, der passer ind i et elektron og ikke har mere masse / energi end en elektron, hvad er det maksimale antal skelne tilstande, den kan have? Måske kan fysik (endnu) ikke give en grænse. Jeg var oprindeligt interesseret i et enklere spørgsmål: givet et system, der tager nøjagtigt 1 bit at karakterisere, hvor lille kan det være?Men så troede jeg, det ville være en god fornuftskontrol at se på Bekenstein-formlen for noget eksisterende system og fandt det ret overraskende resultat, som jeg skrev ovenfor.
- @StudentT – det ser ud til, at du leder efter en estimat baseret på BH-bundet. Har tilføjet tekst til mit svar ovenfor. Håber det hjælper.
- Kære @Johannes, tak! Det hjælper selvfølgelig, men det tilføjer også noget til min forvirring, idet svaret kommer ud som $ 2.587 \ cdot 10 ^ {45} $ bits, større end hvad wikipedia har for en sfære med en radius på 6,7 cm (se afsnittet " Den menneskelige hjerne " i da.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound). Dette er ikke at sige, at WP altid er 100% nøjagtig, men i matematikafsnittet, som jeg ' er mere fortrolig med generelt set mange kyndige mennesker ser artikler over og ikke ' Lad ikke uhyrlige ting glide forbi. Under alle omstændigheder er din indsats for at afklare dette meget værdsat!
Svar
Man kan ikke tage resultater sådan for alvorligt på den skala, som en elektron ville anvende på. Især den klassiske generelle relativistiske model, anvendt naivt på et punktmasselektron, fortæller dig, at elektronen har for stor ladning og vinkelmoment til at have en sort hulhorisont, og ville i stedet være den eksotiske type genstand, der kaldes en nøgen singularitet.
Kommentarer
- Før jeg stillede spørgsmålet, tjekkede jeg først Bekenstein ' s forklaring på Scholarpedia. Hans metode til at udlede det bundne er ved at droppe objektet (i dette tilfælde elektronen) i et sort hul. Det er ikke klart for en udenforstående som mig hvilken del af denne afledning ikke at tage alvorligt.
- @StudentT: han ' sænker det ned i et sort hul ' s horisont. Hvis du tager generel rel ativity for at være sandt helt ned til en elektron ' s skala, der er ingen horisont, så ingen af Bekensteins ' ligninger gør enhver mening, da de alle er baseret på at krydse horisonten.
- Fantastisk, tak! Gælder den samme logik for Hawking-stråling? Det ser ud til at være det samme skala-spørgsmål: du ser på oprettelse af par (formodentlig er parternes medlemmer ikke langt fra hinanden på kvanteskala), når det ene medlem er indeni og det andet uden for begivenhedshorisonten, en sfære, hvis radius er målt på en kosmisk skala? Under alle omstændigheder er det originale spørgsmål lukket, og tak igen.