Det spørgsmål, jeg har fået, er:
Sølvatomer i et metallisk gitter fylder kun $ 88 \, \% $ af pladsen ($ 12 \, \% $ er tom). Tætheden af sølv er $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Hvis vi antager, at sølvatomer er hårde kugler ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, når $ r $ er atomradius), hvad er radius af et sølvatom? Giv svaret i enheder på $ 10 ^ {- 12} $ meter.
Atommassen på $ \ ce {Ag} $ er 107.8682.
Min løsning:
$$ V = 0.88 \ gange V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Så skiftede jeg til $ 10 ^ {12} $ meter, resultatet blev $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $, og det er ikke korrekt. Hvad laver jeg forkert?
Kommentarer
- Jeg ' har tilføjet oplysningerne om atommassen af $ \ ce {Ag} $ i et forsøg på at afklare for dig og andre, hvilke oplysninger du ' har brug for for at kunne løse problemet.
- faktisk Ag krystalliserer i FCC og kuglerne fylder $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ ca. 0.74048 $$
Svar
Hvis du havde inkluderet enhederne i din beregning, ville du have bemærket, hvorfor din ligning ikke er korrekt.
Molær masse $ M $ er defineret som $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ hvor $ m $ er masse og $ n $ er mængden af stof.
Da Avogadro-konstanten $ N_ \ mathrm A $ er $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ hvor $ N $ er antallet af partikler, massen $ m $ af et atom $ (N = 1) $ er $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densitet $ \ rho $ er defineret som $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ hvor $ V $ er volumen.
Således er volumenet af en prøve $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Brug af ligning $ \ text {(3)} $ , kan volumen $ V $ beregnes for et enkelt atom: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Forudsat at en brøkdel af $ 88 \, \% $ af volumen $ V $ er fyldt med en hård kugle, volumen $ V_ \ text {sphere} $ for kuglen er $$ \ begin {align} V_ \ text {sphere} & = 0,88 \ gange V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Da volumenet af en sfære er $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ hvor $ r $ er kuglens radius, radius $ r $ er $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sfære}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$