En prøve af en tilfældig proces gives som:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
hvor $ w (t) $ er en hvid støjproces med $ 0 $ middel og en effektspektraltæthed på $ \ frac {N_0} {2 } $ og $ f_0 $, $ A $ og $ B $ er konstanter. Find autokorrelationsfunktionen.
Her er mit forsøg på en løsning:
Lad $ a = 2 \ pi f_0t $ og $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorrelation af} x (t) & = E \ venstre \ {x (t) x ( t + \ tau) \ højre \} \\ & = E \ venstre \ {\ venstre (A \ cos (a) + Bw (t) \ højre) \ venstre (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ højre) \ højre \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ højre \} + E \ venstre \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ højre \} + E \ venstre \ {AB \ cos (b) (wt) \ højre \} \\ & \ quad + E \ venstre \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ højre \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ højre \} + E \ venstre \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ højre \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ højre \} + B ^ 2 \ venstre (R_w (\ tau) \ højre) \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ højre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ højre) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Forventningsbetingelserne med støj i dem alle er $ 0 $ (den sidste er bare den automatiske korrelation af hvid støj … deraf forenklingen over. Brug af trigonometriske identiteter: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
vi har:
\ begin {align} \ text {Autokorrelation af} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ højre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ højre) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ venstre \ {\ venstre (A ^ 2 \ højre) \ frac 12 \ venstre [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ højre] \ højre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ højre] + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ højre) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Vi har at gøre med konstante termer, så forventningsperioden forsvinder og undergives i vores indledende forhold, vi får: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ venstre [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ højre] + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ højre) (\ delta (\ tau)) $$
Af en eller anden grund kan jeg ikke lade være med at føle, at jeg gjorde noget forkert ved at beregne den autokorrelation … det skulle være en funktion af $ \ tau $, men har en $ t $ er derinde … Jeg ville meget sætte pris på det, hvis nogen kunne pege mig i den rigtige retning eller forklare, hvad jeg ødelagde. Jeg ved ikke, om det betyder noget, men i denne klasse beskæftiger vi os med stationære processer med bred sans.
Kommentarer
- Medmindre du er sikker på, at den tilfældige proces $ x (t) $ er WSS, skal du ikke forvente, at dens ACF skal være en funktion af $ \ tau $ alene. Derfor synes det korrekt her at medtage tidsbetingelserne $ t $. Men jeg tror, at cosinusudtryk inde i $ x (t) $ kan omfatte enten en tilfældig amplitude eller en tilfældig fase, som du glemmer at skrive, så har du muligvis en chance for at slippe af med tidselementet $ t $, hvis du ønsker så meget så …
- Processen $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ er en cyklostationær proces (opfylder stationaritetskravene til de tidsforskydninger, der er multipla af $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) og slet ikke en WSS-proces. Bemærk for eksempel, at selv middelfunktionen $ E [x (t)] $ ikke er en konstant, som den skulle være for en WSS-proces. Som @ Fat32 siger (+1), har du muligvis glemt at medtage en tilfældig fase $ \ Theta $ i din $ x (t) $ definition (den nødvendige egenskab til WS-stationaritet er, at $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, der gælder for $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ eller $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ for $ n = 0,1,2,3 $).
Svar
Jeg gætter dig “har gjort næsten alt rigtigt, men har et problem med beregningen af forventningsværdien vedrørende $ t $. Du skal beregne forventningsværdien for cosinusfunktionen. Desværre” forsvinder den ikke bare “som du skrev.
Se på Wikipedia-siden . Der kan du finde en anden, mere eksplicit formel til funktionen til automatisk korrelation af en funktion $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Bemærk, at jeg i forhold til Wikipedia-siden har taget friheden til at bruge variablen $ t $ i integrationen i stedet for $ u $, whi ch ville være den matematisk mere nøjagtige version.)
Som du kan se fra denne ligning, “integrerer du” afhængigheden af t, og du skal faktisk have en funktion, der er uafhængig af $ t $.
Bemærk, at der også er en version, der ikke går til uendelige tider, men er begrænset til en periode $ T $. Måske er denne version mere passende i dit tilfælde.Det samme gælder dog for denne version: $ t $ er integreret væk og bør ikke være en variabel i den resulterende formel.
Kommentarer
- Dig blander to forskellige forestillinger, når du skriver ” Som du kan se fra denne ligning, integrerer du ” væk ” afhængigheden af $ t $, og du skal faktisk have en funktion, der er uafhængig af $ t $ ”
- Du kan tag også formlen fra Wikipedia-siden uden $ t $ og skriv $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Det vigtige her er i begge tilfælde, at argumentet for funktionen $ f $ er t og er integreret over – derfor har du ikke $ t $ i slutresultatet længere, men kun $ \ tau $.
- @Dilip Du kan også se her ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – dette er dybest set det første resultat efter en simpel google-søgning. Der er på side 22-2 (side 3 i PDF) et eksempel på en autokorrelationsfunktion, der blev beregnet ved hjælp af denne formel og er uafhængig af $ t $. Du kan også finde matematisk ikke så lyd integreret notation på forrige side.
- Det er langt fra mig at stille spørgsmålstegn ved gyldigheden af en formel, som du hævder, kan findes på Wikipedia eller undervises i et MIT online-kursus, men det ser ud til, at i \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} det andet integral på den anden linje (hvis integrand er en konstant wrt $ t $) afviger, medmindre $ \ tau $ tilfældigvis har en værdi sådan, at $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Du har ret, denne integral divergerer. Ikke engang den første integral er meningsfuld, da den ikke konvergerer. Af denne grund er der det sidste afsnit i mit svar.