Bevaring af 4-momentum i særlig relativitet

Jeg forstår, at det indre produkt af to 4-vektorer er bevaret under Lorentz-transformationerne

Ja, $ p_1.p_2 $ er en Lorentz-invariant

Så den absolutte værdi af de fire momentum er den samme i enhver referenceramme.

It i s ikke korrekt at tale om den “absolutte værdi” af en (quadri) vektor. Som er konserveret i en Lorentz-transformation er $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Dette er hvad jeg (sandsynligvis fejlagtigt) troede man at bevare momentum.

Nej, bevarelse af momentum er en helt anden ting. I sidste ende har du nogle teorier, der beskriver felter og interaktioner, og som beskrives ved en handling, der er uforanderlig af nogle symmetrier. Hvis handlingen er uforanderlig af rum- og tidsoversættelser, er der en bevaret mængde, der er momentum / energi.

Jeg forstår ikke, hvorfor ligninger såsom P 1 = P 2 + P 3 (Pi er 4-momentumvektorer for forskellige partikler i en kollision for eksempel) skal holde sig inden for en referenceramme. Jeg har fået at vide, at du ikke bare kan tilføje fire hastigheder sammen ved kollision af partikler, så hvorfor skulle du være i stand til at gøre dette med momentumvektorerne?

Hvis teorihandlingen er uforanderlig af rum- / tidsoversættelser, bevares momentum / energi, så det samlede momentum / energi af de oprindelige partikler er det samme som det samlede momentum / energi af de endelige partikler:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Hvis der er flere indledende partikler, betragtes de som uafhængige (den globale tilstand er tensorproduktet fra tilstande for de oprindelige partikler). Uafhængigheden betyder, at du have:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ hvor summen er abou t alle de oprindelige partikler. En lignende ligning gælder for de endelige partikler.

I særlig relativitet, hvis du tilføjer to hastigheder, skal du bruge formlen

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Så du kan ikke bare tilføje to hastigheder sammen. Normalt er hastighed ikke en god variabel at arbejde med i særlig relativitet. Det er meget nemmere at bruge bevarelse af fire momentum, som simpelthen gives af

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

til en partikelkollision, hvor to partikler med $ p_1 $ og $ p_2 $ kolliderer og klæber sig derefter sammen og har momentum $ p $. Da firemomentet er givet af

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

bevarelse af fire momentum er intet andet end bevarelse af energi $ E $ og bevarelse af tre momentum $ \ vec {p} $.

For at besvare dine spørgsmål:

Hvorfor kan vi tilføjer fire momentum i en partikelkollision? Fordi energi- og momentum-bevarelse også holder i relativitet.

Hvorfor kan “t vi tilføjer fire hastigheder i en partikelkollision? Fordi der ikke er noget, der hedder “hastighedsbevaring”, hverken klassisk eller i relativitet.

Kommentarer

• Dette svar var fantastisk. Jeg har et afklarende spørgsmål – vil $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ være uforanderlig, således $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Du kan bare verificere hver komponent, og de er kun bevart momentum i 3-momentum. Der er ingen bevarelse af hastighed, så du kan ikke tilføje dem sammen.