Bevis for svagere Baker-Campbell-Hausdorff-formel [duplikat]

For det første antager jeg begrænsede dimensionelle operatorer: ellers skal du kontrollere visse begrænsningsbetingelser på operatorerne. Da CBH-serien her er afkortet af de forsvindende dobbelte kommutatorer, vil betingelserne for lineære operatorer på f.eks $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ være milde.

Du skal øve dig på operationer med $ \ mathrm {Ad} $. Slå op på følgende. I Lie-gruppen $ \ mathfrak {G} $ med algebra $ \ mathfrak {g} $ tangensvektoren til stien:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ i \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

ved identiteten er $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Her er $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ til GL (\ mathfrak {g}) $ Adjoint Repræsentation . Det er en Lie-gruppe-homomorfisme fra den generelle Lie-gruppe $ \ mathfrak {G} $ til matricen Lie-gruppen $ GL (\ mathfrak {g}) $. Dens kerne er centrum for $ \ mathfrak {G} $. Da det er en homomorfisme, har vi $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. En anden nyttig identitet er:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

og denne serie er universelt konvergent hvis operatøren $ B \ mapsto [A, \, B] $ er passende afgrænset ( f.eks. $ \ venstre \ | [A, \, B] \ højre \ | \ leq K (A) \, \ venstre \ | B \ højre \ | $ for nogle $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – dette gælder bestemt i begrænsede dimensioner).

Nu ved (1) og egenskaben homomorfisme ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), kan du finde det:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ højre) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Alt ovenstående er perfekt generelt. Du skal specialisere det i din afkortede sag. Så brug den universelt konvergente (og her afkortet til to udtryk) serie (2) for at udvide $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ og trunker det til dit specielle tilfælde, og jeg synes, du skal gøre noget fremskridt.

En pedantisk peeve: selvom begge ordrer for navnet er ret almindelige, er den rækkefølge, der nøjagtigt afspejler den historiske forrang, “Campbell-Baker-Hausdorff”, da hver af forfatterne leverede deres bidrag i 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) og 1906 (Hausdorff ), henholdsvis. Hver var opmærksom på deres forløbere “arbejde, men som anført i Fascicule 16 Ch 1 i Bourbaki (1960),” fandt hver af sine forløbere demonstrationer ikke overbevisende (!) “. Denne erklæring får mig altid til at fnise og giver en vis trøst for, at jeg “Jeg er ikke den eneste med omkring 5% forståelse i læsning af teknisk litteratur (jeg tror, jeg er nødt til at læse et papir ca. 20 gange for at” få “det). En morsom kendsgerning er, at ingen af disse tre faktisk udarbejdede serien. I stedet fastslog de sætningen om, at serien var konvergent inden for et eller andet kvarter på $ \ mathbf {0} $ i Lie-algebraen og kun omfatter lineære og Lie-parentesoperationer. Formlen i sig selv skyldes Dynkin og blev fuldt udarbejdet i 1947!

Kommentarer

• mange tak for svaret! Jeg ' Jeg vil gøre mit bedste for at studere dit svar på trods af min lille indledende viden om løgnegrupper og algebraer.
• @quarkleptonboson I ' har tilføjet endnu et trin til ligning. (3) for at hjælpe dig.Tænk bare på alle operatorerne som firkantede $ N \ gange N $ -matricer, og alle Lie-parenteser og multiplikationer bliver derefter konkrete matrixmultiplikationer. (2) er altid en bogstavelig matrix-effektserie, da gruppen af inverterbare lineære transformationer på $ \ mathfrak {g} $ altid er en matrixgruppe.