Repræsentationen for modellen AR (1) er følgende:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
hvor $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ er en konstant).
Jeg vil forstå de beregninger, der er ligger bag den generelle formel for autokovariansen af AR (1), som er $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Indtil videre gjorde jeg følgende trin – Jeg startede med $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatornavn {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Som du kan se, kan jeg fra dette tidspunkt ikke fortsætte, fordi jeg ikke ved, hvilke værdier der er af $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ og $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Enhver hjælp vil blive meget værdsat. På forhånd tak.
Svar
Lad os skrive $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
da $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (dvs. tidligere output er uafhængig af fremtidig input).
Tilsvarende $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Hvis vi fortsætter på denne måde, får vi $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , hvor $ h \ geq0 $ . Generalisering for negative $ h $ udbytter $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , hvor $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS al denne analyse antager, at $ \ epsilon_t $ er WSS, derfor er $ y_t $ fra LTI-filtreringsegenskaben.
Kommentarer
- der er en skrivefejl i første linje .. identitetstegn placeret forkert.
- I første linje ville jeg udskift 3. ” + ” tegn med ” = ” tegn: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Mens jeg forsøgte at redigere den skrivefejl adresseret af @Jesper, konverterede jeg det specifikke = tegn at + underskrive og gjorde det mere forkert :). Jeg kan se, at årsagen er på grund af gengivelse. Selv om rækkefølgen af tex-udsagn er korrekt, blev de vist i en anden rækkefølge. Under alle omstændigheder har jeg ‘ brugt justeringsudsagn og gjort det meget mere klart. Håber, det ‘ er ok.
- Er udtrykket for betinget auto-kovarians det samme? Det vil sige, gør $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?
Svar
Startende med det, du har angivet:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Hvor $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Vi kan omskrive $ (1) $ as:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Derefter
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Hvis vi lader $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , så er ligning $ (2) $ kan skrives som:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Variance
Variansen for $ (3) $ opnås ved at kvadrere udtrykket og tage forventningerne, hvilket ender med:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Tag nu forventningen:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Hendes e vi kalder:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ er variansen i den stationære proces.
- Det andet udtryk i ligningen til højre er lig med nul, fordi $ \ tilde {y} _ {t-1} $ og $ \ epsilon_ {t} $ er uafhængige og har begge ingen forventning.
- Det sidste udtryk til højre er variansen af innovation, betegnet som $ \ sigma ^ {2} $ (bemærk, at der ikke er nogen abonnement til dette).
Endelig
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Hvis vi løser for variansen af processen, nemlig $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , vi har:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autovarians
Vi skal bruge det samme trick, som vi bruger til formlen $ (3) $ . Autokovariansen mellem observationer adskilt af $ h $ perioder er derefter:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Innovationerne er ukorreleret med de tidligere værdier i serien, derefter $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ og vi står tilbage med:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
For $ h = 1, 2, \ ldots $ og med $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
I det særlige tilfælde af $ AR (1) $ , ligning $ (5) $ bliver:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
Og ved at bruge resultatet fra ligning $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ vi ender med
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Oprindelig kilde: Andrés M. Alonso & Carolina García-Martos dias. Tilgængelig her: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf