For at diagonalisere kvadratisk term i antiferromagnet Heisenberg-modellen kan vi introducere Bogoliubov-transformation: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dolk $, $ b_k ^ \ dolk = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dolk $. Denne transformation kan diagonalisere det kvadratiske udtryk i Hamilton:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begynder {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ ende {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begynder {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begynder {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ start {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begynder {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ ende {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ start {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ ende {pmatrix} \ end {align}
med $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Men transformationen U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ er ikke enhed, fordi $ u_k, v_k $ er reelle, $ U ^ \ dolk \ neq U ^ {- 1} $.
Er antallet af bosoner ikke bevaret , så transformationen måske ikke er enhed? Er der nogen begrænsning for transformation af boson?
Kommentarer
- Det, der betyder noget, er, at der efter transformationen er standardkommuteringsrelationer stadig.
- relateret: physics.stackexchange.com/q/53158
Svar
Du har ret, Bogoliubov-transformation er ikke enhed generelt. Per definition
Bogoliubov-transformationer er lineære transformationer af skabelses- / tilintetgørelsesoperatorer, der bevarer de algebraiske relationer blandt dem.
De algebraiske relationer er hovedsageligt kommuterings- / antikommutationsrelationer som definerer de bosoniske / fermioniske operatorer. Ingen steder i definitionen specificerede vi, at transformationen skulle være enhed. Faktisk er Bogoliubov-transformationen (i sin mest generiske form) symplektisk til bosoner og ortogonal til fermioner . I begge tilfælde er Bogoliubov-transformation enhed. Bogoliubov-transformation af bosoner svarer til den lineære kanoniske transformation af oscillatorer i klassisk mekanik (fordi bosoner er kvanta af oscillatorer), og vi ved, at de lineære kanoniske transformationer er symplektiske på grund af den symplektiske struktur i det klassiske faserum. p> Hvad er begrænsningerne for Bogoliubov-transformationer for at være mere specifikke? Lad os overveje tilfældet med $ n $ enkeltpartikeltilstande for enten bosoner $ b_i $ eller fermioner $ f_i $ (hvor $ i = 1,2, \ cdots, n $ mærker de enkelte partikeltilstande, såsom momentum egenstater). Både $ b_i $ og $ f_i $ er ikke hermitiske operatører, hvilket ikke er praktisk for en generel behandling (fordi vi ikke bare kan behandle $ b_i $ og $ b_i ^ \ dolk $ som det uafhængige grundlag, da de stadig er relaterede af partikelhulstransformationen). Derfor vælger vi at omskrive operatorerne som følgende lineære kombinationer (motiveret af ideen om at nedbryde et komplekst tal i to reelle tal som $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begynd {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dolk & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dolk & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ hvor $ a_i = a_i ^ \ dolk $ og $ c_i = c_i ^ \ dolk $ (for $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) er hermitiske operatorer (analogt med reelle tal).De skal arve pendlings- eller antikommutationsrelationer fra de “komplekse” bosoner $ b_i $ og fermions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dolk] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dolk, b_j ^ \ dolk] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dolk \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dolk, f_j ^ \ dolk \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ hvor $ g_ {ij} ^ a $ og $ g_ {ij} ^ c $ kaldes undertiden kvantemetrik for henholdsvis bosoner og fermioner. I matrixformer gives de af $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ højre] \ qquad g ^ c = \ venstre [\ start { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ med $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ er $ n \ times n $ identitetsmatrix. Så for at bevare de algebraiske forhold mellem skabelses- / tilintetgørelsesoperatorerne er at bevare kvantemetrik . Generelle lineære transformationer af operatorerne $ a_i $ og $ c_i $ har form af $$ a_i \ til \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ til \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ hvor transformationsmatrixelementerne $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ skal være reelle for at sikre, at operatørerne $ a_i $ og $ c_i $ forbliver Hermitian efter transformationen. For at bevare kvantemetrikken er det derefter at kræve $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Så enhver reel lineær transformation, der opfylder ovenstående betingelser, er en Bogoliubov-transformation i den mest generelle forstand. Afhængigt af egenskaben ved kvantemetrikken er Bogoliubov-transformationen enten symplektisk eller ortogonal. For den bosoniske kvantemetrik er $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymmetrisk , så transformation $ W ^ a $ er symplektisk . For den fermioniske kvantemetrik er $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symmetrisk , så transformationen $ W ^ c $ er ortogonal .
Kommentarer
- Kan nogen anbefale en ressource for at lære mere om denne formalisme, dvs. nedbrydning af skabelses- / tilintetgørelsesoperatorerne som ” komplekse tal ” og bevarelse af kvantemetrik?
Svar
Enhed med en kvantemekanisk transformation bestemmes ikke af, hvordan den blander skabelses- og tilintetgørelsesoperatorer. (Det betyder ikke noget, hvilken slags matrix — ortogonal, symplektisk eller enhed — er involveret i blandingen!) Snarere en bør undersøge, om transformationen er associeret med en enhedsoperatør, der handler på Hilbert-rummet.
Den citerede Bogoliubov-transformation OP kan repræsenteres som følger ($ \ textbf {k} $ – afhængighed undertrykkes): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dolk}, \\ \ hat {b} ^ {\ dolk} \ \ \ \ højrepil \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dolk}, $$ hvor $ \ lambda $ er et reelt tal. Denne transformation er enhed, hvis og kun hvis der findes en enhedsoperatør $ U $ sådan at $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Disse forhold er faktisk opfyldt med følgende valg: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dolk} \ hat {a} ^ {\ dolk}) \ Big], $$ så transformationen er enhed.
Svar
Lad mig arbejde på denne del af matrixligningen $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ ende {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begynder {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begynder {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begynder {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ ende {pmatrix} $$ Den vigtige del er, at transformationen af felterne kan ses såvel som en trans dannelse af matrixen $$ \ Gamma ~ = ~ \ begynder {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begynder {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dolk \ Gamma M, $$ hvor $ M ^ \ dolk ~ = ~ M $. Determinanten for dette er $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Determinanten på $ M $ giver derefter $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Disse kan derefter repræsenteres af $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ og $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Evaluer nu kommutatoren $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dolk_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dolk_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dolk_k]. $$ For kommuatorerne $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $, og vi ser derefter $ [a_k, ~ a_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $. Det samme holder tydeligt $ [b_k, ~ b_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $ Dette betyder, at ethvert system med $ N \ hbar $ handlingsenheder er konstant. Der er ingen ændring i systemets fase rumvolumen. dette betyder derefter, at Bogoliubov-transformationer effektivt er enhed.
Kommentarer
- Så de generelle enhedsomdannelser ‘ s definition er længere $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $, som vi lærer fra lærebogen? Jeg forstår ikke ‘ ‘ Dette betyder, at ethvert system med Nℏ-handlingsenheder er konstant. Der er ingen ændring i systemets fase rumvolumen ‘, vil du gerne forklare det?
- Er der forresten nogen begrænsning på transformationen af bosonsystem (Hamiltonian)?
- @ZJX Jeg forstår ikke ‘ hvorfor Lawrence sagde, at de bosoniske Bogoliubov-transformationer er ” effektivt enhed “. Jeg synes, de skal være symplektiske generelt. Begrænsningen kommer fra at bevare definitionen af bosoniske operatorer (sådan at bosoniske operatorer forbliver bosoniske under transformation). Der er ingen begrænsning fra det bosoniske system (Hamiltonian). Så længe Hamilton er Hermitian, er det en legitim Hamilton. Enhver symplektisk transformation anvendt på Hamilton er en legitim Bogoliubov-transformation.
Svar
Nej, det er enhed transformation, men kun når du betragter Hamiltons “elektron & hul sammen.
Kommentarer
- Men her handler modellen om spin, den ‘ er ikke fermionen, ikke?