Her vil vi vise, at Box-Muller-metoden genererer et par uafhængige Gaussiske standardvariabler . Men jeg forstår ikke, hvorfor vi bruger determinanten? For mig, når du har to uafhængige variabler, er leddensitetsfunktionen kun et produkt af to densitetsfunktionen. Nogen kan forklare mig betydningen af determinanten her? Please.
Kommentarer
- Der er en " ændring af variabler " involveret i at gå fra X til Y og derfor har du for at gange med Jacobian af transformationen, som er den determinant, som du ser ovenfor. Se for eksempel proposition 8 her math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, jeg forstår tak Alex for dit svar.
Svar
Lad $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Vi har
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ venstre [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ højre] = \ mathbb {P} \ venstre [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ defineres ensartet på $ [0, 1] $, derfor $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Faktisk $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ lad $ W = 2 \ pi X_2 $. Derfor fordeles $ X_2 $ ensartet på $ [0,1] $, så $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Da $ X_1 $ og $ X_2 $ er uafhængige, $ Z $ og $ W $ skal være uafhængige. Vi har $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ højre), \ quad z > 0 \ quad \ text {og} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definer funktion $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ til \ mathbb {R} ^ 2 $ således at $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ således $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ med andre ord $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {- 1} (y_1, y_2)))}} $$ vi kan let vise $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ derefter $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Svar
Det kan ses, at $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ og den $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Derfor $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ og $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Tager differentiering for at få $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Tilsvarende $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Derfor Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
For PDF-filer som $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
det giver $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $
viser, at $ Y_1, Y_2 $ er uafhængige gaussiske tilfældige variabler.
Commen ts
- interval på $ X_1 $ skal være (0,1), men $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ er $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $