Coulomb ' s lov: hvorfor er $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplikat]

Definition af symbolet $ k $ i Coulombs lov, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ for at være $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, er helt tilladt, når man forstår det simpelthen som en definition af $ \ epsilon_0 $. Motivationen for denne definition er, at når du udarbejder kræfterne mellem to modsat ladede plader med areal $ A $ og oplader $ Q $ en afstand $ d $ fra hinanden, kommer de ud som $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, hvor faktoren $ 4 \ pi $ kommer fra en fornuftig anvendelse af Gauss “s lov.

Når du udvikler dette videre til en teori om kapacitans, finder du ud af, at det indebærer, at spændingen mellem pladerne er $ V = Q / C $, hvor $ C = \ epsilon_0 A / d $. Hvis du vil indsætte et dielektrikum mellem pladerne (som du ofte gør), ændres kapacitansen til $$ C = \ epsilon A / d $$ hvor $ \ epsilon $ er kendt som dielektrikens elektriske permittivitet $ \ epsilon_0 $ forstås derefter naturligt som “permittiviteten af frit rum” (som naturligvis simpelthen definerer, hvad vi mener med permittivitet).

Spørgsmålet er så selvfølgelig, hvorfor er dette “afledt “enhed, $ \ epsilon_0 $, behandlet som mere” grundlæggende “end den oprindelige $ k $? Svaret er, at det ikke er, da de er ækvivalente, men tilladelsen til fri plads er langt lettere at måle (og bestemt var det i slutningen af det 19. og det tidlige 20. århundrede, hvor elektrisk forskning var meget rettet mod kredsløbsbaserede teknologier), så det blev vinderen, og hvorfor har to symboler til ækvivalente mængder?

Enhedens anden defineres er varigheden af et bestemt antal perioder med stråling, der udsendes fra en del icular type elektronovergang mellem energiniveauer i en isotype af cæsium (se her ).

Det er en antagelse, at lys bevæger sig ved en konstant hastighed $ c $ uafhængig af ens referenceramme, så nu hvor vi har fastlagt en tidsenhed, kan vi definere en længdeenhed: måleren er den afstand lyset kører i $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Vi definerer også SI-enheden for strøm (Ampere), så permeabilitet for ledig plads får en ønsket værdi i SI-enheder ($ 4 \ pi \ gange 10 ^ {- 7} $).

Derefter kan vi også definere $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ som $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Husk nu, at du ikke behøver at rette et enhedssystem for at gøre dette (som jeg gjorde før). Da ovenstående er definitioner , vil de indeholde ethvert enhedssystem. Men for at se, at disse definitioner ikke ender med at være cirkulære, hjælper det med at se, at vi kan definere $ \ mu _0 $ og $ c $ i form af rent fysiske fænomener. Med andre ord, for at ovenstående definitioner skulle give mening, måtte vi vide, at vi kunne definere $ c $ og $ \ mu _0 $ uafhængigt af $ \ varepsilon _0 $ og $ k $ først. Ovenstående definition af SI-enheder hjælper dig med at se, at dette kan gøres.

Kommentarer

• Dette ændrer sig alt sammen med det nye SI-system. Mens $ c $ er fast, er $ \ mu_0 $ og $ \ epsilon_0 $ ikke.

Hvis spørgsmålet er, hvorfor “$ 4 \ pi $” i Coulomb-konstanten (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), så kan et lige så gyldigt spørgsmål være, hvorfor “4 $ \ pi $” i magnetisk permeabilitet af vakuum, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Måske findes der en anelse i Maxwells ligning for hastigheden af den elektromagnetiske bølge (lys) i et vakuum, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Selvfølgelig afledte Maxwell dette forhold meget senere end Coulomb.

Maxwell fortæller den elektriske tilladelse til magnetisk permeabilitet i vakuumet, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $, der får en værdi på $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ i SI-enheder.

“Årsagen” til “$ 4 \ pi $”, der vises her og i Coulombs konstant (tro det eller ej) så at Maxwells ligninger kan skrives uden nogen $ 4 \ pi $ “faktorer!

For at forstå dette skal du overveje, hvordan elektrostatiske fænomener udtrykkes i Coulombs lov som” felt intensitet ved en kvadratafstand “sammenlignet med (den ækvivalente) Gauss” -lov, der beskriver “flux gennem en lukket overflade, der omslutter ladningen”.

Den samlede flux er fluxdensiteten multipliceret med overfladearealet , som for en sfære med radius $ r $ er givet af $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, så forholdet $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ er simpelthen resultatet af geometri af rum og sfærisk symmetri.

SI-systemet af enheder (i modsætning til Gauss-enhederne) siges at være “rationaliseret”, fordi det tillader udtryk for Maxwells ligninger uden $ 4 \ pi $ -faktorerne. For at gøre dette er $ 4 \ pi $ -faktoren simpelthen blevet “indbygget” i (SI-enhed) definitionen af den universelle konstant for vakuumets permeabilitet, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, hvorfra vi kan udtrykke Coulombs konstant som k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.