Jeg blev præsenteret for et powerpoint-lysbillede af en ven om matematikuddannelse, og et af hans dias talte om “de syv benchmark-tal”. Han sagde, at:
De syv benchmark-tal, der udvikler en “komplet” talfølelse, er: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ og $ 100 $. Disse tal danner grundlaget for matematikens læseplan i grundskolen og den sekundære uddannelse.
Desværre var min ven ikke i stand til at forklare, hvorfor disse blev presset til at gøre det. tal var “benchmarks”. Ved nogen, hvad han kan henvise til, eller bedre endnu, ved nogen, hvor han får disse oplysninger fra?
Kommentarer
- Hvorfor gjorde ' t spørger du ham om kilden? Mærkeligt, han ' præsenterer materiale, han kan ' t forklare.
- For mig (og andre ) er et benchmark-nummer et nyttigt grundlag at estimere. F.eks. Er 1/2 et godt benchmark og hjælper os med at forstå, hvor 3/8 er på talelinjen i forhold til 1/2. Jeg ' er dog ikke sikker på, hvad 12 laver der. Og denne særlige liste virker vilkårlig.
- De fleste af dem er ret ligetil at gætte motivationen til, men tallene alene er ikke tilstrækkelige til at udvikle nogen form for " fuldfør " talfølelse. @ncr Det ene tilsyneladende vilkårlige tal, 12, skyldes sandsynligvis det ikke-metriske system, hvor man f.eks. har et dusin (12) eller – ikke så længe siden – en brutto (144). Plus 12 inches i en fod, 12 timer i hver halvdel af dagen, og mange studerende i USA lærer multiplikationstabellen 12 med 12. Jeg kan ' ikke sige noget andet endegyldigt om denne liste med " benchmark-numre, " bortset fra at jeg aldrig har set samlingen diskuteret formelt.
- Han var ikke i stand til at give mig kilden (hvilket gjorde mig endnu mere interesseret i dette)
- Dette synes mig er meget vilkårligt. Som matematiker ville jeg ikke give disse tal nogen særlig betydning. Især $ 12 $ ville ikke være vigtigt i mange dele af verden, hvor metrisk system bruges. Det er noget vilkårligt at inkludere $ 100 $, men ikke sige $ 1000 $. Hvorfor også inkludere $ 1/2 $ men ikke $ 2 $?
Svar
Et anstændigt volumen på elementær matematik er Matematik til grundlærere (Beckmann, 2010). Bogen er beregnet til at hjælpe med at styrke lærernes viden om matematikken bag ideerne i elementære læseplaner (især reformplaner synes jeg). Som sådan er det ofte et godt sted at tjekke for ting som dette.
Benchmarks (også kaldet “landemærker”) introduceres i sammenhæng med at sammenligne brøker. Når studerende prøver at bestemme hvilken brøkdel der er større, $ \ frac {4} {9} $ eller $ \ frac {3} {5} $, er en strategi, der foreslås, at eleverne begrunder deres forhold til et andet tal, som brøk $ $ \ frac {1} { 2} $:
Når vi sammenlignede $ \ frac {4} {9} $ og $ \ frac {3} {5} $ ved at sammenligne begge brøker med $ \ frac {1} {2} $, vi brugte $ \ frac {1} {2} $ som en benchmark (eller milepæl) . Brøkene $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ og $ 1 $ er gode at bruge som benchmarks. (s. 73)
Det fremgår klart af denne tekst, at tallene er noget vilkårlige ; der er ikke meningen at være en endelig liste over benchmark-tal. Studerende vælger en brøk-benchmark, der hjælper dem med at sammenligne.
Jeg kan ikke sige, om andre bruger benchmarks på samme måde (et hurtigt kig på nogle andre bøger, jeg har inden for rækkevidde af våben, viser ikke udtrykket). Imidlertid er brugen her klar: et benchmark nummer er et tal, der er nyttigt til at argumentere over et problem. I dette tilfælde bruges benchmarket som referencepunkt til sammenligning af brøker.
Hensigten er at tilskynde til ræsonnement snarere end procedure. Der er algoritmer, nogle studerende læres at bruge til fraktionssammenligning, som giver dem mulighed for at erstatte matematisk ræsonnement med et par huskede trin og noget aritmetik. Men ræsonnement giver dem mulighed for at øve på formodninger, arbejde igennem med at komme med en begrundelse for deres svar og til sidst have en måde at forsvare deres svar bortset fra “dette er hvad proceduren frembragte.”
Jeg burde th blæk, hvilket som helst nyttigt nummer, der bruges til ræsonnement, kan kaldes et benchmark. For eksempel skrev jeg i mit svar på et andet spørgsmål (set her) om studerendes ræsonnement, der omdanner en subtrahend til tallet $ 2000 $. I så fald er $ 2000 $ nyttigt.
En anden type matematisk ræsonnement, der kan have gavn af et benchmark, er estimering. Tal kan erstattes af nærliggende benchmarks, der giver hurtigere beregning, hvis målet bare er at svare på et svar (en ofte ret nyttig strategi for mange applikationer i den virkelige verden).
Sammenfattende Jeg tror ikke, der er støtte til en endelig liste over benchmarks . dem, som Dr. Beckmann giver, er forslag (“gode at bruge”), men den virkelige test er, om de er nyttige for tænkeren midt i deres matematiske ræsonnement.
Citerede værker:
Beckmann, S. (2010). Matematik for grundskolelærere. New York: Pearson Addison-Wesley.
Kommentarer
- måske det ' er bare at jeg er doven, men som barn tror jeg, jeg bare ville beregne decimaludvidelsen for at sammenligne to fraktioner. Jeg ' har læst nogle fysikhistorier, der gentager denne stemning … at decimaltalssystemet var ekstremt vigtigt for tilnærmelsesaspektet af Newtons ' s tænkning … men jeg ' uden ekspert.
- @ JamesS.Cook It ' er ikke doven med at bruge den repræsentation, som bes t passer til dine færdigheder og applikationen ved hånden. Klasseværelsesarbejde har selvfølgelig et yderligere læringsmål. I dette tilfælde drejer det sig om begrundelse for sammenligningen (i det står den i modsætning til nogle andre " trick " metoder). Af nysgerrighed, da du sammenlignede brøker med decimaler som barn, hvilken begrundelse forbandt brøk- og decimalrepræsentationen? Med andre ord, hvordan beviste du uformelt for dig selv, at decimalrepræsentationen virkelig var det samme antal?
- Hvis jeg husker, og det kan diskuteres, tror jeg, det var standardbetydningen. For eksempel, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, så vi bygger decimaler fra at tilføje heltalsmultipler på $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … sammen. Behovet for serier blev først værdsat meget senere, tilnærmelser tilstrækkelige til mine formål som barn, jeg husker ikke ' når jeg tænkte på konvergens på legepladsen. .Cook Så den slags " atomar " viden her er, at $ \ frac {1} {10} = 0.1 $ (og så til for andre fraktioner, der involverer kræfter på ti). Men også, du bliver nødt til at retfærdiggøre, at $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. På forsiden ser det mere sofistikeret ud end at sammenligne to fraktioner baseret på et benchmark (dvs. du ' d er ud over at have brug for den benchmarkstrategi på dette tidspunkt). Din magt-af-ti-nævners fraktioner er naturligvis en vital del af forståelsen af, hvordan stedværdi gælder for brøkværdier.
Svar
Jeg kan ikke bakke dette op, men her” tænkte jeg som matematiker og far til børn i skolealderen (for at benchmarks opstår):
1: Repræsenterer hele ideen af hvad et tal er. Når du får 1, skal du bare huske 2, 3, …, 9.
0: Representerer forståelse for, at intet også er et antal / tal.
10: Først er “10” bare et andet symbol for et tal som “7”. Men hvis du virkelig forstår, at det er “sa 1 og 0, så bliver symbolerne 11, …, 99 straks forståelige.
100: At forstå” ti “er en ting. Det næste trin er forståelse at der skal være et nyt navn til ti 10ere. Når du først får “hundrede”, bliver “tusind”, “ti tusinde”, “millioner” osv. til huskningen.
1/2: At være i stand til for virkelig at forstå 1/2 betyder, at du får, hvad brøker er. Jeg ved, at studerende virkelig kæmper med brøker, men det hele starter med 1/2.
1/10: Når du får brøker, er spørgsmålet om decimal repræsentation er naturlig. Så jeg gætter på, at 1/10 virkelig skulle betyde at forstå 0,1.
12: Lidt af en ulige bold på listen. Mit gæt er en af to muligheder: Det er vigtigt, fordi de fleste elever husker multiplikationstabeller til 12×12, eller fordi “tolv” på engelsk er det sidste tal, hvis navn ikke fortæller dig noget om dets decimalrepræsentation, f.eks. Måske skulle det have været kaldes “seconteen”.
Kommentarer
- Hvis du ser nøje, " tolv " indeholder i det mindste en form for " to. " Se også etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Tolv er det første rigelige tal, og indtaster også den urmodel, som nogle lærere bruger til brøker. Jeg ved ikke ', om det er grunden til, at det ' er på listen, men det giver helt sikkert mening, hvorfor det måske er på en liste over vigtige tal i 4. og 5. klasse.
- Hele tallet " 1 " er den universelle multiplikative identitet .Selvom " 2 " ikke er ' t nødvendigt som grundlag for hele tal, ville jeg overvej det faktum, at multiplicere noget med hele nummer to er det samme som at tilføje det til sig selv er ret vigtigt. Jeg ville betragte " 4 " vigtigt, fordi det at multiplicere noget med fire er det samme som at tilføje noget til sig selv og tilføje resultatet til sig selv , mens " 3 " er vigtigt, fordi det at multiplicere med tre kræver at tilføje noget til sig selv og derefter tilføje resultatet til den originale ting .