Der er allerede et spørgsmål som dette her så mit spørgsmål kunne overvejes duplikat, men jeg prøver at gøre min pointe klar over, at dette er et andet spørgsmål.
Er der en måde at udlede Biot-Savart-loven fra Lorentz “Force-loven eller bare fra Maxwells ligninger?
Pointen er, at vi normalt definerer, baseret på eksperimenter, at den kraft, der mærkes af en bevægende ladning på tilstedeværelsen af et magnetfelt, er $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} $, men i så fald overlades magnetfeltet normalt til at blive defineret senere.
Kan denne kraftlov nu bruges på en eller anden måde til at opnå Biot-Savart-lov, som vi får ligningen for det elektriske felt direkte fra Coulombs Force-lov?
Jeg ville gerne ved, at fordi som påpeget i det spørgsmål, jeg har nævnt, selvom Maxwells ligninger kan betragtes som mere grundlæggende, opnås disse ligninger efter vi kender Coulombs og Biot-Savarts love, så hvis vi starter med Maxwell ” s ligninger for at opnå Biot-Savarts brug af det til at finde Maxwells ligninger, så tror jeg, vi vil falde i et cirkulært argument.
I så fald uden at anvende Maxwells ligninger er den eneste måde at opnå Biot-Savarts lov er gennem observationer eller kan den afledes på en eller anden måde?
Kommentarer
- Hverken Maxwell eller Biot-Savart er grundlæggende – alle sådanne formler følger fra Coulomb og en velvalgt definition af $ B $ som nævnt tangentielt i denne korte rant .
- @ ChrisWhite, Maxwell s ligninger følger ikke kun fra Coulomb-loven, speciel relativitet og definitioner. F.eks. Kan Gauss-loven om ikke-retlinet bevægelse af anklager ikke udledes uden yderligere antagelser.
- Jeg tror @Hans de Vries kan give et elegant svar.
Svar
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Biot-Savart-loven er en konsekvens af Maxwells ligninger.
Vi antager Maxwells ligninger og vælg Coulomb-måleren, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Derefter $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Men $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ I stabil tilstand indebærer dette $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Således har vi Poissons ligning for hver komponent i ovenstående ligning. Løsningen er $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r “. $$ Nu behøver vi kun beregne $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Men $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr “) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3} $$ og så $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ gange (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r “. $$ Dette er Biot-Savart-loven for en ledning med begrænset tykkelse. For en tynd ledning reduceres dette til $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3}. $$
Addendum : I matematik og naturfag er det vigtigt at holde sondringen mellem historiens og den logiske udvikling af et emne. At kende et motivs historie kan være nyttigt for at få en fornemmelse af de involverede personligheder og nogle gange for at udvikle en intuition om emnet. måde praktikere tænker på. Det indkapsler hovedideerne på den mest komplette og enkle måde. Fra dette synspunkt er elektromagnetisme studiet af Maxwells ligninger og Lorentz-kraftloven. Alt andet er sekundært, inklusive Biot-Savart-loven.
Kommentarer
- Men hvordan jeg ‘ har set det gjort, Maxwell ‘ s ligninger er afledt af biot-savart-loven, som ville gøre dette cirkulær.
- @JLA: Jeg ‘ har føjet noget til adresse ” cirkularitet ” du henviser til.
- @JLA, det er ikke muligt at matematisk udlede Maxwell ‘ s ligninger fra Biot Savart-loven. Hvad folk nogle gange gør, er at udlede (nå frem til) Maxwell ‘ s ligninger fra Biot-Savart-loven for en bestemt sag som stationære strømme og derefter generalisere dem til alle situationer med ord.
- Af hensyn til klarheden anvendes differentielle operatorer på $ {\ bf r} $ og ikke $ {\ bf r ‘} $, at ‘ hvordan de byttes med integraler over $ {\ bf r ‘} $.
- @AG At tage afledningen med hensyn til $ {\ bf r ‘} $ giver faktisk ingen mening.Vi har $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, ikke $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ (som jeg ville skrive $ \ nabla ‘ $ eller en sådan ting).
Svar
Det kan være rigtigt, at folk i yore dage målte den kraft, der var resultatet af en glødestrøm, idet de opdagede Biot-Savart-loven og derefter igen brugte den som inspiration til at konstruere Maxwells ligninger. Hvis det” s hvordan det faktisk skete historisk, fint.
Men dette er analogt med en fremmed arkæolog, der er 10 millioner år fra nu at finde en skelethånd og -fod på Jorden. Fra hånden kommer arkæologen til at forstå, hvad dyret, der havde den hånd, kunne lide at gøre med det: at det kunne forstå og bruge værktøjer og så videre. Fra foden, arkæologen, forstås det, at det dyr, det tilhørte, gik på to ben, og at det typisk vejede i voksenalderen omkring 100-300 pund.
Først senere kommer arkæologen til, at hånden og Foden tilhørte begge det samme dyr – et menneske. Men arbejdets natur betyder, at gåden om, hvad et menneske var, skal nedbrydes i klumper, der kan forstås individuelt, før hele billedet kan komme sammen. Når det er sagt, ville det være bagud at antyde, at hånden og foden er mere grundlæggende end selve mennesket.
Maxwell-ligningerne er konstrueret til at være i overensstemmelse med Biot-Savart-loven og andre informationer , ligesom Coulombs lov. Således kan du udlede Biot-Savart fra Maxwell, men ikke omvendt, for Maxwell er mere generel og altomfattende.
Hvis du allerede kender Lorentz-kraftloven, kan du udlede styrken af magnetfeltet fra en ledning bare ved at skyde ladede testpartikler nær ledningen og observere deres bevægelse. Men dette sætter spørgsmålstegn ved, hvordan du allerede kender Lorentz-kraftloven, og så den.
Du kan gå i cirkler hele dagen over hvad der er eller ikke er grundlæggende, over hvad der skal være baseret på eksperimentel observation og hvad der kun er konstrueret til at være i overensstemmelse med disse observationer, men der er ofte en præference for at “enkle” eksperimentelle observationer betragtes som grundlæggende vs. teoretiske konstruktioner t hat inkorporerer mange sådanne observationer – se Chris Whites kommentar om, at Maxwells ligninger kan stamme fra Coulombs lov og nogle andre ting.
For mig er dette fjollet. Maxwells ligninger inkorporerer summen af vores observationer (i det mindste de der passer til det klassiske regime). For mig er det det vi ved om klassisk elektromagnetisme. At sige at du kan udlede Maxwell ” s ligning med kun et resultat plus et par antagelser … ja, det går glip af det punkt, at disse antagelser også skulle testes og verificeres i første omgang. For mig er det meget baglæns at udpege specielle tilfælde (rene elektriske, rene magnetiske, statiske eller dynamiske felter) og behandle dem som “grundlæggende”.
Rediger: men virkelig en fysiker har brug for at arbejde i begge retninger. For at skabe ny teori har vi ofte specielle tilfælde, som vi ikke ved, er forbundet og skal bygge bro sammen. Det bygger Maxwells ligninger fra Coulombs lov og Biot-Savart. For at analysere et bestemt problem mest let, en vi ikke er sikre på, at der findes en speciel case-formel til, skal vi ty til den mest generelle beskrivelse (Maxwell) og forsøge at reducere den ned til noget enklere og lettere at løse (i i tilfælde af ingen nuværende og ingen tidsafhængighed, kan du vende tilbage til Coulombs lov). Begge tilgange er nødvendige for at være så fleksible som muligt.
Svar
Fra et eksperiment af typen Rowland Ring er det muligt at definere permeabilitet som et mål for strømmen genereret i en enhedsvolumen pr. ampere-omdrejning. Hvis vi derefter antager, at denne strømning spredes som en omvendt firkantet lov, opnår vi biot-savart-loven som en magisk analog af coulombs lov med tilføjelse af krydsproduktet, der tager os af feltretningens vinkelrethed og strengt under forståelse af, at det er en arbejdshypotese valideret af dens anvendelighed, da et nuværende element ikke kan eksistere isoleret fra resten af dets kredsløb. Mit råd – Ignorer alle fristelser til at falde i mere matematik end det nødvendige minimum, der vil føre dig til forståelse. .
Svar
Følg venligst følgende link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot og gå til overskriften “Arbejde”. Der står, at loven blev opdaget eksperimentelt i år 1820, dvs. 45 år før Maxwell-ligningerne blev offentliggjort. Den generelle formulering til Biot-Savart-lov blev givet af P. Laplace. Udtrykket af Biot-Savart-loven (integrationen) viser, at pri nipel af superposition er allerede inkluderet i den.Maxwell-ligninger blev udviklet senere, og de blev designet passende til at omfatte konsekvenserne af Biot-Savarts lov. Måske er det grunden til, at vi kan udlede Maxwells ligninger fra Biot-Savarts lov og omvendt.
Gå til dette link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force og gå til afsnittet “Historie”. Det står, at i året 1881, dvs. 16 år efter, at Maxwell-ligningerne blev offentliggjort, afledte Thomson først en form for Lorentz-kraftlov fra Maxwell-ligninger. Endelig blev den moderne form for Lorentz-kraftlov afledt af Lorentz i 1892 fra Maxwell-ligningerne.
Så den historiske rækkefølge er sådan:
Biot-Savarts Law ==> Maxwells Equations ==> Lorentz force law.
Men i klasselokalerne er vi undervist i følgende rækkefølge:
Først: Lorentz-kraftloven, at introducere konceptet om, at magnetfelt udøver kraft på en bevægende ladning.
Andet: Biot-Savart-loven, til introducere konceptet, der flytter cha rges producerer magnetfelt.
For det tredje: Maxwells ligninger; generaliseringen af alle eksperimentelle observationer inden for elektromagnetisme.
Så konklusionen er:
(1) Biot-Savarts lov er en eksperimentelt observeret lov. Denne lov inkluderer også ideen at superposition-princippet også er gyldigt i magnetostatik. Denne lov gav grundlaget for magnetostatik.
(2) Maxwells ligninger blev afledt, er sådan en måde at omfatte resultaterne af Biot-Savarts lov ( sammen med andre eksperimentelle observationer af elektromagnetisme). Det er en teoretisk generalisering. Maxwells ligninger er mere grundlæggende end nogen anden eksperimentel observation, fordi eksperimenter normalt udføres under visse omstændigheder og således ikke kan give generel information.
(3) Lorentz-kraftloven blev afledt af Maxwells ligninger, men kan bekræftes direkte eksperimentelt.
BEMÆRK
“Observation og derefter generalisering”: Jeg tror, det er sådan, fysik udvikles. Observation (eksperiment) etablerer altid fundamentet. Generalisering omfatter observationen og udvider den anvendelighed til andre tænkelige konfigurationer, tilfælde og omstændigheder. Derfor er det altid muligt at udlede generalisering fra observation og omvendt [Biot-Savart-loven kan udledes af Maxwell-ligninger og Maxwell-ligninger kan afledes fra Biot-Savart-loven ] .
Her understreges det, at Biot-Savarts lov er den vigtige observation, der startede magnetostatikfeltet. Maxwell-ligninger (generalisering) og begrebet vektorpotentiale (en generel egenskab for vektorfelt) kan bruges at udlede Biot-Savarts lov, men det betyder ikke, at loven kun er et mellemled i udviklingen af viden om magnetostatika. At det er muligt at udlede Biot-Savarts lov fra Maxwell-ligninger, og begrebet vektorpotentiale kun bekræfter, at generaliseringen i Maxwell-ligninger er korrekt.
Kommentarer
- Men OP spurgte ikke om den historiske rækkefølge af begivenheder.
Svar
Vi er nødt til at se på tidslinjen (historien). Biot-Savart-loven blev offentliggjort inden offentliggørelsen af Maxwell-ligninger. Så det er Gausss lov for magnetfelter (den anden Maxwell-ligning), der stammer fra Biot-Savart-loven og ikke omvendt. Afledningen af Gausss lov for magnetfelter (den anden Maxwell-ligning ) fra Biot-Savart Law kan læses her Gausss lov for magnetfelter
Svar
Problemet med Biot-Savarts lov er, at det teoretisk er formuleret i form af nuværende elementer $ Idl $ og derefter integreret. Men i de fleste lærebøger er det også formuleret til POINT-afgifter i form af $ qv $ . Problemet her er, at når en punktafgift $ q $ bevæger sig med hastighed $ v $ magnetfeltet i nærliggende rum ÆNDRER med tiden, dvs. vi har en $ \ frac {dB} {dt} $ , og så finder induktionseffekter sted, og den magnetostatiske tilstand overtrædes. I modsætning hertil når $ Idl $ er integreret langs en kontinuerlig ledning, er $ B $ -feltet konstant, (magnetostatisk ). De to situationer er meget forskellige, og så vidt jeg ved, er punktafgift $ B $ felt aldrig blevet målt direkte. Kraften på $ qv $ , ja, men ikke feltet produceret af $ qv $ .