Er GameScience ' s ikke-cylindriske syv-sidet terning en afbalanceret / retfærdig die?

Det virkelige eksperiment er vanskeligt

De sammenkædede terninger i spørgsmålet er udsolgt, så kun folk, der allerede har mange af disse terninger og er villige til at udføre de statistiske tests kan give ” sandt ” svaret. Jeg formoder, at befolkningen er ret lille. Jeg tror dog, at den eksisterende litteratur og lidt deduktion kan give et teoretisk og historisk perspektiv på retfærdigheden af denne d7.

Det er muligt at have en fair d7 i specifikke scenarier

For det første er det bestemt teoretisk muligt at have en syv-sidet matrice. Matrisen som vist er et femkantet prisme. Geometrisk er matriceens retfærdighed mest påvirket af størrelsesforholdet mellem de femkantede ansigter og de rektangulære sider . Jeg har lavet en hurtig mock-up af de to ekstremer:

• Ansigter er større end sider: Dette svarer til formen på venstre side. Denne ekstreme favoriserer stærkt de femkantede ansigter – det er dybest set en mønt, og det er svært at forestille sig, at det nogensinde lander på kanterne.

• Sider er større end ansigterne: Dette svarer til formen til højre I dette tilfælde er matricen mere som en blyant og falder næsten altid på siderne.

Da man jævnt justerer størrelsesforholdet mellem siderne og ansigterne, vil der være et specifikt punkt, hvor der er en overgangen mellem at favorisere siderne og at favorisere ansigterne. Denne aflytning er det punkt, hvor matricen er retfærdig. Derfor er det muligt at have en retfærdig 7-sidet matrix.

Imidlertid er dette magiske forhold m det kan ikke være det samme under alle forhold. Dette svar på MathOverflow hævder, at for ikke-isohedral dø afhænger resultatets retfærdighed af, hvordan du kaster det. Ligeledes hævder denne tilfældige side på internettet at forskellige overflader kan påvirke resultatet af rullen. Ingen af kilderne giver hårde beviser for deres påstande, men det er værd at overveje, at argumentet for mellemværdi præsenteret ovenfor ikke beviser, at en enkelt d7 kan være retfærdig under alle betingelser .

Patentet for dette d7 viser, at det blev testet for retfærdighed

Så spørgsmålet er, har de specifikke terninger den nødvendige geometri for at være retfærdig? Produktbeskrivelsessiden, som OP linker til, indeholder et patentnummer: US PAT nr. D-4.900.034. Dette nummer svarer til patentet ” Tilfældigt hasardspil og brikker og layout og spilbord til brug med den samme ” af Bernard Bereuter i 1988.Dette patent beskriver blandt andet konstruktionen og retfærdigheden af denne særlige d7 til spilformål:

Brug af dannede spillebrikker af hård plast af en type, som der kunne bruges til standard terninger, har eksperimenter vist, at den ønskede tilfældige landing af stykkerne opnås, hvis den regelmæssige femkant af tværsnittet passer nøjagtigt i en cirkel med en diameter på 1 tomme (hvilket resulterer i perifere kanter 3 med en længde på 0,588 tommer) og prismeets længde er 0,753 tommer, for stykker rullet over skumbeklædt filt strakt over en hård vandret overflade.

…

A tilfældigt hasardspil, der omfatter et ikke-rektangulært prisme … med tegn fordelt ensartet omkring dets omkreds, idet prismenes længde er forskellig fra længden af en side af det regelmæssige polygon tværsnit og er lig med den krævede længde, så sandsynligheden for nævnte prisme, der lander på en af dens endeflader, er omtrent lig al sandsynligheden for, at den lander på en hvilken som helst af dens sideflader.

Således Mr. Bereuter har tilsyneladende udført den empiriske test, der er nødvendig for at bestemme det ideelle størrelsesforhold for en retfærdig syvsidet matrice, mindst på en bestemt overflade.

Desværre, fordi hans data er ikke offentlige, og terningerne er ikke tilgængelige i øjeblikket, vi kan ikke verificere eller gentage hans resultater selv. Det er helt sikkert muligt, at terningerne købt fra dette websted ikke er retfærdige af andre grunde. Alligevel har denne d7s opfinder tydeligt lagt stor vægt på at bestemme de nødvendige dimensioner for at skabe en retfærdig matrix.

Hvis GameScience nøjagtigt fulgte dimensionerne i patentet, som de citerer, er deres d7 sandsynligvis fair nok til RPG-formål. Når alt kommer til alt, var det oprindelige patent beregnet til matricen til spilformål, og efter min erfaring er TTRPGer langt mindre følsomme over for urimelige terninger end spil er.

Kommentarer

• Jeg har et skænderi med dette svar (undskyld for ikke at bakke det op med kilder): Sandsynligheden for, at en matrice hviler på et ansigt, afhænger (også) af, hvor skarp / rundt kanten, hvis matricen har nok momentum til at rulle over denne kant. Da inertimomentet og højden af matricens tyngdepunkt er forskellige afhængigt af hvilken slags kant det er, skal rundens nat også være anderledes. Jeg kan ikke ‘ ikke se dette adresseret hvor som helst. Jeg lavede heller ikke ‘ matematikken, hvis forskellen er signifikant for de forskellige ansigter, det betyder måske ikke meget.
• @mart at ‘ er sandt, og jeg har ingen måde at løse dette problem på – jeg forsøgte at nævne det, når jeg siger, at der kan være andre grunde til, at terningerne ikke er ‘ t retfærdig. For at teste, at du ‘ d ikke kun skal få de faktiske terninger, som er udsolgt, men også en masse terninger, der ikke ‘ har ikke afrundede kanter, men er ellers identiske.
• Jeg spekulerer på, om nogen med en 3d-printer kunne skabe forskellige terninger efter scanning af en ” -regulering ” dør. Derefter spiller du med parametrene på kanterne.

Nej, de er ikke retfærdige, medmindre du ignorerer siderne

Der er nogle få krav for, at en ensartet solid matrice skal være retfærdig.

De aktive sider skal være ansigtstransitive.

Terninger er kun retfærdige, hvis alle af siderne, der bruges, er lige sandsynligt, at de landes på. For at dette skal være sandt, skal det være ansigtstransitivt, hvilket betyder at alle sider har samme form. Mere specifikt …

Isohedral figur

I geometri, er en polytop af dimension 3 (en polyhedron) eller højere isohedral eller ansigtstransitiv, når alle dens ansigter er ens. Mere specifikt skal alle ansigter ikke kun være kongruente, men skal være transitive, dvs. skal ligge inden for den samme symmetribane. Med andre ord, for ethvert ansigt A og B skal der være en symmetri af hele faststoffet ved rotationer og refleksioner, der kortlægger A på B. Af denne grund er konveks isohedral polyhedra de figurer, der giver retfærdige terninger.

Isotoksisk figur

Regelmæssig polyhedra er isohedral (ansigtstransitiv), isogonal (vertex-transitive) og isotoxal (edge transitive).

Denne 7-sidede terning er ingen af disse ting. Men det er, hvis vi ignorerer hvert resultat på de femkantede sider.

Sagt på en anden måde, givet et ansigt på matricen, skal der være en rotation (mindst en), der resulterer i hvert andet ansigt, kant, og toppunkt kortlægges på det samme sted som henholdsvis et andet ansigt, kant og toppunkt. Lad os prøve det i 2-d.

Dette giver en god 2-dimensionel dø. Ved at dreje trekanten 120 grader rundt om midten kortlægges hvert toppunkt og kant af trekanten til en anden. Lad os tage det til 3 dimensioner, sig en kube. A d6. Vi kender alle sammen. En d6 er en retfærdig die, fordi der findes mindst en rotation, der resulterer i, at hvert ansigt, kant og toppunkt kortlægges på placeringen af en anden. En af disse rotationer ville naturligvis være en rotation, der kan repræsenteres af “90 grader på en akse og 90 grader på en anden”. Eller i Eulervinkler , 90, 90, 0. Eller hvis det hjælper, 90 graders stigning og 90 grader yaw. Eller en hvilken som helst kombination af pitch, yaw og roll.

Alle andre fair terninger har denne egenskab. Der findes en rotation, der kortlægger hvert ansigt, kant og toppunkt på en d4 på et andet ansigt, kant og toppunkt. Der findes en til en d20. Der er faktisk mange rotationer, der gør dette for disse retfærdige terninger. Men der er ingen rotation, der gør dette for en d7. Du kunne dreje den 180 grader rundt om “op” -aksen (sidder hverken på 6 eller 7), men så ville den øverste kant ikke være oversat til positionen for en anden kant. Du kunne lægge det fladt på 6 og dreje det 72 grader, men så ville de femkantede ansigter ikke være oversat til et andet ansigt.

Centeret for hvert ansigt skal være lige langt fra massens centrum.

Når det kommer til (fair) terninger, massecenter er i objektets nøjagtige centrum. Dette betyder, at alle ansigter er lige langt fra det. Resultatet af dette er, efter et kast, hvert ansigt har lige mulighed for at komme op. Men hvis massecentret flyttes fra matricens geografiske centrum, ændres rotationsaksen, og matricen er ikke længere retfærdig. kilde

Ændring af massecenter kaldes vægtning af matricen. Når massecentret flyttes længere fra midten af matricen, vil det effektivt lettere ansigt rulle opad oftere end ikke.

At lave terninger ved at ignorere ansigter

Terninger med et ulige antal flade ansigter kan laves som “lange terninger”. [ 26] De er baseret på et uendeligt sæt prismer. Alle de (rektangulære) ansigter, de rent faktisk kan lande på, er kongruente, så de er lige retfærdige. (De andre to sider af prismen er afrundet eller dækket med en pyramide, designet så matricen aldrig faktisk hviler på disse ansigter) Kilde

Den sidste sætning er den vigtigste del. Denne 7-sidede matrice er retfærdig i intervaller 1-5, forudsat at du ignorerer det 6. og 7. ansigt. Som vi læser ovenfor kan ethvert prisme være retfærdigt, forudsat at enderne er “lukket” eller ignoreret ( se lange terninger ). Så en rigtig d7 ville være lavet af et heptagonalt prisme . Så ignorerer enderne eksisterer der en rotation, der kortlægger hvert ansigt, toppunkt og kant på placeringen af et andet ansigt, kant og toppunkt. Lad os gå tilbage til ovenstående eksempel. Vi lægger det fladt på 6. kant og drejer det 72 grader. Voila! Hvert ansigt er nu på det sted, hvor et ansigt plejede at være, hver kant er på det sted, hvor en anden kant var, og hvert toppunkt er i stedet for et andet toppunkt . Bortset fra hætterne, som vi har ignoreret.

For nylig har du måske bemærket tønde terninger. De bruger det samme grundlæggende princip, bortset fra at deres sider er trekanter snarere end rektangler.

Hvorfor fungerer ikke ikke-symmetriske uortodokse former?

Resultatet af, at matrisen er ansigtstransitiv og har et massecenter, der er lige langt fra ansigtscentrene, er, at det kræver den samme mængde kraft i en retning for at vende det, uanset hvilket ansigt det har landede på. Når vi ser tilbage på d7, kan vi let gætte på, at anvendelse af kraft til at gå fra ansigt 1 til ansigt 2 er den samme mængde kraft, der vil ændre det fra ansigt 2 til ansigt 3, da det hviler på bordet. Dette skyldes det faktum, at vinklerne mellem ansigterne er de samme, og fordi ansigterne er de samme på disse sider. Der er lige så meget overfladeareal, som berører bordet, når “1” er op, som der er, når “2” er op. Lad os overveje ansigt 6 og 7.

Når ansigt 6 er op, er ansigt 7 nede. Der er nu et større overfladeareal på bordet. Desuden er vinklen mellem ansigt 6 og ethvert andet ansigt, der berører det, større (90 grader versus 72 grader). Begge disse betyder, at det kræver mere kraft at skubbe det på et af de andre ansigter.Så når matrisen tumler, og ansigt 6 eller 7 rammer bordet nær slutningen af tørretumbleren og mister noget af sin hastighed og rotationshastighed, er det mere sandsynligt, at X kraftmængde vil ikke resulterer i, at matricen vælter over ansigtet til land den 1.-5.

Kommentarer

• Kommentarer er ikke til udvidet diskussion; denne omfattende samtale mellem mange af de matematiske / fysiske / statistiske punkter i indlægget er flyttet til sin egen dedikerede chat . Jeg foreslår kraftigt, at de, der ‘ har læst indtil videre, også giver chatten en læsning. Under alle omstændigheder bør yderligere kommentarer udelukkende adressere, hvordan OP kan forbedre deres præsentation af deres holdning; hvis du vil argumentere for, at deres holdning er forkert, skal du gøre det enten i dit eget svar eller i chatten.