Er tal reelle?

Overvej følgende analogi. Hvad er en kylling? Er kyllinger virkelige?

Der var en tid (de fleste steder i Europa, alligevel), hvor dette ville have virket som et endnu mere dumt spørgsmål, end det gør nu. Alle vidste nøjagtigt, hvad en kylling var. Selv en rig adel havde kun været nødt til at gå måske femten minutter og pege på et eksempel på en kylling. Det var en levende og bemærkelsesværdig del af alles hverdagsoplevelse. Så også vores erfaring med tal. Det (peg på en karton med seks æg) er seks. Det (peg på et æble og et andet æble, der er skåret i halvdelen og en af halvdelene fjernet) er tre halvdele. Og så videre.

Det faktum, at du ikke bare kan pege på en samling af noget og sige “ der er negativ-tre “, “ der er kvadrat-rod-af-fem ” eller “ der er seks plus tre -i “er grunden til, at nogle mennesker, der er frustrerede over disse ideer, finder det berettiget at sige, at de ikke er faktiske tal. Det er faktisk en fair kritik og peger på, at vi aldrig sætter os ned og tale om, hvilke tal der virkelig er beregnet til at være. Selvfølgelig kunne disse dage også gå hele deres liv uden at se en kylling, og de accepterer, at der er et dyr, der er vagt involveret i skabelsen af de æg, som de nogle gange spiser til morgenmad. Bestemt for dem af os, der ikke voksede op på eller tæt på en gård eller en zoologisk have med kyllinger, accepterer vi eksistensen af kyllinger som en trosartikel i nogle år. På samme måde tager vi ideen om, at der er “tal”, som ikke svarer til samlinger af ting som en modtaget idé.

Så hvis tal ikke behøver at svare til samlinger af ting, hvad er de? I tilfælde af (positive) irrationelle tal kan de svare til længderne af linjer eller områder — til kontinuerlige mængder af noget, hvilket er en flot generalisering af samlingsstørrelser. Og negative tal kan svare til underskud eller forskelle af sådanne beløb. Og komplekse tal, er … ja, de “er … nyttige til kvantemekanik og elektroteknik …og, um, det er også kvaternioner … Vi finder ud af, at vi strækker definitionen af antal fra “ mængde ” til “ at være nyttig til “, hvilket jeg synes er en vigtig ting at lægge mærke til.

Der er intet indlysende sted, hvor vi bare skal stoppe. Det faktum, at de komplekse tal ikke engang kan bestilles mere (ligegyldigt kvaternionerne, for hvilke multiplikation pendler ikke engang ), at bare fordi noget løser x ² + 1 = 0, betyder det ikke, at det er et tal (det komplekse tal aren “t ” numre “generelt). Men vi kan sige, at bare fordi noget er en øvre grænse for en afgrænset række af tal, at det ikke er” ta nummer (reelle tal er ikke t alle “tal” og kvadratroden af især to eller fem), eller bare fordi noget er forskellen på to tal, at det ikke er et “ta-tal” ( negative tal aren “t all” numbers “); eller det bare fordi noget er et forhold på to tal, gør det n “t gør det til et tal ( positive rationelle tal er ikke alle” tal “). Men det udelukker alt andet end de ikke-negative heltal; og folk har historisk endda set skæve på nul. Du kan endda argumentere for, at man ikke er “et tal, hvis du hævdede, at du med” et tal “betyder en flertal.

Så det er ret vigtigt at spørge os selv: hvad er et tal?

Hvad er en kylling? Det er en lille fugl, der ikke flyver meget godt. Men vi vil ikke inkludere kiwier eller lundefugle som “kyllinger”, så måske skal vi specificere, at de har korte næb og ikke svømmer godt. Men hvad med fasaner? Selvom vi fortsætter med at isolere kyllinger med succes fra alle andre levende fugle ved definitioner, hvad med forfædrene til kyllinger, der udviklede sig til det moderne husdyr? På et tidspunkt var der ikke kyllinger, og så var der . Hvornår ændrede ting sig?

Problemet med kyllinger og også med tal, er, at vi i sidste ende kun har definitioner på disse ord efter konvention, som er baseret på eksempler . Vi accepterer moderne kyllinger som “kyllinger”, og accepterer ikke kiwier som “kyllinger”. På samme måde vil vi inkludere “seks” og sandsynligvis “tre halvdele” og måske “negativ-to” og “kvadratrod-af-fem” som tal, men vi vil ikke medtage funktionen f :   ℤ → ℤ givet af f (x) = 3 x +2 som et tal. Det er ikke, hvad vi vil tænke som et tal, fordi det ikke kan bruges som vi ønsker at bruge tal . Tal er værktøjer til forståelse af verden .

Hvilke fugle accepterer vi som kyllinger? De, der opfører sig på en bestemt måde, og især som vi kan forstå på en bestemt måde. Deres æg smager på en bestemt måde, deres kød smager på en bestemt måde, og de opfører sig på en bestemt måde. Vi holder af, hvordan de handler, og hvordan de smager, fordi vi er interesserede i dem som træk ved det miljø, som vi vil interagere med (måske for at spise dem). konceptet med en kylling er noget vi har i vented for at skelne nogle dyr fra andre. Hvis vi ikke bekymrede os om forskellen mellem en kylling og en fasan, ville vi ikke have separate ideer til kyllinger og fasaner. (Bare fordi vi har forskellige ord for ting, gør de ikke dem forskellige, men det betyder, at vi er ligeglade med, hvilke forskelle vi tror, de har.) Begrebet “kylling” er et værktøj, som vi bruger til at forstå nogle af de dyr, vi kender til.

På samme måde er begrebet “antal” et værktøj, som vi bruger til at forstå forholdet mellem objekter. Men det går ud over begrebet “antal “sig selv: hvert nummer er et begreb, som vi bruger til at skelne fra andre tal. Vi synes sjældent, at der bare er” et antal “af noget for at betegne, at der er mere end nul eller et eller to; vi er interesserede i hvilket nummer. Forskellen mellem seks æg og syv æg er vigtig for os.

Men der er en anden forskel med kyllinger: vi kan se små kyllinger eller store kyllinger (en enkelt slags kylling med forskellige egenskaber), men vi ser aldrig ægsekser eller æblesekser (en enkelt så rt af antal med forskellige attributter). Vi ser seks æg eller seks æbler. I dette tilfælde spiller nummeret ikke rollen som et substantiv, men et adjektiv . Så al denne snak om “kyllinger”, som er genstande, har været vildledende. Hvad vi burde have tænkt, er noget som: “Er rød ægte”? “Er stor ægte”?

Nå, farverne er ægte og størrelserne er ægte, men hvad gør en farve “rød”? Vi kan opfinde en vilkårlig definition baseret på lysfrekvenser, men så gør vi definitionen af farve afhængig af tal, hvilket ikke er nogen måde at løse problemet med, hvordan man forstår tal. I sidste ende ender vi igen med at have konventioner baseret på eksempler.Men de ting, som vi kalder numre, skal eksistere? At der virkelig er et nummer tre? Vi ser det selvfølgelig hele tiden. Tilsvarende skal der eksistere en farve rød, skal den ikke der?

Farven rød afhænger af vores sensoriske apparatur, og hvordan vores hjerner behandler de signaler, som vores øjnene. Rødfarven er en oplevelse, der kommer fra, hvordan vores hjerner og sensoriske organer er struktureret. Begrebet rødfarve er en nyttig måde at forstå vores verden på, baseret på hvordan vi oplever den. Der er ingen rimelig måde at benægte, at der er ting, der skinner rødt lys ( lys, som vi opfatter som rødt ); ting, der reflekterer rødt lys ( som fortrinsvis reflekterer lys, som vi opfatter som rødt ); og at rødt lys falder nogenlunde inden for nogle frekvenser af lys ( vi har konstrueret et helt teoretisk apparat til beskrivelse af elektromagnetisme, som er nyttigt nok til at bygge radiotårne, lynstænger, røntgenmaskiner, NMR-maskiner og lasere og i denne teori det lys, som vi har tendens til at opfatte som rødt, påvirker visse lysfølsomme apparater på en bestemt måde, og disse forudsigelser bæres ud af eksperiment ). Begrebet “rødt” er en yderst nyttig og robust måde at beskrive, hvordan vi oplever verden .

Du kan endda sige, at verden beskrives “urimeligt effektivt” af forestilling om farve; der er ingen særlig grund til, at så meget af vores oplevelse skal kunne beskrives med hensyn til farve. Vi taler ikke hver dag om duften af stål, lyden af plastik, smagen af granit. På en eller anden måde er verden formet på en sådan måde, at vores dominerende måde for sensorisk opfattelse tilfældigvis er yderst nyttig til at beskrive meget af verden. Sikkert farvet lys, i nøjagtigt det frekvensområde, som vi kan se med vores øjne, skal spille en grundlæggende rolle i, hvordan universet fungerer! Sikkert “rødt” har en grundlæggende virkelighed ud over vores egen eksistens; helt sikkert har farven rød en uforanderlig, endda platonisk karakter!

Jeg er uenig. Farven rød er faktisk en meget nyttig ting at fornemme og forstå, fordi det er sådan, vi opfatter nogle nyttige fysiske fænomener. Men hvis vi opfattede et noget bredere spektrum, der omfattede det, vi kalder det infrarøde, ville det også være nyttigt; hvorfor ikke vi? Af utilsigtede grunde antager jeg. Måske i varme klimaer er der for meget støj i disse frekvenser, selvom dette ikke forklarer hvorfor nogle arter af slanger kan fornem dem mens vi ikke kan. Grunden til, at vi kan opfatte rødt blandt andre farver, er i sidste ende, at det var en nyttig ulykke .

Hvis tallet tre synes at have en ekstremt vital eksistens, kan dette skyldes, at begrebet antal er et nyttigt at være i stand til at formulere, når man reagerer på verdenen omkring os, og så meget, at det er kablet ind i vores hjerner på et meget dybt niveau. Dette betyder, at der virkelig er mængder af ting i verden, og at nogle forestillinger om “mængde” er så enkle og vigtige, at du kan udvikle skabninger, der tror, at begrebet mængde er så vitalt vigtigt, at det kan eksistere uafhængigt af noget at have et beløb af .

De ikke-negative heltal — de “naturlige tal” — er lige det, vi kalder vores enkleste værktøjer til måling af mængde. Men de er vores værktøjer , der strækker sig langt ud over vores evne til straks at opfange mængde, ud i snesevis, hundreder og milliarder — ligesom vi har værktøjer til hjælpe os med at mærke det infrarøde, selvom vi ikke direkte kan opfatte det.

Tal er begreber. De er vores værktøjer til at hjælpe os med at forstå nyttige ting om verden. De er meget, meget, meget nyttige værktøjer; og alsidige nok til, at vi har al grund til at tro, at de kan bruges til at beskrive ethvert mønster, som vi kan forstå (og mange, som vi ikke kan forstå) uanset om dette mønster nogensinde bliver realiseret i den materielle verden. Men der er ikke mere grund til at tro, at tal (såsom tre) eksisterer uafhængigt, mere end der er at tro, at der er en platonisk rød, der eksisterer uafhængigt af ethvert rødt objekt.

Kommentarer

• Et meget fremragende svar. +1
• hvad menes der med ‘ reel ‘? … uden denne definition er alt bare mumbo-jumbo;)
• Dette svar er ikke ‘ t så informativt som det ser ud til; det beder om en hel række spørgsmål i matematikens filosofi. For eksempel er påstanden om, at ” Tal er værktøjer til at forstå verden ” slet ikke indlysende og ignorerer fuldstændigt positioner som matematisk platonisme eller intuitionisme eller formalisme.Desuden er påstande som ” talbegrebet nyttigt ” er empirisk, men der gives ikke noget bevis til at bakke dem op. @OP: Dette er ikke et godt svar. Det tilslutter sig et bestemt, kontroversielt syn på tal. Desuden citerer den ikke ‘ nogen relevant forskning til sikkerhedskopiering af sine påstande.
• @Niel: Alt, hvad formalisme hævder, er, at matematiske objekter er visse mærker på en side , manipuleret i henhold til visse regler (groft – det afhænger af hvilket mærke du vælger). Det er vigtigt, at formalister ‘ ikke tror, at matematiske udtryk udtrykker propositioner, hvilket er i strid med din påstand i OP om, at tal er begreber. Re: påstanden om, at ” numre er nyttige “. Jeg svarede, måske ikke så klart som jeg kunne have, på dit kvasi-evolutionære argument for en slags nativisme om talebegreber.
• Fortsæt ‘ d. Dette er et stort åbent emne inden for både psykologi, sprogvidenskab og sprogfilosofi, og det er uheldig at præsentere spørgsmålet, som om dine synspunkter ikke er ‘ t kontroversielle. Her er ‘ dog min hovedgreb: spørgsmålet stiller et stort åbent spørgsmål i filosofien, og du præsenterer dit eget svar med næsten ingen henvisning til den enorme mængde litteratur, der er afsat til emnet . Bekymringen er, at den, der stillede det oprindelige spørgsmål, ikke vandt ‘ t værdsætter, hvor omstridt dit svar er, moduler de positioner, der er blevet udforsket i marken.

Det afhænger af, hvad du præcist mener med “rigtig”. I en visning er tal lige så virkelige som din venstre hånd; de er enheder, der eksisterer sind-uafhængigt, a-kausalt og ikke-spatiotemporalt (dvs. uden for rum og tid). Dette ville være synet på mindst en version af matematisk platonisme, og det ser ud til at pege på forestillingen om, at vi afslører en dybere og dybere matematisk struktur for universet.

Efter min mening bliver jeg nødt til at sige – ja; abstrakte objekter som kvadratroden af 2 er lige så virkelige som en stol, for eksempel. De er virkelige enheder, men de er enheder, der ikke er bundet af kausalitetslove eller rum og tid.

Kommentarer

• Dejligt svar! Det kan være interessant at høre lidt mere om, hvorfor du vil anbefale dit svar her.
• Din første sætning angiver problemet, og derefter afviger du …

Tallens karakter er et virkelig vanskeligt problem; danner et synspunkt “matematikfilosofi”, det bedste udgangspunkt er Freges s Grundlagen (1884 – Fundamentet for aritmetik) endnu – vanskeligt men givende. Det tornede spørgsmål om “virkelighed” af abstrakt objekt (startende fra Platon og Aristoteles) er, at vi tror, at objekter er virkelige, når vi er i stand til at se og røre ved dem, og vi kan ikke se og røre ved tal. , der er uundværlig for hele menneskeheden? En masse arbejde i det XX århundrede phil of matematik har været dedikeret til at finde en måde at understøtte ideen om, at tal ikke er reelle (i dagligdags forstand af udtrykket), men matematik er alligevel værd at studere som .. . et spil med symboler, et sæt sæt, der er sandt ved konvention, en social konstruktion osv.

Tal er “virkelige” i den forstand, at de er en måde, som mennesket organiserer den relative bevægelse mellem objekter, han observerer i sit miljø. (f.eks Dette her + at der = to af disse se). Tallene er dog ikke “faktiske”. Det betyder, at de ikke kan kvalificeres som eksisterende bortset fra sammenhængen med objekter, som mennesket mærker. Hvis du fjerner “nummer” fra objektet / objekterne, der giver det en bestemt værdi, kan det kun defineres som “uendelig”. Hvilket praktisk talt er nul. Således kræver tal, ligesom ethvert abstrakt begreb, en observatør at være “reel” (mand, i dette tilfælde). Dette gør selvfølgelig lodlinjen for AL værdi (sandhed) den, der observerer.

Jeg tror, at din forvirring skyldes, at du ikke er klar over, at “labels” bruges til at kategorisere de forskellige sæt numre er netop det, etiketter. De “rigtige” tal, de “imaginære” tal, de “komplekse tal osv. Er alle ordnede sæt. Desværre har nogle af disse etiketter andre betydninger uden for matematik. Uden for matematik betyder” rigtig “normalt noget håndgribeligt, der er opfattes af mindst en af vores sanser, og “imaginær” betyder noget immaterielt og ikke opfattet af vores sanser. Men i matematik er disse ord kun etiketter, der bruges til at skelne mellem forskellige sæt tal. Den eller de personer, der mærker tallene, kunne har brugt grønt i stedet for “rigtigt” og rødt i stedet for “imaginært”, og vi ville have det grønne tal indstillet, det røde tal indstillet osv.

Kommentarer

• ” kun ” Jeg ser i din forklaring er dette: i hvilken forstand er reduktion af tal til sæt en reel ” forklaring “? I hvilken forstand er vi mere sikre på … virkeligheden, eksistensen … af sæt end i antallet af tal?
• De fik de navne, de gjorde af en grund. De ‘ er ikke kun etiketter, de ‘ er gode etiketter. Spørgsmålet, der stilles, er delvist hvorfor er de gode etiketter?

Vi har kaldt dem “tal”, men i virkeligheden er “tal” kun et menneskeskabt mærke for naturligt forekommende regler og principper. Uanset om vi kalder dem “tal”, “tæller” eller et hvilket som helst andet vilkårligt navn, vil de fortsat spille en nøglerolle i manifestationen af virkeligheden uanset vores viden om dem.

Hvis en fremmed race var at kontakte os, tal og matematiske beregninger (i en eller anden form eller form) ville være noget, vi havde til fælles. Forskellige gamle civilisationer havde forskellige talsystemer, men de var alligevel “tal”. Selv i dag kan man se den tydelige forskel mellem kinesiske tal （零 ， 一 ， 二 ， 三 ， 四 五 ， 六 ， 七 七 八 ， 九 九 Arabic og arabiske tal (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); på trods af forskellen i symboler er konceptet bag dem det samme.

Etiketten “numre” er forsøget på at beskrive “universets kode”. Så groft sagt vil jeg sige ja, tal findes.

Gammelt spørgsmål. Men sjovt! Jeg ” m overraskede ingen nævnt Principia Mathematica hvor over 100 sider (163, hvis jeg ikke husker rigtigt) er dedikeret til at definere nummeret ” 1 “.

Jeg ville spille et spil, da jeg var i gymnasiet, ved at foreslå, at 2 + 2 = 7, og når andre studerende argumenterer for, at jeg simpelthen vil bede dem om at bevise, at jeg tager fejl. Dette førte normalt til en masse håndbevægelser, der begyndte med 2 fingre plus 2 fingre og normalt sluttede med kun en finger.

Summum bonum er simpelthen, at tal er ideer (mentale konstruktioner, der repræsenterer en opfattelse, og i det forstand, de findes platonisk). Som det allerede er blevet forklaret meget godt, er disse ideer nyttige til at beskrive verden omkring os, og derfor fortsætter vi med at bruge og forbedre disse ideer. Mit forslag om, at 2 + 2 = 7 bryder reglerne skitseret af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell; men de regler, der er antydet af mit forslag, er ikke mindre vilkårlige end deres, kun mindre nyttige.

Selvfølgelig skal du også definere ” eksistens ” når du stiller et sådant spørgsmål.

Kommentarer

• findes dine tanker? hvad med en anden ‘ s (i DIN kontekst, ikke den anden person ‘ s)?
• @slashmais Definer ” findes ” og så svarer jeg ‘;)
• Jeg kan se, hvad du gjorde der 🙂 Jeg forsøgte at pege på, hvor jeg synes svaret på en definition af ‘ findes ‘ kan findes her: filosofi.stackexchange.com/a/10552/112 , og i denne forstand er du helt korrekt ved at sige, at tal er ideer – alt er . For at besvare min forespørgsel om en anden ‘ s tanker: det vil ‘ eksistere ‘ i kun din kontekst, når den anden person udtrykker tanken (direkte / direkte) gennem en adfærd, som du kan blive opmærksom på, og hvorfra du kan udlede en sådan tanke.

Indførelsen af brøk- og negative rationelle tal kan være berettiget ud fra to synsvinkler. Brøktalene er nødvendige for repræsentationen af underinddelingen af en enhedsstørrelse i flere lige store dele, og de negative tal udgør et værdifuldt instrument til måling af størrelser, der kan tælles i modsatte retninger. Dette kan tages som argumentet for den anvendte matematiker. På den anden side er der argumentet for den rene matematiker, med hvem begrebet antal, positivt og negativt, integreret og brøk, hviler på et fundament uafhængigt af målbar størrelse, og i hvis øjne analyse er et skema, der kun vedrører tal og har ikke i sig selv nogen bekymring for målbar mængde. Det er muligt at finde matematisk analyse på begrebet positivt integralt tal. Derefter kan de successive definitioner af de forskellige typer antal, af lighed og ulighed mellem disse tal og af de fire grundlæggende operationer præsenteres abstrakt. (Af h.s carslaw)

Hvilke tal finder vi i naturen? har du fundet negative tal?som navnet antyder findes naturlige tal i naturen. sig en bestemt længde (sig en stav s ) tages som 1 længdeenhed (f.eks. 1m ) nu hvis der er en anden pind ( s2 ), der er ens længde på to s sticks vi siger, at dens længde er 2 enheder. lignende længde kan være af brøkdele af s . tal er etiketter, der repræsenterer en bestemt længde. samme idé kan udvides til alle målbare størrelser. for -ve tal overveje udtryk
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

hvis “a” er længde> “b “ længde og ” c “ længde> ” d “ længde, så skal produktet være + prøv at sætte værdier i udtrykket, du finder, at udtrykket holder godt, hvis “?” = “+” lav et kvadrat med længden a og bredden “c” så en anden med længde “b” og “d” ved at overlejre “b” på “a” og “d” på “c” betragter nu hvert produkt som udtryk som et tilsvarende område i diagrammet. du vil snart genkende, at “?” skal erstattes af “+ “ eller du kan oprette en regel om, at fordelingsloven holder, hvis vi betragter tove-tal, der har en egenskab som (-b * -d) = (+ b * d) forestil dig vigtigheden af distributiv lov, det giver en formel som (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. denne formel giver os en genvej til at udføre beregninger, som kun er blevet mulige, hvis vi har -ve antal af sådanne egenskaber (gang to -ve tal betyder et + ve produkt af deres størrelse). hvis vi ikke definerer -ve tal, har vi altid lang beregning.

kompleks nr “s:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] dette koncept er blevet brugt mange gange for at reducere beregninger som i netværksanalyse, som involverer impedanser.

skal du læse: Beginning Algebra for College Students Second Edition af Lloyd L. Lowenstein (Forfatter)

Findes der tal uden for vores hoveder? Nej.

Er det, der findes inde i vores hoveder, rigtigt? Ja.

Findes der tal? Ja.

Hvis det at vide, at noget er ægte, er definitionen af, hvad der er ægte, så er tal muligvis lige så virkelige som noget i universet.

Jeg har en kæledyrshamster, jeg elsker hamsteren. Er hamsteren rigtig? Min oplevelse af hamsteren er ægte, men hamsteren kan forestilles, sådan er drømmernes natur, at de ser ud til at være ægte. Sådan er antallet af tal, at de ikke er andet end vores mest inderligt drømte drømme.

Men hvad betyder mere for universet, en drøm eller en klippe? På denne klippe har vi bygget vores drømme. Og uden vores drømme og drømme om alle ting ville der ikke være noget her.

Og alligevel, hvordan kan det være, at jeg har 2 øjne og 10 tæer? Er det fordi naturen kan tælle? Eller er det tilfældigt? Hvad er en tå, men en lille, misdannet tå fastgjort til en større tå? Tilfældige kødfulde aftaler, der pryder et større kødfuldt vedhæng, der er navngivet og nummereret af tilfældigheden af tanke, der observerer sin egen kødfulde krop.

Hvem er du med dine fingre og dine øjne, der læser dette, og hvorfor læser du herre eller fru , er det nysgerrighed, frygt, kærlighed eller noget andet, der driver dig i dag?

Hvorfor tænkte du på, hvad et nummer var, og kom her for at læse om det?

Fordi du på en eller anden måde vil vide, om du er ægte. Måske tror du, du er et tal. Måske har du brug for noget, overhovedet alt, hvad du kan fastgøre i dag, for at give dig et sted at hvile dit trætte sind, der rejser denne store udstrækning af muligheder.

Så mange muligheder!

Det får mig til at spekulere på, hvad der er rigtigt. Og de virkelige ting, vi kan tænke på, er de ting, vi kan stole mest på. Jeg tror derfor, jeg er uigendrivelig. Men hvem er du? Jeg ved ikke, hvem jeg er, tænker “jeg” derfor?Jeg kan ikke være sikker, for det kan være en anden, der tænker for mig, måske ser jeg bare dem tænke. Og alligevel kender jeg tallet 1. Ja, og hvis jeg tager 1 af en ting og en anden af det samme, jeg “Jeg har 2 af disse ting. Og dette kan jeg stole på for evigt og altid … Men jeg begyndte at spekulere på, er det rigtigt at tilføje ting? Er der virkelig nogensinde 2 af noget? Når jeg ser, ser jeg med mine egne 2 øjne 2 forskellige billeder? Nej, jeg ser et billede, mine to øjne fungerer som 1. Hvad ser jeg? Jeg ser 1 billede, derfor har jeg et øje i tankerne.

Så hvad er et nummer alligevel? Er det en perceptuel konstruktion? Er det en definition?

Det er en tro. Ligesom alle ting, tror vi, tror jeg. JEG TROR. DU er jeg. JEG TROR PÅ DIG OG MIG. Jeg tror på os. Jeg tror … i tal.

Jeg tilføjer bare det fremragende svar givet af @Niel de Beaudrap. Han satte spørgsmålstegn ved det “virkelige versus menneskeskabte” dikotomi, som mennesker overforbrugte. Formålet med dette svar er at vise nogle andre aspekter af spørgsmålet, der ikke allerede er behandlet.

• Findes tal i naturen? (jeg formoder, det var hvad han mente med ægte)
• Hvis ikke, hvordan kan vi anvende dem til ægte ting?

Og to mindre spørgsmål

• Hvordan er imaginære tal mere imaginære end reelle tal?
• Hvorfor kan “t får komplekse tal en bestemt rækkefølge?

Findes tal i naturen?

Nej. tal er ikke findes i naturen. Du kan finde “to æbler” i naturen, men ikke “to”. Igen er det interessant at bemærke, hvad vi mener med at sige “to æbler”. Mener vi to objekter, der er identiske? Så kan vi ikke tale om to æbler, fordi intet æble er som et andet. Så vi taler om to objekter th på ligner hinanden. “Hvor ens” er det næste spørgsmål. Vi vil naturligvis undgå at tælle en appelsin som et æble. Men vi vil tælle det, når vi tæller frugt. Vi tæller muligvis ikke et æble, når vi tæller “små æbler”. Så åbenlyst er optælling kunstig. Men det er også mange andre ting, vi tager for givet i livet. Og klart er det ikke kun reelle tal eller komplekse tal; selv tællende tal er kunstige. Vi accepterer at tælle tal som slags ægte og kun stille spørgsmålstegn ved mere kunstige som reelle tal, fordi vi er vant til at tælle tal.

Stadig forestillingerne af at tælle tal, brøker og beløb er meget nyttige til vores formål i dag som forklaret af @Niel de Beaudrap. Så tal findes ikke i naturen. Tal hjælper os med at fange ideen om mønstre vi finder i naturen . Bemærk, at det, vi finder i naturen, ikke behøver at være, hvad der er i naturen. Det er virkelig rigtigt for os, fordi vores verden er, hvad vi føler.

Hvis ikke, hvordan kan vi anvende dem til virkelige ting?

Nå, det “Det er den vanskelige del. Tal er værktøjer i matematik. Grene inden for videnskab som matematik og logik handler ikke om de virkelige ting; de er ikke beregnet til at være. De handler faktisk om det abstrakte. Dette er både deres magt og svaghed.

Hvis du giver dem nogle regler i en verden, der måske eller måske ikke eksisterer, vil de fortælle dig en masse andre ting om den verden. Så hvis du giver dem regler (eventuelle regler), vil de fortælle dig mange konsekvenser af disse regler. Det er deres magt. Det er derfor, de gælder næsten overalt. Og de vil fortælle dig kun konsekvenserne af disse regler, orakelets personlige overbevisning har ingen plads der. Dette derfor lægger de vægt på strenghed.

Men hvis du er interesseret i en verden, hvis regler ikke er ukendte for dig, er de der hjælpeløse. Dette er nøjagtigt tilfældet med vores fysiske verden, som vi kender den. Fysik er interesseret i reglerne i vores verden, men matematik kan ikke levere dem. (I modsætning hertil er teoretisk fysik og matematik nære venner). Derfor har du brug for en bro mellem dem for at oprette et link. Dette er et hul, som kun filosofien kan udfylde. Og filosofiske værktøjer som modeller er den sædvanlige vej at gå.

Mindre spørgsmål

Hvordan er imaginære tal mere imaginære end reelle tal? Nå, imaginære tal er ikke en ounce mere imaginære end reelle tal. I en forelæsning om komplekse tal bad professoren de studerende om at løfte hænderne, hvis de synes, at imaginære tal er imaginære og reelle tal er reelle. Cirka tretten studerende løftede hænderne. Så sagde han dette, “okay, vi kan diskutere det. Halvdelen af jer kommer på scenen”.

Hvorfor kan ikke komplekse tal gives en bestemt rækkefølge? Ved ordre betyder de ikke en generel ting; De taler om et specifikt koncept kaldet total ordre .At sige komplekse tal ikke kan bestilles betyder, at uanset hvilken ordre du finder på, vil det være under mindst en af betingelserne for total ordre, der er kompatibel med de sædvanlige feltoperationer for tilføjelse og multiplikation. Du kan finde flere detaljer fra dette spørgsmål i stackexchange og denne side fra cut-the-knot . Faktisk vil sættet {0,1, -1, i, -i} af komplekse tal i sig selv gøre problemer, når vi forsøger at give en total ordre, der følger med de sædvanlige feltoperationer. Jeg skal give detaljer, hvis du er interesseret (ikke hårdt, men jeg tror, det vil ikke have nogen filosofisk betydning for dig).

Kommentarer

• Sættet {0,1, -1, i, -i} er ordnet fuldstændigt, som du skrev det, fra venstre mod højre. Der er ‘ ingen rækkefølge på de komplekse tal, der er kompatible med dens algebraiske struktur. Men der er masser af samlede ordrer på de komplekse numre. Leksikografisk rækkefølge på a + bi er en sådan.
• Redigeret. Tak @ user4894. Jeg prøvede at holde detaljerne mindst mulig.
• Definitionerne for (total) bestilling og bestilt felt kan findes på side 246 i Stephen Abbot ‘ s bog ” Analyse af forståelse ”

Hvis det er okay med dig, vil jeg gerne fokusere på geometri snarere end tal. Jeg har det samme med begge områder, men geometri passer lidt pænere til mit eksempel.

Overvej udsagnet:

Vinklerne på en hvilken som helst trekant summer til 180 grader.

Hvis du med rimelighed er fortrolig med grundlæggende geometri, ser dette tydeligt ud til at være sandt.

Hvad med denne erklæring?

James Kirk er kaptajn for USS Enterprise .

Vi kan hævde, at det er falsk, formoder jeg, men hvis vi deltager i en Star Trek -konvention, er det bare ikke meget høfligt. Men det bliver værre. Hvis vi hævder, at ovenstående udsagn er falsk, hævder vi, at:

James Kirk er ikke kaptajn for USS Enterprise .

Og det antyder stadig, at der både er en Kirk og en USS Enterprise ud over at irritere Trek fans. Der er mere komplicerede måder, hvorpå vi kan fortolke negationsoperatøren, men dette er ikke et trivielt problem .

Antag, at vi accepterer, at Kirk er kaptajn, for at placere fansen. Men så kommer en af dem til os og siger:

Jeg er en fan af Star Trek: The Next Generation og Jeg synes, at din Kirk-erklæring er falsk. Kaptajnen for Enterprise er Picard, ikke Kirk.

Så mens vi ” Forvirrende over, at en matematiker kommer op til os og siger:

Jeg er en fan af ikke-euklidisk geometri . Jeg synes, at din trekantudsagn er falsk.

Matematiske udsagn er sande inden for rammerne af deres aksiomer. Udsagn om fiktion er sande inden for rammerne af deres kanoniske kilder. Hvis du vælger forskellige aksiomer eller forskellige kanoniske kilder, får du forskellige sandheder (hvis Kirk / Picard-eksemplet er for subtilt, sammenlign og kontrast Dracula med Twilight ). Mens matematik er strengere og i de fleste tilfælde mere direkte nyttigt end fiktion, er begge former for kunst.

Ligesom mange kunstarter, både matematik og fiktion, stræber efter både sandhed og skønhed . Men disse er æstetiske kvaliteter, ikke objektive virkeligheder.Matematik er ”sand”, når du finder en situation i den virkelige verden, som den nøjagtigt beskriver, og anvender den korrekt. Fiktion er “sand”, når du finder ud af, at den resonerer med dine livserfaringer og mål, og prøver at leve efter dens lære. Disse sandheder kan ikke eksistere isoleret; de er afhængige af observatøren for at aktualisere dem.

Så for at besvare dit spørgsmål tal eller trekanter, er lige så “rigtige” som applikationen , du har fundet til dem. Men hvis du bare laver matematik fordi du synes, det er smukt , behøver du ikke være ligeglad med, om det er ægte. ” Måske finder en anden en applikation en dag, som det skete med talteori og kryptografi. Måske ikke. Uanset hvad, at bekymre sig om det ville mangle pointen. Du gør det ikke for sandheden. Du gør det for skønhed.

Leopold Kronecker sagde, at den ikke -negative heltal, hvor de er lavet af Gud. Alt andet er “udformet” af mennesker. Efter denne idé ved vi med sikkerhed, at de ikke-negative heltal er reelle. Nu er udsagnet “Tal er reelle.” svarer til “Der findes tal.” Eksistensen kan bevises ved at nedskrive et særskilt element, der opfylder den givne ejendom. Brug af, at der findes ikke-negative heltal, og når vi anvender forudsætningen om, at ikke-negative heltal er tal, konkluderer vi “Tal er virkelige.”

Rediger: Hvad jeg faktisk ville påpege er, at spørgsmålet virkelig afhænger af, hvordan tal forstås.

På den anden side ville jeg gerne slå et slag for Kroneckers punkt. I mere generelle vendinger beskrev han en naturlig tendens til, at menneskebierne tæller ting. Dette er ikke helt urimeligt. Overvej, at der blev fundet knogler med tællemærker, der er cirka 30000 år gamle (jeg håber, du vil ikke bebrejde mig, hvis jeg ikke giver en bibliografisk verifikation) – længe før folk lærte om aksiomer for at konstruere naturlige tal.

Kommentarer

• Argument fra myndighed?
• @NieldeBeaudrap, jeg don ‘ t argumenterer med et induktivt argument. Er ikke ‘ t det modsatte et krav til argumentet fra autoritet?
• ” Leopold Kronecker sagde, at de ikke-negative heltal blev lavet af Gud ” [fremhævelse min].
• Faktum at mennesker har brugt en idé uden aksiomatisering betyder ikke, at den ” eksisterer ” uafhængigt af mennesker. Er magi reel? Er held virkelig?
• Jeg tror, at du tillader dig selv at tænke på ordet ” brug ” forskelligt til ‘ magi ‘ og til ‘ numre ‘, men husk det.

1. Tal bruges til at tælle.

2. Vi tæller former.

3. En Den mest primitive form, vi tæller, er en linje.

4. Linjen er en form, der har samme slutning som begyndelsen.

5. Linjen er således en 1-dimensionel loop, og vi observerer alle tal som 1 looping selv som 1 sæt (dvs. 7 appelsiner er 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) eller 1 sæt med 1 “, hvor” orange “er et sæt og en del af sættet).

6. Alt fænomen er former, når de tager form. Alle fænomener, der har former, er sløjfer, når du slutter, hvor du begynder, når du sporer omridset.

7. Tælling er en sløjfe mellem motivet og objektet / objekterne.

8. Så vi tæller sløjfer ved hjælp af tal, der forekommer gennem en 1 sløjfe af 1 gennem sløjfen af motivet og objektet med objektet som en form, der er en løkke såvel som rationelt om, at emnet er en løkke.

9. Tal er rumlige former og eksisterer gennem processer, der forekommer gennem rumlige former.