Er tal virkelig uendelige? [lukket]

Du er ikke den eneste, der sætter spørgsmålstegn ved det uendelige utallige tal. Faktisk er der hele tankeskoler, der udforsker det uendelige antal spektrum, hele tankeskoler, der udforsker de uendelige tal ud over det uendelige spektrum, og hele tankeskoler, der undersøger, hvordan man laver matematik, hvor uendelighed ikke eksisterer (kendt som finitistiske skoler tanke)!

Grundlæggende for diskussionen af uendelige tal er begrebet Peano-aritmetik. Giuseppe Peano udviklede et sæt aksiomer til de såkaldte “naturlige tal”, som uformelt er defineret til at være sekvensen 0, 1, 2, 3, 4. .. Axiomerne er:

• 0 er et naturligt tal (vi erklærer, at det eksisterer, det er et konstant)
• For hvert naturligt tal x, x = x (refleksiv: alt” svarer “til sig selv)
• For alle naturlige tal x og y, hvis x = y så y = x (symmetrisk egenskab af lighed)
• For alle naturlige tal x, y, z, hvis x = y og y = z derefter x = z (transitive egenskab af lighed)
• For alle a og b, hvis b er et naturligt tal og a = b så er a et naturligt tal (ligestilling er “lukket”)

Vi skal derefter definere en funktion S, kendt som efterfølgerfunktionen, så vi kan have tal større end 0. Uformelt S(0)=1, S(1) = 2 og så til.

• For hvert naturlige tal n er S(n) også et naturligt tal
• For alle naturlige tal m og n, m = n hvis og kun hvis S(m) = S(n) (S er en indsprøjtning)
• For hvert naturlige tal n, S(n) = 0 er falsk (efterfølgeren til et tal er aldrig 0 … aka 0 er det “første” naturlige tal)

Nu har vi brug for aksiomet, der gør dit spørgsmål så udsøgt interessant, induktionens aksiom:

• hvis f er en funktion sådan som t f(0) er sandt og for hvert naturlige tal n, hvis f(n) er sandt f(S(n)) er sandt, så f(n) gælder for alle naturlige tal.

Det sidste aksiom er det en der får så meget interessant adfærd til at forekomme. Det er den, der forsøger at nå mod uendeligt og hævder at tilbyde måder at forstå det på. Og som alle aksiomer siger det ikke nekarsielt, at det er “korrekt”, blot at det erklæres for at være sandt inden for rammerne. af aritmetikreglerne (som defineret af Peano).

Meget af aritmetik blev formaliseret til det, der er kendt som “sætteori”, som er grundlaget for en stor del af vores matematik, fordi det synes at være grundlæggende for, hvordan universet er organiseret. Sæt beskæftiger sig med bestemte samlinger af ting, som “det sæt af naturlige tal, der er mindre end 5”, der er skrevet som {0, 1, 2, 3, 4}.Peano-aritmetik kortlægges oftest på sætteori ved hjælp af følgende konstruktion:

• Det tomme sæt {} erklæres for at være konstant 0 i Peanos aksiomer
• Efterfølgerfunktionen S(n) er defineret til at være` S (n) = {{}, {n }} (Efterfølgeren til et hvilket som helst nummer defineres som foreningen af det tomme sæt og et sæt, der indeholder det forrige nummer)

Denne definition lyder lidt stump, men den blev valgt, fordi den er let at kortlægge alle de andre Peano-aksiomer på disse to definitioner. Med dette får vi evnen til at bruge sætteori-aksiomer til at manipulere “tal” på meget kraftige og grundlæggende måder. En af de vigtigste af disse er begrebet kardinalitet i et sæt. Dette er “antallet” af ting i et sæt. Uformelt {1, 2, 3}, {3, 4, 5} og {æble, appelsin, orangutang} har alle en kardinalitet på 3, fordi de har 3 elementer, men {2, 4, 6, 8} har en kardinalitet på 4.

Dette er hvor det bliver vanskeligt, fordi det viser sig, at “sættet med alle naturlige tal” er et gyldigt sæt, typisk repræsenteret med et stort N, så vi kan spørge “hvad er kardinaliteten i sættet med alle naturlige tal? “Svaret er” uendelig “, og denne erklæring fremsættes som en definition. Vi definerer kardinaliteten af N til at være et bestemt tal, kendt som ℵ₀, der får det engelske navn “countable infinity.” Ja, for matematikere er uendelighed tællelig, fordi du teoretisk kan starte med 0, tælle opad 1, 2, 3, 4, 5 … og “nå” ℵ₀ i henhold til induktionens aksiom. Der er også utallige uendelige, såsom ℵ₁, kendt som kardinaliteten i kontinuumet eller antallet af reelle tal (forudsat at kontinuumhypotesen er sand … der er endda forskellige meninger om dette). Der er endda en skole af tænkte på “transfinite” tal, der kan håndtere sætninger som “Jeg dobbelt hund tør dig uendeligt plus en gang!”

Velkommen til uendelighedens kaninhul i matematik. Vi har defineret ordet til at betyde noget her. Det er defineret med hensyn til et sæt aksiomer. Holder disse aksiomer i “det virkelige liv?” De fleste matematikere finder det praktisk at antage, at de gør det. Den computer, du læser dette om i dag blev udviklet ved hjælp af mange modeller fra calculus, og calculus “rødder findes dybt i uendelighed (især dens begreb” grænser). Indtil videre har denne antagelse gjort os ret godt. Er denne antagelse “sand?” Det “er mere kompliceret spørgsmål. Der er finitistiske tankeskoler, der starter ud fra antagelsen om, at antallet af naturlige tal er endeligt, som regel relateret til det menneskelige sinds eller universets endelige kapacitet på en eller anden måde. Hvis tiden er endelig, og beregningen er endelig, kan man teoretisk ikke computerere “uendelig”, så de hævder, at den ikke eksisterer. Har de ret? Nå, ja … efter deres definitioner, ligesom den modsatte påstand er sand ved definitionerne af Peano-aksiomerne og sætteorien. Begge kan uden tvivl være rigtige, fordi de hver definerer ordet “uendelighed” til at betyde noget, der nogensinde er så lidt anderledes.

Som afslutning kan det være værd at dabbe sig i sproglig valg: ”Så skal vi sige, at tal er uendelige?” Vi kan sige et stort antal ting. Om disse ting opfylder idealet om sandhed (i sig selv et meget svært ord at beskrive formelt) afhænger meget af ens individuelle betydninger for ord. Hvis du accepterer definitionen for “uendelighed” givet af almindelig matematik, er “tal er uendelige” sandt, bogstaveligt talt fordi almindelig matematik definerer “uendelighed” som sådan. Hvis du accepterer definitionen givet af finitisterne, så er “tallene uendelige” falske, bogstaveligt talt fordi finitisterne definerer “uendelig” som sådan. Du kan vælge din egen definition. Det kan endda være sammenhængende (det er ikke ualmindeligt at finde kristne matematikere, der definerer “uendelighed” inden for deres religion lidt anderledes, end de definerer det inden for matematikken, uden nogen dårlige virkninger udover to meget ens begreber, der får det samme ord i deres ordforråd) .

Kommentarer

• " der er hele tankeskoler, der udforsker det uendelige spektrum af tal ". Ingen kan udforske den uendelige mængde tal, fordi de er uendelige. Du har brug for uendelig mange år og uendelig mange forskere.
• Dette svar indeholder det, jeg antager, er en uskyldig fejl. Værdien af kontinuumets kardinalitet er en af sætteoriens store ukendte. ZFC er ikke stærk nok til at besvare en værdi. At sige, at " c " er lig med aleph-1, er at antage sandheden af kontinuumhypotesen.
• Jeg kan virkelig godt lide dette svar.Så meget som alt er, hvad vi siger, det er, når der er folkelig enighed, dette svar går endnu længere til meget hurtigt og giver tydeligt den matematiske ramme, hvorved vi begge definerer termer og specifikt, hvordan uendelighed defineres ved hjælp af samme. +1
• @NickR Tak for fangsten! En redigering er kommet på plads!
• @JohnAm Du kan udforske dem på et endelig tidspunkt, så længe du gennemsnitligt har en uendelig lang tid på hvert nummer 😉 Det rejser spørgsmålet om, hvor grundigt vi udforsk nogle af de større tal, gør det ikke ' t!

Det accepteres generelt, at de naturlige tal tilfredsstiller Dedekind-Peano Axioms (normalt bare opkaldt efter Peano, fordi Dedekind bliver stiv). at der er uendeligt mange naturlige tal. Og det er ikke svært at se hvorfor: der kan ikke være det største naturlige tal n, da n + 1 er et større naturligt tal.

Mere generelt, i standard (ZFC) aksiomer til sætteori vi kan bevise eksistensen af en hel del uendelige sæt. Dette er lidt mindre nyttigt til dine formål, da eksistensen af et uendeligt sæt er indbygget i ZFC som et aksiom, men da ZFC er bredt accepteret af matematikere og filosoffer er det værd at påpege.