I et almindeligt pentagram (5-spids stjerne) er vinklen i hvert punkt 36 grader, så vinklerne i alle fem punkter sum til 180 grader:
Hvad med et uregelmæssigt pentagram, som det følgende?
Nu kan vinklerne være forskellige fra hinanden; situationen er meget mere kompliceret. Kan du bevise, at vinklerne i alle fem punkter stadig summer til 180 grader?
Begrænsninger (for at gøre det klart, at dette hverken er et matematisk problem [i modsætning til et matematikpuslespil] eller en øvelse i beregning eller avanceret euklidisk geometri):
- ingen aritmetiske operationer tilladt (tilføjelse, multiplikation, …)
- du kan tegne et nyt linjesegment på stjernen, men ikke mere end det
Kommentarer
- Undskyld rand, men jeg tror, det er bare endnu et matematisk problem … (” bevis “, ” vinkler “, ” sum “, ” 180 grader “)
- @MarkN Ifølge kanonisk metapost om dette, tegnet på et matematisk puslespil i modsætning til problem er at have ea smart eller elegant løsning, ofte et ” aha ” øjeblik , en uventet problemerklæring eller et uventet eller kontraintuitivt resultat . Den løsning, jeg har i tankerne, har bestemt den første af disse funktioner og IMO de sidste to også.
- Dette er ikke ‘ et matematisk puslespil – det ‘ et logisk puslespil. Du lærer normalt kun denne logik fra en person, der også underviser i matematik.
Svar
$ \ hskip 1,5in $ 
det er drømmende?
Dette er et billede af en pil, der fejer hver af de successive vinkler i stjernen. Bemærk, at når den har sporet alle $ 5 $ vinkler, er dens retning omvendt – hvilket betyder, at den har roteret $ 180 ^ {\ circ} $, og at dette skal være summen af vinklerne. Vi kan gøre det samme med stjernen i din figur, ergo, dens vinkler er alt for $ 180 ^ {\ circ} $.
En generalisering:
Vi kan gøre det samme med en figur som denne, hvis vinkler beløber sig til $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 i $ 
Vi kan også gøre dette til en trekant. Den vigtige egenskab er denne:
Der må ikke være hjørner af stjernen indvendigt til keglen, der fejes ud af en stråle, der krydser en given vinkel.
Tilfredsstiller denne betingelse – som grundlæggende siger, at vi aldrig behøver at “ignorere” hjørner, men i stedet bare dreje pilen og se hvad den hits – vi finder ud af, at vi kan bestille hjørnerne “med uret”, således at enten hovedet eller halen på pilen i hver vinkel træder frem til det næste toppunkt i rækkefølgen (og de skifter hvilken). Naturligvis vil både hoved og hale gøre en fuld omdrejning, når dobbelt så mange vinkler som hjørner er blevet sporet, hvilket giver det ønskede resultat.
(Man kan også udtrykke min tilstand som “at tildele hjørnerne tallene $ 1 $ gennem $ 2n + 1 $ i urets rækkefølge set fra et centralt punkt, skal det være, at $ 1 $ forbinder til $ n $ og $ n + 1 $, og alle andre punkter er forbundet analogt “)
Kommentarer
- (Også hvad det ‘ er værd, kunne jeg virkelig godt lide dette puslespil, selvom mit svar ikke er havde til hensigt – jeg havde en god, ” Nå, at ‘ s indlysende ” øjeblik, efterfulgt af et par timers intens hovedskrabe, forsøg på at finde ud af, hvorfor det var indlysende, efterfulgt af ” Aha! Det var indlysende! “)
- Jeg antager, at din kommentar er en henvisning til denne vittighed ? =)
- Accepteret fordi det ‘ er endnu pænere end det svar, jeg også ledte efter, og dækker også en generalisering.
Svar
Placer din blyant på linje 1.
Drej din blyant, så den stemmer overens med linje 2. Du drejede den lige mod uret ved vinklen øverst på pentagrammet.
Drej den nu mod uret igen på linjen 3. Så igen på linje 4, derefter 5 og til sidst tilbage til 1. Du har lige drejet din blyant gennem alle fem vinkler i pentagrammet i rækkefølge.
Og hvad skete der? Blyanten ligger nu på samme linje som den startede ved og pegede i den modsatte retning.Hvis du sporer, hvilken retning blyanten peger på hvert trin, kan du se, at du i alt drejede den mod uret en halv omgang. Hvorfra, $ 180 ^ \ circ $.
Kommentarer
- Dette vil være et smukt bevis, hvis du tilpasser det for at udelukke muligheden for, at du har roteret blyant gennem et andet ulige multiplum på $ 180 ^ \ circ $. Med dette heptagram ender blyanten også med at pege modsat, men har roteret gennem $ 540 ^ \ circ $
- Der er en kontinuerlig deformation fra referencepentagrammet til ethvert deformeret pentagram. Rotationen kan således ikke springe fra et multiplum af 180∘ til et andet.
- Dybest set er enhver $ \ {m: n \} $ – gram, hvor $ n < \ frac m 2 $ roterer $ 360 \ gange (\ frac m 2 – n) $ grader.
- Fin forklaring Lopsy … enkel, ren 🙂 Jeg ville sige, tag 4 vinkler og visuelt begynd at reducere dem til 0 .. tænk på, hvordan stjernen ser ud, når dette sker … 5. vinkel fortsætter med at vokse til at rumme … indtil 4 vinkler er 0, og den femte er 180 (dvs. en lige linje) ..: ) Men jeg kan godt lide Lopsy ‘ s forklaring bedre ..;)
- Skønheden i dette svar er, at det ikke ‘ t læses som et matematisk bevis. Alle kan forstå det.
Svar
Her er endnu et bevis.
Etiket punkterne som vist, og tegne linjesegment-cden. Brug A, B osv. til at angive de vinkler, vi bliver bedt om at finde summen af.
Nu
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA + A = 180 ^ \ circ $ (vinkler i en trekant)
Så det er tilstrækkeligt at bevise det
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA = B + C + D + E $
Nu
$ \ vinkel ADC = D + \ vinkel BDC $ og $ \ vinkel DCA = C + \ vinkel ECD $
Så det er tilstrækkeligt at bevise, at
$ \ vinkel BDC + \ vinkel E CD = B + E $
hvilket naturligvis er sandt, fordi
LHS er supplementet til $ \ vinkel DFC $ og RHS er supplementet til $ \ vinkel EFB $ , hvor $ \ angle DFC $ og $ \ vinkel EFB $ er ens, fordi de er lodret modsat .
Kommentarer
- Dette er det svar, jeg ledte efter.
- Så stort set kan du destillere denne løsning til 2 regler: vinkler i trekanter = 180 og modsatte vinkler på 2 skæringslinjer er ens.
- @randal ‘ thor Denne løsning indebærer også tilføjelse, så den ville ikke overholde dine begrænsninger, eller du skulle ændre dine begrænsninger.
- Ja, jeg ville sige, at dette er som ikke-den- men en af de mest matematiske -ish svar her. Fraværet af aritmetik betyder ikke, at det ikke er ‘ t matematik …
Svar
Summen af de indvendige vinkler af en femkant er altid 540 °.
Vinklen på hvert udvendige punkt er altid summen af de to tilstødende indvendige vinkler – 180 °. Vi kan sige dette, da, givet interne vinkler A og B, trekantsvinklerne er 180 – A, 180 – B, X. Ved definition af vinkler i en trekant er X lig med $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Hver indvendige vinkel på femkant bruges to gange, og der er 5 punkter, så $ (2 \ gange 540) – (5 \ gange 180) = 180 ° $
Kommentarer
- Jeg mener, at dette er grad 9 geometri, der spidser hovedet ud …
- Dette er mere kompliceret end det bevis, jeg tænkte på. Jeg kan redigere spørgsmålet for at begrænse de mulige beviser lidt mere, men jeg ‘ Jeg giver dig stadig et +1. Kan du retfærdiggøre din anden sætning? Jeg forstår heller ikke ‘ hvad tredje sætning siger.
- Hvis vi lader A og B være to tilstødende indvendige vinkler af femkanten, så er vinklen på punktet i trekanten er 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Dejligt bevis, men det ville være sejt, hvis du kunne bruge et billede eller 2, eller endda et gif!
- Jeg synes, det ‘ er muligt at generalisere dette bevis for at vise, at vinklerne på punkterne i enhver n -gramsummen til $ 180 ^ \ circ $ forudsat at formen forbinder hvert punkt med to tilstødende punkter på n -gonen.(Bemærk, at det unicursale hexagram ikke ‘ ikke opfylder forbindelseskriteriet; hexagrammet er heller ikke dannet af to trekanter; og kun en af de to unicursale heptagrammer gør det.)
Svar
Her er endnu et pænt bevis, denne gang ved induktion. Vi kan lave pentagrammet ved at starte med det normale og successivt at flytte fire af punkterne. Så det er tilstrækkeligt at bevise, at
at flytte et punkt i et pentagram ikke ændrer summen af vinklerne ved punkter
Lad “s
flyt punkt A til A” og kald både vinklen ved A og vinklen ved A “den øverste vinkel
Vi får dette:
Det er tilstrækkeligt at bevise det
ændringen i topvinklen og ændringer i vinklen es ved C og D summer til nul.
På dette nye diagram
vi viser
ændringen i den øverste vinkel som $ xw $ og ændringerne ved D og C som $ -y $ og $ z $,
og vi skal bevise, at
$ xw-y + z = 0 $, eller med andre ord, at $ x + z = w + y $,
hvilket er tydeligt som før, fordi
LHS og RHS er komplementerne til lodret modsatte vinkler ved G.
Svar
En anden tilgang:
Startende med den almindelige stjerne, vi ved, at $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Lad os nu tegne et linjesegment som vist i diagrammet.
Bemærk at $ B, D, E $ forbliver uændret! Fra vores observationer ser vi, at $ Y = C – X $ og $ Z = A + X $.
Således er summen af punkterne i vores nye stjerne $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Så vi kan fortsætte med at tegne segmenter og oprette nye stjerner (og skalere dem) indtil vi når den ønskede form.
Kommentarer
- Dejligt, men kan du måske tilføje noget for at gøre det mere intuitivt, at du kan lave en generelt uregelmæssigt pentagram ved en række bevægelser af et punkt langs en af linjerne gennem dette punkt og omskaleringer.
- Jeg kunne prøve, hvis kun geometri ikke gjorde ‘ t min hjerne så meget D:
Svar
Det er uundgåeligt, at nogle aritmetik skal udføres – den tilsigtede konklusion er trods alt kvantitativ – så udfordringen bør ikke være t o skjul aritmetikken eller at kalde den under et andet navn, men for at gøre det indlysende og dødt simpelt. Følgende argument reducerer aritmetikken til at observere, at fem er en mere end fire (og at en helhed er to gange et halvt, en kendsgerning, der bruges i forbifarten).
Stjernen snor sig to gange rundt om centrum, og derfor skal enhver, der krydser den, dreje to fulde cirkler (fire halve cirkler). Al drejning sker kun i hjørnerne, hvor det maksimale beløb er en fuldstændig ansigt på halvdelen af en cirkel. For fem hjørner, der ville være fem halvcirkler eller en mere halvcirkel, end der faktisk drejes: 180 grader. Manglen mellem dette maksimale og den drejningsmængde, der faktisk opnås, er netop summen af de indvendige vinkler, QED.
Denne tilgang er den, der tages i moderne matematik (dvs. efter det 18. århundrede). Det generaliserer til vilkårlige figurer med vilkårlige dimensioner trukket inden for andre figurer, som de selv kan være buede. Det er kendt som Gauss-Bonnet-sætningen .
Svar
Der er en cirkelbaseret sætning, der siger “Målingen af en indskrevet vinkel er halvt mål for buen, den opfanger.” Dette betyder, at for vinkel x vil buen, den opfanger, være 2x . 
Hvis du nu indskriver stjernen i en cirkel, får du denne:
Hvis du mærker den forrige tegning, får du denne;
Med denne sætning ved vi, at vinklen ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, og ∠ 5 = b / 2. Hvis vi distribuerer det, får vi ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Desuden, fordi målingerne af alle buer i en cirkel tilsammen udgør 360, ved vi, at a + b + c + d + e = 360 . Endelig får vi ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 eller ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 ved hjælp af substitutionsegenskaben. + ∠5 = 180 . Således er summen af alle vinkler 180.
Kommentarer
- Der ‘ er en fejl i dit argument: ikke alle pentagram kan indskrives i en cirkel.
- @ThomasKwa Kan du give mig et eksempel?
- @ user1812 flyt bare et punkt på dit eksempel ind i eller ud af cirklen. Det tager kun tre punkter at definere en cirkel, og et pentagram har fem.
Svar
Dette bevis i en fornemmelse er intet andet end at tælle graden af vinkler.
Husk, at en femkant, uanset om den er regelmæssig eller uregelmæssig, har sine indre vinkler til 540. Også vinklerne på et kryds på 2 lige linjer summerer til 360, hvor også de modsatte vinkler er kongruente.
Overvej de fem punkter i den centrale femkant, de punkter, hvor skæringspunktet mellem 2 linjer forekommer. Omkring disse 5 punkter er 360 x 5 = 1800 grader i alt og 5 x 4 = 20 vinkler at tælle.
Af de 20 vinkler er 5 fra femkanten, 5 mere er kongruente med dem. Så dette tegner sig for 540 + 540 = 1080 grader. Resterne af 1800 – 1080 = 720 grader kommer indefra de 5 trekanter.
5 trekanter indeholder 5 x 180 = 900 graders indvendige vinkler. 720 af disse grader er i hjørnerne af femkant / trekant / kryds.
Dette efterlader stjernens spidser 900 – 720 = 180 grader.
Rediger: Aritmetikken her er simpelthen stenografi for vinkel addition og subtraktion, det samme som i andre svar.
Svar
Den centrale Pentagon som A, B, C, D , E indeholder 540 GRADER
Summen af de 5 par par supplerende vinkler dvs. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Denne 720 grader repræsenterer “basen” vinkler på de 5 trekanter Hvilket udgør 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (de 5 vinkler, der søges.
De fem trekanter ved punkterne summer til 5 * 180 = 900
Kommentarer
- Spørgsmålet beder specifikt om at bevise det uden at bruge aritmetiske operationer.