Forskel mellem heltal og decimaltal

“Counting” (fører til optælling af tal) er et specielt tilfælde (med tvetydigheder) om “måling”, hvor rollen som “mål / enhed” er mere synlig. Naturligvis (tror jeg) den naturlige enhed, der er impliceret i “tælling” -situationer, er en relevant atomare enhed (såsom “hel, operationel person” snarere end ikke-så-funktionel mindre del af en person).

Det vil sige at tælle implicit målinger med enhed det mindste / atomatiske gennemførlige / operationelle mål (ofte så universelt implicit, at det er uden for diskussion).

En mere avanceret analog opstår, når mere avancerede undergrads først udsættes for idé om, at uendelige summer (også kaldet “serie”) falder under paraplyen af “integraler”, men med “optællingsmål” … og at diskrete sæt har mindst et naturligt regelmæssigt, positivt Borel-mål, nemlig tællingsmål.

Kommentarer

• 1. Det var det, jeg hentydede til i min indledende sætning, og så er jeg selvfølgelig enig og jeg kan godt lide det særlige skær, du giver det. 2. Men hvordan reagerer du på de meget rå begyndende studerende, der spørger ” Hvorfor kan ‘ ikke vi sig 0,04 DekaPeople siden vi kan sige 0,04 KiloPeople? På en eller anden måde, at 0,04 DekaPeople = 0,4 People og 0,04 KiloPeople = 40 People hjælper ikke: deres opfattelse er, at når vi først opererer i det decimal-metriske system, skal der ikke benyttes fremmede overvejelser, og ting bør ikke afhænge af, om ” nævneren ” er Folk eller liter mælk .
• @schremmer, jeg ‘ d hævder, at uden ” anvendelse af fremmede overvejelser ” aritmetikken giver stadig mening, sikker, men relevans / anvendelighed kan undertiden lide. Kontekst betyder noget.
• Selvfølgelig er kontekst vigtig, som det sker for det meste. Disse er dog såkaldte udviklingsstuderende og er meget svære at tage hensyn til logik.Men så når de først er startet, hænger de naturligvis op på ting som det. Jeg prøver at fortælle dem, at de altid vil være i stand til at fortælle fra ” nævneren “, som de er enige om, men de insisterer stadig at ” der burde være en regel ” uafhængig af om vi taler Folk af liter mælk. Det er det, jeg ikke ‘ ikke ved, hvordan jeg skal svare.
• @schremmer, du fortæller dem måske, at ikke alt (selv i matematik) kan reduceres til en liste over utvetydige regler. Jeg er klar over, at der er forskellige udviklingsmæssige situationer, men alligevel forsøger jeg at forsikre studerende på alle niveauer om, at de ikke ikke skal suspendere deres egen kritiske vurdering … men / og at de har et ansvar for bruge det, snarere end blot bruge magisk tænkning eller påberåbe uforklarlige ” regler “.
• Mit svar på et spørgsmål som ” Hvorfor kan ‘ t vi sige 0,04 DekaPeople [0,4 personer] ” er, at vi bestemt kan sige noget lignende. For eksempel. Spørgsmål: Hvad er befolkningstætheden på Falklandsøerne pr. Kvadratkilometer? Svar: 0,26 personer. link

Hvorfor kan vi ikke sige ” 0,04 mennesker ” da vi kan sige ” 0,04 KiloPeople “?

Nogle mængder (f.eks. Personer) er diskrete størrelser og nogle (f.eks. meter, dollars) er kontinuerlige størrelser.

Følgende diskussion er fra her . (Jeg har understreget ordene ” naturligt tal ” og ” decimal. “)

Klassificering af mængder

En mængde er enten diskret eller kontinuerlig . En diskret størrelse er størrelsen af et tællesæt (et hvis elementer er “indbyrdes adskilt og individuelt adskilt”). Dens talværdi er et naturligt tal (“opdeling i en mængde mindre end en enhed kan ikke tages i betragtning”), og dens enhed er klar i starten. Et eksempel på en diskret mængde er “tre drenge.”

En kontinuerlig størrelse er størrelsen af et “kontinuum” (“en kontinuerlig enhed, der kan opdeles i et vilkårligt antal mindre dele”, således at “enhver to sådanne enheder kan kombineres til en større ”). Dens talværdi (en decimal eller en brøkdel) og dens enhed “er ikke bestemt a priori . ” Et eksempel på en kontinuerlig mængde er “tre dollars.”

En kontinuerlig mængde er enten omfattende eller intensiv . Førstnævnte udtrykker bredde eller størrelse (såsom areal eller vægt); sidstnævnte udtrykker kvalitet eller intensitet (såsom tæthed eller hastighed). En omfattende mængde har additivitet: attributten for forening af to legemer er lig med summen af attributterne for de to organer. En intensiv mængde har ikke additivitet. For eksempel er vægten af to legemer nødvendigvis summen af deres vægte, men hastigheden af to legemer er ikke nødvendigvis summen af deres hastigheder.

Teksten er skrevet til matematikundervisere, men den kan omformuleres for lettere at forstå af begyndere.)

Mit originale svar (inkluderet her for kontekst), som OP påpegede adresserede ikke det tilsigtede spørgsmål:

Nogle mængder, f.eks. $ 1/3 $ liter, har decimalrepræsentationer ( $ 0. \ overline {3} $ liter) men ingen repræsentationer af hele antallet.

Kommentarer

• Hvad har dette at gøre med mit spørgsmål?
• Dit spørgsmål var ” Hvor trækker du linjen mellem hele og decimal og hvordan forklarer du det til meget rå begyndelse studerende, der vil forstå ? ” I Jeg foreslår, at du tegner linjen, når decimalrepræsentationen ikke slutter, og at dette eksempel skal være klart for ” meget rå begyndelse ” studerende .
• @De meget rå begyndere, jeg har at gøre med, har ingen idé om, hvad en decimal kan repræsentere, endsige en decimalrepræsentation, der ikke afsluttes. Desuden er 1/3 liter mælk 1 , hvilket er et heltal, der tæller de ting _ denomineret_ af som den tager 3 at fremstille en liter mælk så her er din repræsentation af hele antallet.Under alle omstændigheder har det ikke meget at gøre med det oprindelige spørgsmål.
• Så hvad med $ \ sqrt {2} $ meter, længden af hypotenusen til en ligebenet højre trekant med hvert ben af længden $ 1 $ måler? Er du enig i, at den har en decimalrepræsentation, men ikke en heltalrepræsentation?
• Selvfølgelig, men hvad har det at gøre med det originale spørgsmål? Du svarer stadig på et spørgsmål jeg stillede aldrig . Det spørgsmål, jeg stillede, vender rundt: Hvorfor kan ‘ t vi sige ” 0,04 mennesker ” da vi kan sige ” 0,04 KiloPeople “?

Jeg tror, at forvirringen stort set er en konsekvens af det faktum, at mange mennesker finder præfikser i det metriske system ( kilo- , centi- osv.) ukendte, og find decimaler (endda afslutter dem) mindre intuitive end de “vulgære fraktioner”, de repræsenterer.

Hvis nogen spurgte mig “Hvordan kan 0,004 kilometer, et decimaltal, være det samme som 4 meter, et helt tal “? (som OP nævner i kommentarerne under hans spørgsmål), ville jeg svare med noget som dette:

Er du også generet af det faktum, at $ 1 / 2 $ et dusin æg, en brøkdel, er det samme som 6 æg, et heltal?

Hvad der kommer næste, afhænger af spørgerens svar Men lad os antage, at de reagerer med noget som: “Okay, det antager jeg. Men hvorfor kan jeg sige” 0,04 kilopere “, men jeg kan ikke sige” 0,04 personer “?” I så fald ville jeg svare med :

Er du også generet af det faktum, at du kan koge et halvt dusin æg, men du kan ikke koge et halvt æg?

Pointen med disse svar, for at være klar, er ikke at lukke samtalen med en zinger, men snarere at bringe til overfladen, hvad de underliggende problemer er: ” 1 kilopæle “betyder det samme som” 1000 mennesker “, og du kan have halvdelen af tusind mennesker på samme måde som du kan have halvdelen af et dusin æg. På den anden side kan du ikke have $ 1/7 $ på tusind mennesker, på nøjagtig samme måde som du ikke kan have $ 1/7 $ på et dusin æg.

Kommentarer

• Mit problem med et spørgsmål som ” Hvorfor kan ‘ t siger vi ‘ 0,04 Mennesker ‘ “, er det forekommer mig, at vi bestemt kan sige det. For eksempel kan det være befolkningstætheden pr. Kvadratkilometer i en bestemt region. Faktisk: 0,04 mennesker er faktisk nøjagtigt befolkningstætheden (pr. Km ^ 2) på Svalbard- og Jan Mayen-øerne i Norge. link .
• @mweiss Udviklingsstuderende, der begynder at stille spørgsmål, kan ikke lide at blive besvaret med et spørgsmål. De afskediger din ” Er du også generet … ” som en ” lærer trick “. Senere under diskussionen ville de naturligvis ikke have nogen indvendinger mod din tankegang og ville faktisk gå sammen med den. Men hvad jeg tror, at deres spørgsmål virkelig handler om, som jeg kommenterede til Paul Garrett, er: ” når vi først opererer i det decimal-metriske system, bør der ikke benyttes fremmede overvejelser og ting bør ikke afhænge af, om ” nævneren ” er mennesker eller liter mælk. ”