Du kan knytte punkter på overfladen af en enhedssfære til rene centrifugeringstilstande på følgende enkle måde.

Et punkt på sfæren $ (n_x, n_y, n_z) $ er associeret med en egenvektor til operatøren $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ med en positiv egenværdi og omvendt. Dette inkluderer alle spin 1/2 enkeltpartikel spin-tilstande.

Og dette er ikke tilfældig eller visualisering eller matematik. Hvis du har en Stern-Gerlach-enhed med et magnetisk felt inhomogenitet, der peger i retningen $ (n_x, n_y, n_z) $, vil den konsekvent afbøje strålen i en bestemt retning, når den har den tilstand, der er egen til $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Men er det ikke så forvirrende? Hvis nord- og sydpolen vælges, er begge stater på samme linje og ikke længere retvinklet,

Det er ikke forvirrende i det mindste. Geometrien er relateret til orienteringen af den fysiske enhed i laboratoriet, som din tilstand giver pålidelige resultater til.Den modsat orienterede enhed giver også pålidelige resultater. Dette er almindeligt for ortogonale tilstande, at teorthorthonale tilstande kan være egen for den samme operator.

Så forskellige punkter i Bloch-sfæren identificerer forskellige retninger, der giver “op” -resultatet for forskellige tilstande. Forveks ikke orienteringen af måleenheden i 3d-rum med geometrien af staterne i spin-space.

så hvordan kan man vælge et vilkårligt punkt $ p $ på kuglens overflade og eventuelt nedbryde det i form af $ 0,1 $ stater for at finde $ a $ og $ b $?

Det er omvendt. Hvordan besluttede du at kalde en tilstand 0 og en anden 1? Du valgte en tilfældig retning og kaldte det z og orienterede din enhed for at have magnetfeltets inhomogenitet på den måde. Det gav dig en op og en ned.

Men nu kan vi specificere enhver spin-tilstand. På samme måde har du et vilkårligt punkt $ (n_x, n_y, n_z) $, find derefter egenvektoren på $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Med positiv egenværdi. Kald det $ \ venstre | s \ højre \ rangle, $ derefter $$ \ venstre | s \ højre \ rangle = \ langle 0 \ venstre | s \ højre \ rangle \ venstre | 0 \ højre \ rangle + \ langle 1 \ venstre | s \ højre \ rangle \ venstre | 1 \ højre \ rangle $$ så der er din $ a $ og $ b $ bortset fra at du ikke kender den samlede fase og størrelse, men en enkelt partikels spin-tilstand har ikke en af dem .

Betyder dette, at man ikke skal betragte Bloch-sfæren som et gyldigt grundlag for vores system, og at det bare er en visualiseringshjælp? / p>

Nej, det betyder, at du ikke skal forveksle geometri i laboratoriet med geometrien i Hilbert-rummet. Fysik er en eksperimentel videnskab, så de er absolut relaterede, men de er ikke de samme.

Hvis du vil projicere en vektor på et eget rum, projicerer du ikke etiketterne på hinanden. Du kan have en spin-tilstand og en anden spin-tilstand, og når du sætter en gennem en Stern-Gerlach-enhed, der er orienteret mod den anden, splittes de rumlige frihedsgrader og adskilles i en, der er op i den retning og en, der er rumligt ned fra retning og centrifugeringstilstand ændrer sig bogstaveligt talt for at pege op i strålen, der rumligt gik op og pege ned i strålen, der gik ned. Så den ene partikels spin er blevet viklet ind i sin egen position.

Størrelsen på Hilbert Projection fortæller dig størrelsen på de rumlige dele, der blev afbøjet og delt. Men du behøver heller ikke bogstaveligt talt at huske sådanne regler. Hvis du skriver Schrödinger-ligningen ned for Stern-Gerlach-enheden, opdeles strålen og adskilles i de rigtige størrelsesdele, og spindene justeres efter de to polarisationer, og det sker uden at du beder den om at gøre det.

Så derefter er spin-tilstanden klar. Det fortæller dig i hvilken retning det vil gå pålideligt, hvis du giver det en chance. Og hvis du lægger det i en anden orienteret Stern-Gerlach, vil den blive tvunget til at gå i en af de to retninger, der er tilladt af denne orientering, og den vil opdele og gå i begge. For at få størrelsen på hver del kan du udvikle Schrödinger-ligningen eller beregne operatørens egenvektorer $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ og prikke den med egenvektoren af den positive egenværdi, der er vinkelret på den anden vektor. p>

Og ja, der er lettere måder at gøre dette på, og mere kan du komme ud af det. Men forhåbentlig ser du den anden geometri.

Kan du vise, hvordan man opnår $ cos \ theta / 2 $ og $ e ^ {i \ phi } $ vilkår?

Jeg brugte Pauli-spinoperatorerne. Hvis du vil vælge et grundlag, kan du skrive dem som matricer (en operator er en funktion på et vektorrum , en matrix står for en operatør, når du vælger en basis; operatøren eksisterer og er den samme uanset hvilket grundlag du måske vælger senere). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Og egenvektoren med positiv egenværdi er $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + i_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ medmindre $ n_z = 1 $, så er det $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Lad os behandle sagen om $ n_z = 1 $ først, i så fald $ a = 1 $ og $ b = 0 $ og $ \ theta = 0 $ så $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ fungerer alt sammen.

Hvis du vil skrive egenvektoren som en enhedsvektor, får du $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Hvis du vil justere fasen, så den første koordinat er reel og positiv, får du $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ slutning {matrix} \ højre). $

Resten er trigometri, f.eks. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Så vi skal bare vise at $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ og $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Sidstnævnte er en trig identitet $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Førstnævnte er $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Kommentarer

• Hvorfor har vi brug for en 3D-sfære og ikke kun en cirkel på et plan? Hvis vi forestiller os qubit som de 2 mulige værdier for et atoms spin eller dets superposition … Hvad ‘ er den fysiske betydning af den azimutale vinkel ϕ?

A. To-statssystemer

Lad et to-statssystem, hvor staterne er uafhængige af tidskoordinaterne. I dette tilfælde har systemet en ny grad af frihed . Et klassisk eksempel er en partikel med spinvinkelmoment $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Lad de to stater der svare til grundlæggende tilstande \ begin {ligning} \ vert u \ rangle = \ begynder {bmatrix} 1 \\ 0 \ slut {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {ligning} med navnet henholdsvis op og ned tilstand.

En systemtilstand udtrykkes af tilstandsvektoren \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi, \ eta \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {ligning} De komplekse tal $ \: \ xi, \ eta \: $ er sandsynlighedsamplituderne og de ikke-negative reelle $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ sandsynlighederne for at være systemet i tilstanden $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: henholdsvis $ .

Systemstatusens Hilbert-rum er i mange henseender identisk med (enhedens sfære) det komplekse rum $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

En observerbar af systemet vil blive repræsenteret af en $ \: 2 \ times2 \: $ hermitian matrix A med formularen \ begin {ligning} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {ligning} , så det lineære rum i $ \: 2 \ times2 \: $ hermitiske matricer er i mange henseender identiske med $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Fra det sædvanlige grundlag for $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ konstruerer vi et grundlag for dette rum af matricer \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {ligning}

Nu, hvis de grundlæggende tilstande $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ af ligning \ eqref {01} svarer til egenværdierne for egenværdier $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ af en observerbar, så denne observerbare vil blive repræsenteret af matricen
\ begin {ligning} \ begynder {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {ligning} ikke inkluderet i \ eqref {04}. Men i stedet for basen \ eqref {04} kunne vi bruge følgende lineære kombinationer af dem \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ start {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} og skiftende symboler og arrangement

\ begin {ligning} I = \ begynder {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ fed symbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {ligning} hvor $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ Pauli-matricerne .

Nu basistilstandene $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ af ligning \ eqref {01} er egenstater for $ \: \ sigma_3 \: $ så det er nødvendigt at udtrykkes med abonnementet $ \: ” 3 “\: $ \ begin {ligning} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {ligning} Dette skal gøres for sandsynlighedsamplituderne $ \: \ xi, \ eta \: $ også \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {ligning} Årsagen til dette er, at vi lige så godt kan bruge egenstaterne $ \: \ vert u_1 \ rangle, som grundtilstande i Hilbert-rummet \ vert d_1 \ rangle \: $ af egenværdier henholdsvis $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ af $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {ligning} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {ligning} , så \ begynder {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {ligning} eller det relevante for $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {ligning} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {ligning} så \ begynder {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {ligning} Egenstaterne $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ vises skematisk i figur-04.

Nu \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ højre) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} så \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Også \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} så \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ venstre (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ højre) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} I ligninger \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} af $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ betegner vi det komplekse konjugat af det komplekse tal $ \: z \: $ og af $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ de rigtige og imaginære dele af $ \: z $ .

Da $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ vi indstiller (se figur 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polar vinkel i forhold til $ x_3- $ akse} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimuthal vinkel i forhold til $ x_3- $ akse} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Under disse definitioner \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ venstre (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ højre) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} og ligninger \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} giver følgende sandsynligheder \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ højre) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Bemærk, at tilstanden $ \ vert \ psi \ rangle $ af ligning \ eqref {09} kunne udtrykkes som \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {ligning} eller ignorerer fasen faktor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ højre) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ højre ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {ligning}

---

B. On Sphere – In Ball

I figur-01 ser vi detaljerne i definitioner \ eqref {18a}, \ eqref {18b} og \ eqref {18c}. Dette er et planbillede fra et punkt på cirkelplanet $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ i figur-03. Bemærk, at denne figur-01 er gyldig, hvis alle abonnementer $ \: “3” \: $ erstattes af $ \ : “1” \: $ eller $ \: “2” $ . Definitionen og betydningen af forskellige punkter findes i det følgende.

I figur-02 ser vi geometrien af ligninger \ eqref {21a}, \ eqref {21b} og \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Dette er et planbillede fra et punkt på det positive i $ \: x_3- $ aksen.

Se en 3d-afbildning af figur-03 her

I figur-03 har vi en kugle med diameter 1 i et 3-dimensionelt rum $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ ikke identisk med det fysiske rum. På sfæren repræsenterer et punkt $ \: \ Xi \: $ en tilstand af systemet \ begynder {ligning} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {ligning} Nu til $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: på \: \: + 1/2 \: \: af \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \: \: repræsenterer \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \: \: på \: \: – 1/2 \: \: af \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \: \: repræsenterer \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: af \: \: \: \: tilstand \: \: punkt \: \: \ Xi \: \: på \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = størrelsesorden \: \: af \: \: sandsynlighed \: \: amplitude \: \: af \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = størrelsesorden \: \: af \: \: sandsynlighed \: \: amplitude \: \: af \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = sandsynlighed \: \: af \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = sandsynlighed \: \: af \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: vinkel \: med \: respekt \: til \: den \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! akse \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimuthal \: vinkel \: med \: respekt \: til \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = halv \: \: polar \: vinkel \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radius \: af \: cirklen, \: skæringspunktet \: af \: \: sfære \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: med \: \: planet \: gennem \: punkt \: \ Xi \: normal \: til \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Kommentarer

• som altid fantastisk figur.
• Jeg don ‘ t forstå, når du siger (05) er ikke ‘ t inkluderet i (04), er ikke ‘ t det $ E_3 $? Jeg forstår heller ikke ‘ hvordan $ E_3 – E_4 $ ikke ‘ t har alle nuller og en -2
• @ gary69: Velkommen til PSE. Mange tak for din opmærksomhed. Det var en tastefejl i ligning $ \ eqref {04} $ I redigerede til højre. Når du i fremtiden får omdømme, kan du se redigeringshistorikken for mit svar, vil du bemærke, at denne tastefejl blev oprettet i den 7. redigering af 25. august 2020.

En simpel udvidet kommentar, der strømliner det fine svar fra @Timaeus til en mere mindeværdig form.

Tilstandsvektoren
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definerer en matrix med ren tilstandstæthed gennem sin projiceringsoperator, $$ \ bbox [gul] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Vær opmærksom på den manifesterede invarians ved overfasning af $ | \ psi \ rangle $ .

generelle principper “udtryk for denne idempotente eremitiske tæthedsmatrix er tydeligvis også $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ med $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Det vil sige $ \ hat z $ aksen roterer til $ \ hat n $ aksen ved fulde (sammenhængende) rotationsvinkler , der angiver et halvt vinkel (spinor, grundlæggende) operatorudtryk.

Tænk over foton-spin

At tænke på denne mere konkrete sag hjalp mig med at få nogle nyttige billeder i mit hoved. Der er endda et velkendt og mere optikorienteret analog, der er værd at huske på: Poincaré Sphere .

Photon spin er en to-staters kvantesystem , som som Frobenius nævner , er det Bloch-sfæremodellerne.

Fotospin er også let at forstå / visualisere / manipulere eksperimentelt.

Fysiske polariseringsfiltre

Først lad os tænke over den mest konkrete ting muligt: polariseringsfiltrene.

Der er to typer polariseringsfiltre, du kan tænke på:

• lineær polarisator, i enhver vinkel mellem -90 og 90.

  F.eks her er en i 90 grader:

  

  og her er en i 45 grader:

  

  og her er en ved 0 grader:

  

  Kilde

  Wikipedia beskriver et par måder at oprette sådanne filtre på, og ovenstående billeder er Polariod-filtre , som bruges i solbriller og fotografering og derfor let tilgængelige .

  Fra et kvantemekanisk synspunkt foretager 90 og 0 graders orientering den samme måling: den eneste forskel er, at man lader foton passere, men den anden blokerer det. Men vi kan bruge begge lige til bestemme niveauet for lineær lodret polarisering af fotonet: du skal bare tage komplementet til val ue.

  Og da hver måling svarer til en Hermitisk matrix , kan vi repræsentere både 0 og 90 med en enkelt matrix:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Og matrixen i 45 grader er:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• cirkulær polarisator, som som Wikipedia forklarer normalt er lavet med en kvart bølgeplade + en lineær polarisator:

  

  Kilde .

  Den tilsvarende matrix er:

  $$ M_i = \ begynder {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Ovenstående matricer er de såkaldte Pauli-matricer .

Nogle interessante tilstandsvektorer

Lad os nu give navne til 6 poler, der repræsenterer 6 mulige interessante fotontilstande på Bloch-sfæren , og prøv at forstå, hvordan de interagerer med filtrene.

Kilde .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begynder {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineær 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begynder {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begynder {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ tekst {cirkulært med uret} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {cirkulært mod uret} \\ \ end {alignat *} $$

Den første ting vi bemærker er, at følgende par er alle baser:

• $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ og $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ og $ \ vert -i \ rangle $

For eksempel kunne vi repræsentere:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Og så observerer vi også, at:

• $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ er egenvektorer af $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ og $ \ vert – \ rangle $ er egenvektorer for $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ og $ \ vert -i \ rangle $ er egenvektorer for $ M_i $

Hvis vi husker, at resultatet af en måling i kvantemekanik er egenvektoren for en egenværdi, med sandsynligheden proportional med projektionen, får vi følgende prøvesandsynligheder for disse eksperimenter:

• $ \ vert 0 \ rangle $ tilstand på:

  • lineær polarisator 90 °: 100% bestået

  • lineær polarisator 0 °: 0% bestået

  • lineær polarisator 45 °: 45% bestået, fordi:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • lineær polarisator -45 °: 45% bestået

  • cirkulær polarisator: 45% bestået.Dette skyldes, at en lineær tilstand 0 kan nedbrydes i to cirkulære polariseringer:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 0% bestået
  • lineær 0 °: 100% bestået
  • lineær 45 °: 45% bestå
  • lineær -45 °: 45% bestå
  • cirkulær: 45% bestå
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 45% bestået
  • lineær 0 °: 45% bestået
  • lineær 45 °: 100% bestået
  • lineær -45 °: 0% bestået
  • cirkulære polarisatorer: 45% bestået
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 45% bestået
  • lineær 0 ° : 45% bestå
  • lineær 45 °: 45% bestå
  • lineær -45 °: 45% bestå
  • rund med uret: 100% bestå
  • cirkulært mod uret: 0% bestået

Relativ fase

En vigtig semiklassisk intuition at huske er, at:

cirkulær polarisering == to ortogonale lineære polarisationer 90 grader ud af fase:

Kilde .

Så for eksempel i :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

vi har en 90 graders relativ fase på grund af $ i $ relativ faseforskel mellem $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Men i den diagonale er de i fase i forhold til $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

så den relative fase er 0 for den ene.

Gå rundt sfæren

En almindelig måde at repræsentere en tilstand i Bloch-sfæren er at give bare de to $ \ theta $ og $ \ phi $ vinkler som vist nedenfor:

Kilde .

Da en kugle ikke er euklidisk, er en god måde at visualisere den på at gå gennem nogle letforståelige stier omkring den. På det følgende billede laver vi to stier:

• starter ved 0, passerer +, 1, -, og vender tilbage til 0
• starter ved 0, passerer i , 1, -i, og vend tilbage til 0

Kilde .

Gå fra + gennem i, -, -i og tilbage til + efterlades som en øvelse: cirklen bliver en skrå formørkelse og tynder mere og mere ned i en 45 graders linje.

Dette fører til en klar fortolkning af vinklerne:

• $ \ theta $ : jo større det er, jo mere sandsynligt er $ \ vert 1 \ rangle $ sammenlignes med $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : den relative fase mellem $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ . Denne relative fase kan ikke detekteres af en lodret eller vandret polarisator

Hvordan kan vi gå ned fra 4 reelle tal til kun 2 i staten ?

På Bloch-sfæren kan vi repræsentere tilstand med kun 2 reelle parametre: vinklerne $ \ theta $ og $ \ phi $

Men i de mere eksplicitte fuldstatusvektorer ser der ud til at være 2 komplekse tal, og derfor 4 reelle tal:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Hvorfor et af numrene skal fjernes er let: den samlede sandsynlighed skal være 1, og så:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

så på det tidspunkt er vi allerede begrænset til en 3-kugle .

Den anden er mere interessant: vi kan fjerne en anden parameter, fordi den globale fase af staten ikke kan detekteres af nogen eksperimenter og så vi kan frit vælge det vilkårligt.

En global fase er et imaginært tal. Modulet for dette tal skal være 1 for at opretholde den samlede sandsynlighed. Eksperimenter kan ikke registrere globale faseskift, fordi resultaterne af måling:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

på et af filtrene er det samme som ved måling:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

fordi $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Et naturligt valg er derfor at vælge en global fase, der roterer tilstanden, således at multiplikatoren for $ \ vert 0 \ rangle $ bliver et reelt tal, dvs. indstilling $ b = 0 $ .

Så for eksempel ved at gange med et imaginært tal, vi kunne kortlægge mere generelle tilstande i mere begrænsede, såsom

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ gange i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ gange -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ slut {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ start {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Hvorfor er der nøjagtigt tre Pauli-matricer?

Jeg tror, at der er dybe og klare matematiske grunde, der forklarer dette, knyttet til at de er basis for 2×2 Hermitisk matrixrum som nævnt i: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 og https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states og det er kernen i spørgsmålet om, hvorfor Bloch-sfæren er brugt, men jeg har ikke forstået det fuldt ud.

Men mere praktisk: de tre måleenheder, vi ønsker cribed er de eneste tre muligheder (op til globale rotationer), således at når du passerer gennem en, mister du al information om de to andre (50% sandsynlighed for de to andre eksperimenter).

Derfor er de ortogonale i en vis forstand og maksimalt, da der ikke er noget andet eksperiment, som vi kunne tilføje til det sæt eksperimenter, som denne egenskab indeholder.

Spil med Quirk

https://algassert.com/quirk

Dette er et andet værdifuldt forslag. Klik på disse billeder, indtil det hele giver mening.