Jeg har en kontinuerlig stråle over en midterste søjle (ikke sikker på, om jeg har tegnet den korrekt eller ej)
Forskydnings- og kraftdiagrammet er som vist:
Det første diagram er bøjningsmomentet, andet den aksiale kraft, det tredje er forskydningen.
Hvad er nu randbetingelsen på $ R_A $, $ R_B $ og $ R_C $?
Fra hvad jeg kan udlede, ser det ud til at være
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (svarer til afbøjningen ved de tre understøttelser)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ eller $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (svarer til øjeblikket).
Men jeg formoder, at jeg stadig mangler nogle randbetingelser for at udlede det komplette forskydnings- / kraftdiagram for fortsættelsen ous stråle. Er der nogen randbetingelser, som jeg “har savnet?
Svar
Nå mangler du skråningernes kompatibilitet ved den midterste støtte :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
I tilfælde af symmetrisk geometri & belastning, bjælkens hældning ved midterstøtten vil være nul.
Da bøjningsmomentet ikke har nogen afledt ved x = L, vil du skal udlede afbøjningerne af de to halvdele hver for sig og “slutte” dem med kompatibilitet.
Opdatering: afledning af strålebøjningsformel:
Startende fra Euler-Bernoulli stråle ligning (forudsat konstant EI) og tager x fra det ydre understøtter mod midten: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrering fire gange:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
At bemærke, at problemet er symmetrisk, er randbetingelserne: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Derfor kan vi straks se, at: $ B = D = 0 $
Vi har nu to ligninger med to ukendte (A, C). Løsning finder vi: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Vi kan nu erstatte alle konstanterne tilbage i ligningen for w. Forenkling af resultater i:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Hvilket er identisk med det refererede resultat her (bemærk, at deres koordinatsystem har x = 0 i midten). Bemærk også, hvordan dette er nøjagtigt det samme resultat som en udstødt cantilever . Dette skyldes symmetri, hvilket betyder, at bjælkehældningen i midten er nul (hvilket er den samme randbetingelse som en cantilever-understøtning).
Du kan også erstatte ligningen med bøjningsmomentet:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Kommentarer
- a) hældningstilstandens kompatibilitet er kun nyttig, hvis man kan modellere den kontinuerlige bjælke som to bjælker. Hvordan er det nyttigt i dette tilfælde? b) Hvorfor siger du, at bøjningsmomentet er diskontinuerligt på $ L $? momentdiagrammet i mit spørgsmål viser tydeligt, at det er kontinuerligt.
- Ville være taknemmelig, hvis du kan uddybe lidt, og hvis du kan vise, hvordan dine randbetingelser kan føre til forskydning / bøjningsmomentdiagram for kontinuerlig stråle .
- @ Graviton, a) Jeg opdaterer spørgsmålet med afledningen. b) du har ret, jeg var lidt løs med min matematiske terminologi. Hvad jeg mener er, at bøjningsmomentet ikke har nogen derivat ved x = L.