Lad mig først minde dig om (eller måske introducere dig for) et par aspekter af kvantemekanik generelt som model f eller fysiske systemer. Det forekommer mig, at mange af dine spørgsmål kan besvares med en bedre forståelse af disse generelle aspekter efterfulgt af en appel til, hvordan spin-systemer opstår som et specielt tilfælde.

Generelle bemærkninger om kvantetilstande og måling.

Et kvantesystems tilstand er modelleret som et enhedslængdeelement $ | \ psi \ rangle $ af et komplekst Hilbert-rum $ \ mathcal H $, en særlig slags vektorrum med et indre produkt. Hver observerbar størrelse (som momentum eller spin), der er knyttet til et sådant system, hvis værdi man måske vil måle, er repræsenteret af en selvtilhængende operatør $ O $ på dette rum. Hvis man bygger en enhed til at måle en sådan observerbar, og hvis man bruger enheden til at foretage en måling af den, der kan observeres på systemet, udsender maskinen en egenværdi $ \ lambda $ af den observerbare. Desuden, hvis systemet er i en tilstand $ | \ psi \ rangle $, er sandsynligheden for, at resultatet af måling af denne mængde vil være egenværdien af den observerbare \ begynde {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} hvor $ | \ lambda \ rangle $ er den normaliserede egenvektor svarende til egenværdien $ \ lambda $.

Specialisering til centrifugeringssystemer.

Antag nu, at det system, vi overvejer, består af en partikels spin. Hilbert-rummet, der modellerer spin-tilstanden for et system med spin $ s $, er et $ 2s + 1 $ dimensionelt Hilbert-rum. Elementer i dette vektorrum kaldes ofte “spinorer”, men lad ikke dette distrahere dig, de er ligesom enhver anden vektor i et Hilbert-rum, hvis opgave det er at modellere systemets kvantetilstand.

De primære observationer, hvis måling man normalt diskuterer for centrifugeringssystemer, er de kartesiske komponenter i systemets spin. Med andre ord er der tre selvtilhængende operatører, der traditionelt kaldes $ S_x, S_y, S_z $, hvis egenværdier er de mulige værdier man kan få, hvis man måler en af disse komponenter i systemets spin. Spektret (sæt af egenværdier) for hver af disse operatorer er det samme.For et system med spin $ s $ består hver af deres spektre af følgende værdier: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} hvor i min betegnelse $ i = x, y, z $. Så for eksempel, hvis du bygger en maskine til at måle $ z $ -komponenten i et spin- $ 1 $-system, så giver maskinen en af værdierne i sættet $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ hver gang. Svarende til hver af disse egenværdier har hver spin-komponentoperator en normaliseret egenvektor $ | S_i, m_i \ rangle $. Som angivet af de generelle bemærkninger ovenfor, hvis systemets tilstand er $ | \ psi \ rangle $, og man vil vide sandsynligheden for, at målingen af spin-komponenten $ S_i $ vil give en bestemt værdi $ m_i \ hbar $ , så beregner man simpelthen \ begynder {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} For eksempel, hvis systemet har spin- $ 1 $, og hvis man vil vide sandsynligheden for, at en måling på $ S_y $ giver egenværdien $ – \ hbar $, så beregner man \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

I ovenstående sammenhæng er spinorer simpelthen matrixrepræsentationer af tilstande i et bestemt spin-system på en bestemt ordnet basis, og Pauli-spin-matricerne er op til en normalisering matrixrepræsentationer af spin-komponentoperatørerne på dette grundlag specifikt til et system med spin- $ 1/2 $. Matrixrepræsentationer letter ofte beregning og konceptuel forståelse, hvorfor vi bruger dem.

Mere eksplicit antag, at man betragter et spin- $ 1/2 $ -system, og man vælger at repræsentere stater og observerbare i basis $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ bestående af de normaliserede egenvektorer af $ z $ -komponenten i spin, så ville man finde følgende matrixrepræsentationer på det grundlag \ begynde {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Læg mærke til det disse repræsentationer er netop Pauli-matricerne op til den ekstra $ \ hbar / 2 $ faktor. Desuden vil hver tilstand i systemet blive repræsenteret af en $ 2 \ gange 1 $ matrix eller “spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Og man kunne bruge disse repræsentationer til at udføre de ovennævnte beregninger.

Kommentarer

• Mange tak; dette hjalp mig med at forstå meget. Er det bare konvention, at de egenstater, der returnerer negative egenværdier, er spin ‘ ned ‘ og positiv spin ‘ op ‘? For at kontrollere min forståelse har jeg ‘ forsøgt at beregne eksemplet, jeg brugte ovenfor: er det sandt, at en spin-1-partikel målt til at være op i x-dimensionen (egenværdi hbar) vil være i normaliseret tilstand < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 >, og sandsynligheden for az-dimension måling, der vender op igen vil være 1/4, returnere spin nul være 1/2 og ned 1/4?
• +1 Jeg kan især godt lide dine ” maskiner ” i første afsnit – meget feynmanisk i smagen. Jeg kæmpede i mange år med at ” forstå ” QM: matematik og Lie teori blev vant til mig, men det tog lang tid for mig at forstå, at ” operatorer ” ikke kun operatører, men også kom med en speciel opskrift på, hvordan man fortolker dem som modeller for ” målemaskiner “. Desværre kan jeg ‘ ikke huske, om det var Feynman-foredragene eller Sakurai, der fik budskabet igennem, eller om det faktisk var en blanding af de to i mine tanker i brusebadet eller mens gå, men det er det, jeg anbefaler folk nu.

Grupper er abstrakte matematiske strukturer, defineret ved deres topologi (i tilfælde af kontinuerlige (Lie) grupper) og multiplikationsoperationen.

Men det er næsten umuligt at tale om abstrakte grupper. Derfor kortlægges normalt elementer af grupper på lineære operatorer, der virker på et eller andet vektorrum $ V $:

$$ g \ i G \ rightarrow \ rho (g) \ i \ text {End} (V ), $$

hvor G er gruppen, $ \ text {End} (V) $ står for endomorfismer (lineære operatorer) på $ V $, og $ \ rho (g) $ er kortlægningen .For at denne kortlægning skal være meningsfuld, skal vi kortlægge gruppemultiplikationen korrekt:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Det omvendte kortlægges også til

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

og gruppeidentiteten er bare

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Dette kaldes repræsentationen af gruppen $ G $. $ V $ transformeres under repræsentationen $ \ rho $ for gruppen $ G $.

I dit tilfælde er gruppen af interesse gruppen af rotationer i 3 dimensioner, som normalt betegnes som SO (3). Vores mål er at finde forskellige objekter, der kan roteres, dvs. repræsentationer (og repræsentationsrum) for SO (3).

En sådan repræsentation er den definerende repræsentation (som bruges til at definere SO (3)) eller vektorrepræsentationen. I dette tilfælde er $ V $ kun $ R ^ 3 $, og matricer fra $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ er ortogonale $ 3 \ gange 3 $ matricer med enhedsdeterminant:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Så vektorer kan roteres i 3 dimensioner. Resultatet af en sådan rotation med $ g \ i \ text {SO (3)} $ bestemmes ved at handle på den indledende vektor med operatøren $ \ rho (g) $.

En anden repræsentation er spinoren repræsentation. Vektorrummet er nu 2-dimensionelt og komplekst . Billedet af denne repræsentation består af enhed $ 2 \ gange 2 $ med enhedsdeterminant:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Denne repræsentation er ikke så indlysende som den forrige, da spinorer er noget, som vi normalt ikke ser i hverdagen. Men det kan matematisk bevises, at disse repræsentationer er isomorfe og derfor er to forskellige repræsentationer af den samme gruppe (faktisk er de homomorfe og spinorrepræsentation er det dobbelte omslag af vektorrepræsentationen).

Nu til Pauli-matricerne. Der er et generelt princip: for hver Lie-gruppe $ G $ findes der en tilsvarende lineær rum (Lie algebra) med en Lie-parentes (en antikommutativ operation, der tilfredsstiller Jacobi-identiteten), som unikt kortlægges på et eller andet kvarter i gruppeenheden på $ G $. Denne kortlægning kaldes eksponentiel.

Så du kan skrive en vilkårlig (tæt nok på enhed til, at globale topologiske problemer undgås) $ 2 \ gange 2 $ kompleks matrix fr om spinor-repræsentationen i form

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

hvor $ \ alpha ^ a $ er tre tal, der parametriserer gruppeelementet, hvis repræsentation er $ A $, og $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ er Lie algebra-basis med $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ gange 2 $ Pauli-matricer. Denne ligning specificerer stort set, hvordan en spinor transformeres under en vilkårlig rotation.

I vektorrepræsentationen er der også en Lie algebra-basis, som består af 3 $ 3 \ gange 3 $ matricer.

Der er to andre fortolkninger af Pauli-matricerne, som du måske finder nyttige, selvom først når du har forstået JoshPhysics fremragende fysiske beskrivelse . Følgende kan tages mere som ” funky trivia ” (at mindst finder jeg dem interessante) om Pauli-matricerne snarere end en fysisk fortolkning.

1. Som grundlag for $ \ mathfrak {su} (2) $

Den første fortolkning ses forskelligt som (i) de er enhed kvaternioner, modulerer et tegnændring og ombestilling af matematikerens definition af disse dyr , (ii) som grundlag for Lie algebra $ \ mathfrak {su} (2) $ af $ SU (2) $ når vi bruger matrixeksponentialet til at gendanne gruppen $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ gennem (iii) en tredimensionel generalisering af De Moivres sætning .

En generel, sporløs, $ 2 \ times2 $ skæv hermitisk matrix $ H $ kan entydigt nedbrydes som:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

med $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ i \ mathbb { R} $ . Denne matrix opfylder den karakteristiske ligning $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , hvor $ \ mathrm {id} $ er $ 2 \ times2 $ identitet og $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Så hvis vi distribuerer den universelt konvergerende matrixeksponentielle Taylor-serie og derefter reducerer alle kræfter på $ H $ højere end den lineære sigt med den karakteristiske ligning, får vi: / p>

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

som ses som en generalisering af De Moivres formel til ” ren imaginær ” enhed

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

og alle medlemmer af $ SU (2) $ kan realiseres af en eksponentiel som i (2) (men vær opmærksom på, at den eksponentielle af en Lie-algebra, selvom hele $ SU (2) $ i dette tilfælde ikke altid er hele Lie-gruppen, medmindre lat ter er (i) forbundet og (ii) kompakt). Således kan hvert medlem af $ SU (2) $ nedbrydes som en ” enhedslængdesuperposition af Pauli-matricerne og identitetsmatrix.

Årsagen til faktor 2 i definitionen $ \ theta / 2 $ er indtil videre mystisk: vidne om, at med henblik på ovenstående kan vi lige så godt have erstattet $ \ theta / 2 $ med $ \ theta $ . Årsagen er relateret til forholdet mellem Pauli-matricerne og den himmelske sfære, som jeg senere diskuterer. Kvaternioner repræsenterer rotationer gennem et spinor-kort ( MEN , som Joshfysik anbefaler, må ikke distraheres for meget af dette ord); hvis en vektor i 3-rum er repræsenteret af en rent imaginær kvaternion med formen $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , derefter dets billede under en rotation af vinklen $ \ theta $ omkring en akse med retning cosinus $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ er givet af:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dolk; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Dette spinor-kort er et eksempel på gruppen $ SU (2) $ handler på egen hånd Lie algebra gennem den tilstødende repræsentation. Det kan forstås intuitivt i form af en trekantregel til at udarbejde kompositionerne af to rotationer, som skitseret i mit diagram nedenfor. Buerne på enhedens kugle repræsenterer en rotation gennem en vinkel, der er dobbelt så stor som den vinkel, der er bundet af buen ved oprindelsen.

Jeg forklarer dette detaljeret i Eksempel 1.4 ” $ 2 \ times2 $ Enhedsgruppe $ SU (2) $ ” på min webside ” Nogle eksempler på forbundne løgnegrupper ” her .

Der er også min interaktive Mathematica-demonstration ” $ SU (2) $ Spinor Map: Rotation Composition by Graphical Quaternion Triangles ” på Wolfram-demonstrationssiden .

2. Den himmelske sfære

Ved at udvide det 3-dimensionelle lineære rum for superpositioner af Pauli-matricer (hvilket er det samme som det lineære rum for sporløst $ 2 \ times2 $ skæv-hermitiske matricer) til det 4-dimensionelle rum, der er spændt af Pauli-matricerne og identitetsmatricerne, derefter enhver transformation fra gruppen $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ virker på vektorer i formen $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ af samme spinor-kort som i (4). Hvis vi begrænser os til projicerende stråler i dette rum, er gruppen $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ isomorf til Moebius-gruppen på Möbius-transformationer virker på dette strålerum på nøjagtig samme måde som Möbius-transformationer (fraktioneret lineær) virker på Riemann-sfæren. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ er en dobbelt omslag af Lorentz-gruppen, og du kan beregne, hvordan udsigten til en rumfarer ændres, når de gennemgår Lorentz-transformationer. Se afsnittet ” Lorentz Transformations ” på Wikipedia ” Möbius Transformation ” side for yderligere detaljer.

En generel mekanisk forklaring. Felter og bølger følger hyperboliske ligninger (bølge ligninger). Disse repræsenterer fremskridt i rum og tid, og som sådan kan de ikke repræsentere masse, der skal være stationær, men som også kan dreje. En sådan bevægelse har brug for en elliptisk ligning. Som et eksempel er Kline-Gordon-ligning hyperbolsk, mens Dirac-ligning er elliptisk. I flydende væsker er der et parallelt eksempel. Virvler og turbulens kan ikke dannes uden hjælp fra en grænse – for at afbøje strømmen fra at komme videre til den cirkulerende tilstand. Den første region er hyperbolsk og den anden er elliptisk.

Nu for at skabe en partikel (spinnende energi) fra et felt (bevæger sig i position) er vi nødt til at afbøje / rotere retning af marken. Dette er hvor Pauli-matricerne kommer for at få hjælp og giver den krævede ellipticitet. Derfor bruges imaginære tal / rotation. Multiplikation af en størrelse med i roterer den med 90 grader, for en generel vinkel bruger vi eksponentielt af en imaginær størrelse.

Senere når vi blander lagrangianerne af bølger og partikler i en mere generel model, vender vi tilbage til at bruge Higgs til at gøre det samme job med at omdanne fra en type energi til den anden – det er fra felter til partikler og omvendt.