Mange steder i statistisk fysik bruger vi partitionsfunktionen . For mig er forklaringerne på deres anvendelse klare, men jeg spekulerer på, hvad deres fysiske betydning er. Kan nogen venligst forklare med et godt eksempel uden for mange matematiske komplikationer?
Kommentarer
- Bortset fra at være en normaliseringsfaktor, er mange af dens væsentlige funktioner til beregninger stammer fra dens lighed med Z og Laplace-transformationer takket være den eksponentielle-med-energi Boltzmann-distribution, som er en slags " co-indfald " idet de ikke ville ' ikke arbejde med en anden fordeling.
- Læste du " betyder " sektion i Wikipedia-artiklen ? Hvis ja, hvad tilfredsstiller dig ikke ' om " det koder for, hvordan sandsynlighederne er opdelt mellem de forskellige mikrostater " ?
- Mulig duplikat af Den urimelige effektivitet af partitionsfunktionen
Svar
Opdelingsfunktionen er et mål for det volumen, der er optaget af systemet i faseområdet. Dybest set fortæller det dig, hvor mange mikrostater der er tilgængelige for dit system i et givet ensemble. Dette kan let ses fra mikrokanonisk ensemble .
I det mikrokanoniske ensemble, hvor hver mikrostat med energi mellem $ E $ og $ E + \ Delta E $ er lige sandsynligt, delingsfunktionen er
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
hvor integralet kun er hypervolumenet i regionen af faseområdet, hvor energien (Hamilton) $ \ mathcal H $ i systemet er mellem $ E $ og $ E + \ Delta E $, normaliseret med $ h ^ {3N} $ for at gøre det dimensionsløst. Faktoren $ N! ^ {- 1} $ tager højde for det faktum, at ved at udveksle “etiketten” på to partikler ændres mikrostaten ikke.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
fortæller dig, at entropien er proportional med logaritmen for det samlede antal mikrostater, der svarer til dit systems makrostat, og dette tal er kun $ Z_ {mc} $.
I de kanoniske og grand-kanoniske ensembler forbliver betydningen af partitionsfunktionen det samme, men da energi ikke længere er fast, vil udtrykket ændre sig.
Den kanoniske partitionsfunktion er
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
I dette tilfælde integrerer vi over hele faseområdet, men vi tildeler hvert punkt $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a vægt $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, hvor $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, så de stater med energi meget højere end $ k_B T $ er mindre sandsynlige. I dette tilfælde er forbindelsen med termodynamik givet af
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
hvor $ F $ er Helmholtz fri energi .
Den store kanoniske partitionsfunktion er
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
hvor vi denne gang også opsummerer alle mulige værdier for antallet af partikler $ N $ og vejer hvert udtryk med $ \ exp (\ beta \ mu N) $, hvor $ \ mu $ er kemisk potentiale .
Forbindelsen med termodynamik er givet af
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Svar
Det er $ e ^ {- F / T} $, hvor $ F / T $ er den frie energi, der normaliseres af den relevante termodynamiske energiskala, temperaturen. Det eksponentielle er bare en monoton reparameterisering, så moralsk set er partitionsfunktionen bare den frie energi, der er tilgængelig for gør nyttigt arbejde.
En anden fortolkning: hvis normaliserer du det, så $ E = 0 $ er jordtilstanden, så groft sagt er det gensidigt af “fraktionen af systemet, som er i jordtilstanden.” Ekstremt heuristisk, lad $ g $ være det samlede beløb for systemet, der er i jordtilstand, $ e $ være det samlede beløb for systemet, der er i en afsluttet tilstand, og $ s = g + e $ være det den samlede mængde af systemet. Så er $ g / s $ den brøkdel af systemet, der er i jordtilstand, og dets gensidige er $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Boltzmann-vægten giver, at relativ vægt (eller “mængde”) af hver ophidset tilstand $ i $ med energi $ E_i $ i forhold til vægten af jordtilstanden er $ e ^ {- \ beta E_i} $.Når vi opsummerer alle de ophidsede tilstande $ i $, får vi partitionsfunktionen $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Svar
Fordelingsfunktion fysisk betydning er følgende: Det udtrykker antallet af termisk tilgængelige tilstander, som et system leverer til bærere (f.eks. elektroner).