Hvad er en manifold?

I ikke-tekniske termer er en manifold en kontinuerlig geometrisk struktur med en endelig dimension: en linje, en kurve, et plan, en overflade, en kugle, en kugle, en cylinder, en torus, en “klat” … noget som dette:

Det er et generisk udtryk, der bruges af matematikere at sige “en kurve” (dimension 1) eller “overflade” (dimension 2) eller et 3D-objekt (dimension 3) … for enhver mulig begrænset dimension $ n $. En endimensionel manifold er simpelthen en kurve (linje, cirkel …). Et todimensionelt manifold er simpelthen en overflade (plan, kugle, torus, cylinder …). En tredimensionel manifold er en “fuld genstand” (kugle, fuld terning, 3D-rummet omkring os …).

En manifold beskrives ofte med en ligning: sæt af punkter $ (x, y) $ såsom $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ er en endimensionel manifold (en cirkel).

En manifold har den samme dimension overalt. For eksempel, hvis du tilføjer en linje (dimension 1) til en sfære (dimension 2), er den resulterende geometriske struktur ikke en manifold.

I modsætning til de mere generelle forestillinger om metrisk rum eller topologisk rum, der også er beregnet til at beskrive vores naturlige intuition af et kontinuerligt sæt punkter, er en manifold beregnet til at være noget lokalt simpelt: som et endelig dimension vektorrum: $ \ mathbb {R} ^ n $. Dette udelukker abstrakte rum (som uendelige dimensionsrum), der ofte ikke har en geometrisk konkret betydning.

I modsætning til et vektorrum kan manifoldene have forskellige former. Nogle manifolder kan let visualiseres (kugle, kugle …), nogle er vanskelige at visualisere, som Klein-flasken eller rigtigt projektivt plan .

I statistik, maskinindlæring eller anvendt matematik generelt bruges ordet “manifold” ofte til at sige “som et lineært underrum”, men muligvis buet . Hver gang du skriver en lineær ligning som: $ 3x + 2y-4z = 1 $, får du et lineært (affint) underrum (her et plan). Normalt, når ligningen ikke er lineær som $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $, er dette en manifold (her en strakt kugle).

For eksempel “ mangfoldig hypotese “af ML siger” højdimensionelle data er punkter i en lavdimensionel manifold med højdimensionel støj tilføjet “. Du kan forestille dig punkter i en 1D-cirkel med noget 2D-støj tilføjet. Mens punkterne ikke er nøjagtigt på cirklen, tilfredsstiller de statistisk ligningen $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. Cirklen er den underliggende manifold:

En (topologisk) manifold er et mellemrum $ M $ som er:

(1) “lokalt” “svarende” til $ \ mathbb {R} ^ n $ for nogle $ n $.

“Lokalt” kan “ækvivalensen” udtrykkes via $ n $ koordinatfunktioner, $ c_i: M \ til \ mathbb {R} $, som tilsammen danner en “strukturbevarende” funktion, $ c: M \ til \ mathbb {R} ^ n $, kaldet et diagram .

(2) kan realiseres på en “strukturbevarende” måde som en delmængde af $ \ mathbb {R} ^ N $ for nogle $ N \ ge n $. (1) (2)

Bemærk at for at gør “struktur” præcis her, man skal forstå grundlæggende forestillinger om topologi ( def. ), som gør det muligt at lave nøjagtige forestillinger om “lokal” adfærd, og dermed “lokalt” ovenfor. Når jeg siger “ækvivalent”, mener jeg ækvivalent topologisk struktur ( homeomorf ), og når jeg siger “strukturbevarende” mener jeg det samme (skaber en ækvivalent topologisk struktur).

Bemærk også, at for at skal beregne på manifolder , har man brug for en yderligere betingelse, som ikke følger af over to betingelser, som grundlæggende siger noget i retning af “kortene er velopdragne nok til at give os mulighed for at beregne”. Disse er de manifolder, der oftest bruges i praksis. manifolds , foruden beregning tillader de også trianguleringer , hvilket er meget vigtigt i applikationer som din, der involverer point cloud-data .

Bemærk, at ikke alle bruger den samme definition til en (topologisk) manifold. Flere forfattere definerer den som kun opfylder betingelse (1) abo ve, ikke nødvendigvis også (2). Den definition, der tilfredsstiller både (1) og (2), er imidlertid meget bedre opført, derfor mere nyttig for praktiserende læger. Man kan forvente intuitivt, at (1) antyder (2), men det betyder faktisk ikke “.

EDIT: Hvis du er interesseret i at lære om, hvad en “topologi” er, er det vigtigste eksempel på en topologi at forstå Euklidisk topologi på $ \ mathbb {R} ^ n $. Dette vil blive dækket i dybden i enhver (god) introduktionsbog om “reel analyse” .

Kommentarer

• Tak for dit svar: Kan du venligst forklare, hvad en topologi også er i ikke-teknisk betegnelse? Er udtrykket topologi og manifold brugt ombytteligt? dimension skal være et heltal? Hvad er det er et reelt tal, så tror jeg, strukturen er kendt som fraktaler, hvis hele strukturen er sammensat af hver subpart, er selv-gentagende.
• @RiaGeorge $ n $ står for et naturligt tal (heltal $ \ ge 1 $), ligesom $ N $. Der kan være mere avanceret teori for brøk / r eal-værdiansatte dimensioner, men det ‘ t kommer så ofte op. ” Topologi ” og ” manifold ” betyder to meget forskellige ting, så de er ikke udskiftelige udtryk. En ” manifold ” har en ” topologi “. Topologi-området studerer rum, der har ” topologier “, som er samlinger af sæt, der opfylder tre regler / betingelser. Et mål med at studere ” topologier ” er at beskrive på en konsekvent og reproducerbar måde forestillinger om ” lokal ” adfærd.
• @RiaGeorge Axiomerne for en ” topologi ” kan findes på Wikipedia-siden: en.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set – bemærk også, at linket, jeg gav dig til definitionen (ækvivalent) af ” topologi ” med hensyn til kvarter peget på noget relateret, men ikke det samme, har jeg redigeret mit svar for at afspejle dette: da.wikipedia.org/wiki/… Bemærk dog, at definitionen i kvarterer er sværere at forstå (jeg forestiller mig, at jeg kunne forstå det godt, men jeg har ikke ‘ t gider også, fordi jeg ‘ m doven
• så alligevel er det ‘ min personlige forudindtaget opfattelse, at du ikke ‘ behøver ikke at kende nabolagsdefinitionen af topologi – ved bare, at den enklere definition giver jer alle den samme kraft i nabolagsdefinitionen med hensyn til nøje beskrivelse af lokal adfærd, da de er tilsvarende). Under alle omstændigheder, hvis du er interesseret i fraktaler, måske finder du disse Wikipedia-sider interessante – jeg kan ‘ ikke hjælpe dig mere med det, fordi jeg ikke er dybt fortrolig med teori og ikke ‘ ikke kender eller forstår de fleste af definitionerne – jeg har kun hørt om nogle af
• Dette er det eneste svar hidtil, der er opmærksom til den moderne matematiske idé om at samle et globalt objekt ud fra lokale data. Desværre gør det ‘ det ikke helt til det niveau af enkelhed og klarhed, der kræves af en ” ikke-teknisk ” konto.

I denne sammenhæng er udtrykket manifold nøjagtigt, men er unødvendigt højfalsk. Teknisk set er en manifold ethvert rum (sæt af punkter med en topologi), der er tilstrækkeligt glat og kontinuerligt (på en måde, der med en vis indsats kan gøres matematisk veldefineret).

Forestil dig rummet af alle mulige værdier for dine oprindelige faktorer. Efter en dimensionel reduktionsteknik kan ikke alle punkter i dette rum opnås. I stedet for er det kun punkter på noget indlejret underrum inde i det rum, der kan opnås. Det indlejrede underrum sker for at opfylde den matematiske definition af en manifold. For en lineær dimensionel reduktionsteknik som PCA er dette underrum kun et lineært underrum (f.eks. Et hyperplan), som er en relativt triviel manifold. Men for ikke-lineær dimensionel reduktionsteknik kunne dette underrum være mere kompliceret (f.eks. En buet hyperoverflade). For dataanalyseformål er det meget vigtigere at forstå, at dette er underrum, end nogen slutning, du ville drage af at vide, at de opfylder definitionen af manifold.

Kommentarer

• ” Highfalutin ” … lærte et nyt ord i dag!
• Matematisk , en manifold er ethvert lokalt kontinuerligt topologisk rum. Jeg kan godt lide tanken om at forsøge at forklare ting på almindeligt sprog, men denne karakterisering fungerer virkelig ikke ‘. For det første er kontinuitet altid en lokal ejendom, så jeg ‘ er ikke sikker på, hvad du mener med lokalt kontinuerlig. Din definition undlader også at udelukke mange ting, der ikke er ‘ t manifolder, såsom den rationelle talelinje eller foreningen af to skæringslinjer i det euklidiske plan.
• Jeg er enig med Ben, teknisk set er det ‘ s ” lokalt euklidisk “. Jeg ‘ er ikke sikker på, at der er en god måde at koge det ned til simpel engelsk.
• Jeg er også enig i de to ovenstående kommentarer. Faktisk var svaret, jeg skrev nedenfor, oprindeligt beregnet til at være en afklarende kommentar til dette svar, som blev for lang. Der er ingen præcis forestilling om et ” kontinuerligt ” topologisk rum (se her: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). At definere mangfoldigheder med hensyn til ikke-eksisterende begreber er efter min mening på længere sigt mere sandsynligt at være forvirrende end at afklare. I det mindste vil jeg foreslå at erstatte ordet ” matematisk ” i første sætning med noget andet.
• Jeg ‘ Jeg bruger denne kommentar som en mulighed for at stille et lille spørgsmål … Jeg (tror) jeg fik ideen om manifolder, men hvorfor er det ” lokalt ” nødvendigt? Er ‘ t et mellemrum ” lokalt ” kontinuerlig … kontinuerlig som helhed?

Som Bronstein og andre har formuleret det i Geometrisk dyb læring: går ud over euklidiske data ( Læs artiklen her )

Groft, en manifold er et rum, der er lokalt euklidisk. Et af de mest enkle eksempler er en sfærisk overflade, der modellerer vores planet: omkring et punkt ser det ud til at være plan, hvilket har fået generationer af mennesker til at tro på Jordens planhed. Formelt set er en (differentierbar) d-dimensionel manifold X et topologisk rum, hvor hvert punkt x har et kvarter, der er topologisk ækvivalent (homeomorf) til et d-dimensionelt euklidisk rum, kaldet tangentrummet.

Kommentarer

• Citatet er selvmodsigende. I starten beskriver den en Riemannian manifold (” lokalt euklidisk “), men i slutningen beskriver den en topologisk manifold (homeomorfier gør det ikke, pr. definition skal respektere den differentielle struktur og derfor gælder begrebet tangent rum ikke).