Hvad er en stiintegral? [lukket]

Matematisk er en stiintegral en generalisering af en flerdimensionel integreret. I sædvanlige $ N $ -dimensionelle integraler integrerer man $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ over et underområde på $ {\ mathbb R} ^ N $, en $ N $ -dimensional integral. En stiintegral er en uendelig-dimensionel integral $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ over alle mulige funktioner $ f (y) $ af en variabel $ y $, som kan være et reelt tal eller en vektor. Værdierne for funktionerne $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ osv. Spiller den samme rolle som variablerne $ x_1 $, $ x_2 $ osv. I den sædvanlige flerdimensionale integral .

Da indekset $ i $ på $ x_i $ tog værdier i det endelige sæt $ 1,2, \ prikker N $, og nu erstattes det af den kontinuerlige variabel $ y $, er stienintegralet en uendelig-dimensionel integral.

Strenge matematikere ser mange problemer, der forhindrer en i at definere den uendelig-dimensionelle stiintegral ved hjælp af målteorien. Men fysikere ved, at lignende integraler kan behandles. Der er nogle “ultraviolette afvigelser” osv., Man oplever, når man prøver at beregne dem, men de kan blive behandlet. I det væsentlige ønsker man at bruge alle de naturlige regler, der gælder for de endelige dimensionelle integraler. F.eks. Er (sti) integralerne af en sum af to funktioner summen af to (sti) integraler osv.

To vigtigste applikationer af stiintegraler i fysik er i Feynmans tilgang til kvantemekanik, især kvantefeltteori og statistisk mekanik.

I (klassisk) statistisk mekanik ønsker man at beregne partitionssummen $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ over alle konfigurationer $ c $ i det fysiske system. Men fordi konfigurationerne ofte er mærket med hele funktioner $ f (y) $ – uendeligt mange værdier på alle tilladte værdier i argumentet $ y $ – summen er ikke virkelig en ” sum”. Det er ikke engang en endelig-dimensionel integral. Det er en stiintegral.

I kvantemekanik beregnes de komplekse sandsynlighedsamplituder osv. Som $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ dvs. som stienintegral over alle konfigurationer af variablerne $ \ phi (y) $ osv. Integranden er en fase – et tal, hvis absolutte værdi er en – og fasevinklen afhænger af den klassiske handling, der evalueres ud fra den mulige historie $ \ phi (y) $. Den indledende og sidste tilstand $ i, f $ er inkorporeret ved at integrere over disse konfigurationer i “mellemliggende tider”, der overholder de relevante randbetingelser.

Næsten al kvantefeltsteori kan udtrykkes som en beregning af nogle stiintegraler. Så i denne forstand lærer “alt” om en stiintegral svarer til at lære næsten al kvantemekanik og kvantefeltteori, hvilket kan kræve mellem et semester og 10 års intens studium, afhængigt af hvor dybt du vil komme. Det kan bestemt ikke dækkes i et svar i tilladt størrelse på denne server.

Beregningen af stienintegraler med Gaussien, dvs. $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, måske med polynom præfaktorer i integrationsvariablerne er måske det vigtigste eller “enkleste” eksempel på en ikke-triviel stienintegral, som vi faktisk har brug for i fysikken.

I kvantemekanik repræsenterer stienintegralet den eksplicitte endelige formel for enhver sandsynlighedsamplitude. Amplituden for enhver overgang fra staten $ | i \ rangle $ til staten $ | f \ rangle $ kan udtrykkes direkte som en stiintegral, og sandsynligheden er den absolutte værdi af sandsynlighedsamplituden i kvadrat. Alt, hvad kvantemekanik gør det muligt at beregne koger ned til disse sandsynligheder – så stienintegralet repræsenterer “alt” i kvantemekanik. (Dette afsnit blev oprindeligt sendt som en kommentar fra mig, og brugeren, der foreslog denne redigering, havde en god grund til at gøre det.)

Kommentarer

• +1, men jeg ville ikke ' ikke sige funktionernes værdier, $ f (0), f (1) $ og så videre spiller rollen som $ x_1, x_2 $ osv. Da funktionaliteten kortlægger hele funktioner til tal, er den ' en hele funktionen $ f $ som erstatter rollen som en værdi på $ x_1, x_2, $ osv.
• Jeg forstår ' ikke, @JamalS, hvilket er en meget diplomatisk måde at sige, at jeg tror, at du ikke ' ikke forstår. 😉 Der er kun en hel funktion $ f $, men der er mange variabler $ x_1, x_2 $. Funktionen bærer endnu flere (uendeligt flere gange) information end flere tal $ x_1, \ prikker, x_N $. I din sidste sætning, hvad er sammenhængen mellem $ x_1, x_2 $? Hvis det ' s " eller ", så er det ' er forkert, fordi man skal angive alle værdier for alle $ x_i $ for at tale om integranden. Hvis det ' s " og ", så OK, men så prøver du bare for at tilsløre det faktum, at stien i. er en flerdimensionel.
• Min indvending er kun til den analogi, du angiver mellem det endelige dimensionelle tilfælde og stienintegralet. Den måde, du ' har skrevet det på, siger du ' værdierne for funktionen $ f $ på forskellige punkter " spiller den samme rolle som variablerne $ x_1, x_2 $ osv. " Nu er jeg enig, der ' s kun en funktion $ f $, og vi opsummerer alle mulige funktioner. Så min pointe er, at det ' er de forskellige funktioner, der er analoge med at opsummere over forskellige værdier af en skalarvariabel, $ x $. Jeg kan ikke se ' hvordan du ' har været i stand til at ekstrapolere. Jeg tror kun glatte funktioner bidrager fra min enkelt kommentar …
• Jeg skrev kun, at $ \ int D \ phi (y) $ kan defineres som kontinuumgrænsen for den flerdimensionale integral $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0.01) d \ phi (0.02) \ dots $ for $ 0.01 $ sendt til nul. Jeg tror ikke ' at der kan være noget kontroversielt ved denne påstand. Det ' er virkelig essensen af svaret. Hvis du kun siger, at " det er en integreret del af alle værdier i en funktion overalt ", bevæger du dig ikke ved at epsilon til at svare spørgsmålet fra OP og forklaring af, hvad en " integreret over funktioner " faktisk er. En integral i præ-sti-integral forstand er altid endelig-svag.
• Kære @TAbraham, det repræsenterer den eksplicitte endelige formel for enhver sandsynlighedsamplitude. Amplituden for enhver overgang fra tilstanden " i " til tilstanden " f " kan udtrykkes direkte som en stiintegral, og sandsynligheden er den absolutte værdi af sandsynlighedsamplituden i kvadrat. Alt, hvad kvantemekanik tillader at beregne, koger ned til disse sandsynligheder – så stienintegralet repræsenterer " alt " i kvantemekanik.