Hvad er et potentiale?

Elektrisk potentiale og elektrisk potentiel energi er to forskellige begreber, men de er tæt beslægtede med hinanden. Overvej en elektrisk opladning $ q_1 $ på et eller andet tidspunkt $ P $ nær opladning $ q_2 $ (antag at afgifterne har modsatte tegn).
Hvis vi nu frigiver opladning $ q_1 $ ved $ P $, begynder det at bevæge sig mod oplade $ q_2 $ og har således kinetisk energi. Energi kan ikke vises ved magi (der er ingen gratis frokost), så hvorfra kommer den? Den kommer fra den elektriske potentielle energi $ U $, der er forbundet med den attraktive “konservative” elektriske kraft mellem de to chages. For at tage højde for den potentielle energi $ U $ definerer vi et elektrisk potential $ V_2 $, der er indstillet til punkt $ P $ efter gebyr $ q_2 $.

Det elektriske potentiale eksisterer uanset om $ q_1 $ er på punktet $ P $. Hvis vi vælger at placere $ q_1 $ der, skyldes den potentielle energi af de to opladninger at opkræve $ q_1 $ og det eksisterende elektriske potentiale $ V_2 $ således:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Du kan bruge det samme argument, hvis du overvejer at chage $ q_2 $, i så fald er den potentielle energi den samme og er givet af: $$ U = q_2V_1 $$

På sprog for vektorberegning:

Ordet potentiale bruges generelt til at betegne en funktion, som, når den differentieres på en speciel måde, giver dig et vektorfelt. Disse vektorfelter, der stammer fra potentialer, kaldes konservative . Givet et vektorfelt $ \ vec F $, er følgende betingelser ækvivalente:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ for enhver lukket sløjfe $ C $ (Derfor navnet “konservativ”)

Funktionen $ \ phi $, der vises i $ (2) $ kaldes potentialet for $ \ vec F. $ Så ethvert irrotationsvektorfelt kan skrives som gradienten af en potentiel funktion.

Specifikt inden for elektromagnetisme fortæller Faradays lov os, at $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. For magnetfelter, der ikke variere med tiden (elektrostatik) får vi den $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ og dermed $ \ vec E = – \ nabla V $ hvor $ V $ er potentialet for $ \ vec E $. Dette er nøjagtigt hvad vi kalder det elektriske potentiale eller “spænding”, hvis du er ikke-fysiker. I det elektrodynamiske tilfælde, hvor $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ stadig eksisterer en forestilling om elektrisk potentiale, da vi kan bryde det elektriske felt op i summen af et irrotationsfelt og et magnetfelt (dette kaldes Helmholtz sætning). Vi kan derefter bruge Maxwells ligninger til at få den $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ hvor $ V $ er det samme elektriske potentiale og $ \ vec A $ er et vektorfelt, som vi kalder vektorpotentialet .

Tyngdekraften er analog. Hvis $ \ vec g $ er et irrotationelt tyngdefelt (hvilket altid er tilfældet i Newtons tyngdekraft) derefter $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ hvor $ \ phi $ er tyngdepotentialet. Dette hænger tæt sammen med tyngdepotentialenergien ved at en masse $ m $ placeret i tyngdefeltet $ \ vec g $ har potentiel energi $ U = m \ phi $.

Kommentarer

• +1 for det detaljerede svar. Betingelser 1. og 3 er ikke ækvivalente generelt. Det er muligt at have et vektorfelt, således at $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ og $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Se efter forekomst Hvorfor er dette vektorfelt krøllefrit? .
• @Diracology Godt punkt. Vi skal kræve, at $ \ vec F $ ikke n ot afviger i et område afgrænset af $ C $. Generelt forudsat at 1. er sandt, har vi den $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ hvor $ S $ er en overflade med grænsen $ C $ og den første ligestilling er af Stoke ' s sætning. Det er klart, at hvis $ \ vec F $ afviger i $ S $, vil vi støde på nogle problemer med disse ligheder.