Jeg er selvstuderende elektrodynamik og vil gerne vide, hvad der menes med et potentiale . Jeg forstår begrebet potentiel energi men hvad menes der med et potentiale? Er det det samme som et felt, som gravitation eller elektromagnetisk?
Svar
Elektrisk potentiale og elektrisk potentiel energi er to forskellige begreber, men de er tæt beslægtede med hinanden. Overvej en elektrisk opladning $ q_1 $ på et eller andet tidspunkt $ P $ nær opladning $ q_2 $ (antag at afgifterne har modsatte tegn).
Hvis vi nu frigiver opladning $ q_1 $ ved $ P $, begynder det at bevæge sig mod oplade $ q_2 $ og har således kinetisk energi. Energi kan ikke vises ved magi (der er ingen gratis frokost), så hvorfra kommer den? Den kommer fra den elektriske potentielle energi $ U $, der er forbundet med den attraktive “konservative” elektriske kraft mellem de to chages. For at tage højde for den potentielle energi $ U $ definerer vi et elektrisk potential $ V_2 $, der er indstillet til punkt $ P $ efter gebyr $ q_2 $.
Det elektriske potentiale eksisterer uanset om $ q_1 $ er på punktet $ P $. Hvis vi vælger at placere $ q_1 $ der, skyldes den potentielle energi af de to opladninger at opkræve $ q_1 $ og det eksisterende elektriske potentiale $ V_2 $ således:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Du kan bruge det samme argument, hvis du overvejer at chage $ q_2 $, i så fald er den potentielle energi den samme og er givet af: $$ U = q_2V_1 $$
Svar
På sprog for vektorberegning:
Ordet potentiale bruges generelt til at betegne en funktion, som, når den differentieres på en speciel måde, giver dig et vektorfelt. Disse vektorfelter, der stammer fra potentialer, kaldes konservative . Givet et vektorfelt $ \ vec F $, er følgende betingelser ækvivalente:
- $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
- $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
- $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ for enhver lukket sløjfe $ C $ (Derfor navnet “konservativ”)
Funktionen $ \ phi $, der vises i $ (2) $ kaldes potentialet for $ \ vec F. $ Så ethvert irrotationsvektorfelt kan skrives som gradienten af en potentiel funktion.
Specifikt inden for elektromagnetisme fortæller Faradays lov os, at $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. For magnetfelter, der ikke variere med tiden (elektrostatik) får vi den $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ og dermed $ \ vec E = – \ nabla V $ hvor $ V $ er potentialet for $ \ vec E $. Dette er nøjagtigt hvad vi kalder det elektriske potentiale eller “spænding”, hvis du er ikke-fysiker. I det elektrodynamiske tilfælde, hvor $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ stadig eksisterer en forestilling om elektrisk potentiale, da vi kan bryde det elektriske felt op i summen af et irrotationsfelt og et magnetfelt (dette kaldes Helmholtz sætning). Vi kan derefter bruge Maxwells ligninger til at få den $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ hvor $ V $ er det samme elektriske potentiale og $ \ vec A $ er et vektorfelt, som vi kalder vektorpotentialet .
Tyngdekraften er analog. Hvis $ \ vec g $ er et irrotationelt tyngdefelt (hvilket altid er tilfældet i Newtons tyngdekraft) derefter $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ hvor $ \ phi $ er tyngdepotentialet. Dette hænger tæt sammen med tyngdepotentialenergien ved at en masse $ m $ placeret i tyngdefeltet $ \ vec g $ har potentiel energi $ U = m \ phi $.
Kommentarer
- +1 for det detaljerede svar. Betingelser 1. og 3 er ikke ækvivalente generelt. Det er muligt at have et vektorfelt, således at $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ og $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Se efter forekomst Hvorfor er dette vektorfelt krøllefrit? .
- @Diracology Godt punkt. Vi skal kræve, at $ \ vec F $ ikke n ot afviger i et område afgrænset af $ C $. Generelt forudsat at 1. er sandt, har vi den $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ hvor $ S $ er en overflade med grænsen $ C $ og den første ligestilling er af Stoke ' s sætning. Det er klart, at hvis $ \ vec F $ afviger i $ S $, vil vi støde på nogle problemer med disse ligheder.