Hvad mener vi med udtrykket “ Antal ting ”?

Bogen er meget gammel: 2. udgave 1903; 1. udgave 1890.

Som du kan se fra fodnote side 131, nævnes Cantor og Dedekind som “interessante bidrag til litteraturen om emnet” …

Således kan du ikke forventer, at de begreber , der blev introduceret i starten uden definition, brugt som primitive for at “belyse” den følgende behandling, kan oversættes nøjagtigt til moderne (dvs. post-1930) sætteoretiske forestillinger.

Jeg tror, at:

gruppe skal betyde en endelig samling af objekter (ting)

og at:

antal ting i en gruppe er “tydeligt” (fra diskussionen) svarende til moderne kardinalitet (begrænset til finite samlinger), og det kaldes en “egenskab” af samlingen (gruppe).

Min fortolkning er, at ting er “individuelle”, konkrete eller abstrakte (hvis nogen). Selvfølgelig er det let at tænke på dem som konkrete genstande, som småsten i en lomme eller soldat i en peloton.

En peloton er en gruppe af soldater og antal ting i pelotonen er antallet af individuelle soldater, der danner den.

Denne fortolkning giver mening også med hensyn til den efterfølgende definition af tilføjelse (se CoolHandLouis “s svar).

Vær opmærksom på, at her gruppe har den” generiske “betydning af samling eller samlet; det har intet at gøre med det tekniske udtryk” gruppe “på gruppeteori .

Når vi “abstraherer” fra “tegnene” i de enkelte ting (dvs. danner deres individuelle egenskaber, som farve, størrelse, form for en samlepunkt af bolde) og fra rækkefølgen af objekterne i samlingen (det er det samme for det “moderne” sæt koncept: {A, B, C} er “det samme” sæt som {C, B, A} ) hvad vi opnår er “antallet” af tingene i gruppen (antallet af medlemmer af samlingen).

Husk r at Cantors originale notation til at repræsentere Kardinalnummer for sæt A var en “dobbelt overbar” over A:

symbolet for et sæt kommenteret med en enkelt overbar over A angivet A fjernet fra enhver struktur udover rækkefølge, derfor repræsenterede den ordretype for sættet. En dobbelt overbar over A angav derefter at fjerne rækkefølgen fra sættet og angav således sættets hovednummer.

Kommentarer

• Hvad mener vi med udtrykket Antal ting generelt engelsk?
• @Anupam – undskyld, men jeg ‘ er ikke en indfødt engelsktalende. Jeg ‘ har søgt på Cambridge ordbog online : der er ingen direkte omskrivning: den mest lignende placering I ‘ vi har fundet er ” flere af en bestemt type ting: Jeg besluttede ikke at gå af flere grunde. ” Vi skal bruge fin ‘ s lokalisering som en primitiv ” teknisk betegnelse “.
• Jeg tror ” gruppe ” ikke er ” sæt ” i vores moderne matematik. Et sæt er en samling af abstrakte objekter på den anden side ” gruppe ” er en samling af ting (som ikke er abstrakte). Sætteorien har intet at gøre med mit spørgsmål.
• Jeg har ikke ‘ ikke læst dette arbejde, men som en person med mere matematisk baggrund sætningen ” -gruppen skal betyde en endelig samling af objekter (ting) ” får mig til at krybe.
• @JamesKingsbery – men ” gruppe ” her er ikke beregnet som i gruppeteori ; betydningen er ” colelction ” eller ” samlet ” af individuelle objekter.

Forord

Jeg leverede to svar på dette spørgsmål:

• Det andet svar er det bedre svar og er mit primære svar. Det antyder, at Mr. Fine henviser til naiv sætteori.

• Jeg leverede dette svar OP insisterede på at tænke på {A, A, A} som indeholdende “tre forskellige elementer “og sendte en dusør. Der var absolut ingen overbevisende OP ellers, så hvorfor ikke bare være enig og få bounty? 🙂

  De to svar supplerer hinanden faktisk, da de viser, hvordan man kan beskrive de samme matematiske fænomener ved at ændre aksiomer, definitioner og regler forskellige steder. Du siger TOE MAY TOE Jeg siger TOE MAH TOE. Som det viser sig, dette svar indeholder et sødt” matematisk bevis “på, at Mr. Fin tænkte {A, A, A} repræsenterer tre forskellige elementer”. Men du er velkommen til at læse en tunge-i-kind-holdning i dette svar.

Anupam,

Du har ret Mr. Fine overvejer {A, A, A} = 3.

Jeg sender et andet svar, fordi jeg regnede med dette, men ville efterlade mit gamle svar for historiens skyld. Du har ret! Henry Burchard Fine betød tre konkrete ting, så {A, A, A} tælles som tre. Hans udsagn kan ikke være en fejl, fordi det er hans primære forudsætning for at underbygge al hans numeriske aritmetik – grundlaget for hele hans bog – startende med tilføjelse:

Tilføjelse: Hvis to eller flere grupper af ting samles for at danne en enkelt gruppe, kaldes tallets symbol for summen af antallet af de separate grupper.

Hvis summen er s og antallet af de separate grupper henholdsvis abc osv. Forholdet mellem dem udtrykkes symbolsk ved ligningen s = a + b + c + etc hvor sumgruppen formodes at være dannet ved at forbinde den anden gruppe, som b hører til først den tredje gruppe, som c hører til den resulterende gruppe og så videre

Funktionen med at finde s, når abc osv. er kendt, er tilføjelse. Tilføjelse er forkortet optælling.

6 Tilføjelse Hvis to eller flere grupper af ting bringes sammen for at danne en enkelt gruppe kaldes tallets symbol for summen af antallet af de separate grupper Hvis summen er s og antallet af de separate grupper henholdsvis abc osv. er forholdet mellem dem symbolsk udtrykt ved ligningen sab c + etc, hvor sumgruppen formodes at blive dannet ved at forbinde den anden gruppe, som b hører til den første, den tredje gruppe, som c hører til den resulterende gruppe og så videre. er kendt er tilføjelse Tilføjelse er forkortet optælling

• Givet a, b, c er “grupper / sæt”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Lad d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Definer nu grupperne / sætene som følger:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Sum (d ) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Derfor skal Mr. Fine “s” fagforeningsoperatør “skabe d = {A, A, A} og sum ({A, A, A}) = 3.

• Hvis Mr. Fine “s” fagforeningsoperatør “var en normal sæt notation, så var d = {A}, og der er ingen måde, man kunne få” 3 “ud af det.

Mr. Fine betragter derfor {A, A, A} = 3.

Dette er tilfældet, når A repræsenterer forskellige konkrete objekter, som 3 mønter i lommen.

Kommentarer

• Jeg tror ikke ‘ det er den rigtige konklusion. Jeg tror, Fine antager bare, at når ” samler grupperne ” med henblik på opsummering, er ” grupper ” er adskilt.
• Antager du bogstavet $ A $ som ” abstrakt objekt ” eller ” konkret objekt “. Hvis $ A $ antages som et ” abstrakt objekt “, så vil $ a $, $ b $ og $ c $ alle have $ 1 , 1,1 $ antal ting i dem, men $ d $ har ikke $ 3 $ antal ting, fordi udtrykket Antal ting kun er defineret for ” grupper ” med forskellige ting. Hvis du antager $ ” A ” $ som et ” konkret objekt ” så er alle ting i orden.
• +1 Til din kommentar ovenfor Anupam!Anupam, det er sandsynligvis det bedste spørgsmål, du ‘ har stillet i kommentarer! Bravo og +1 til det spørgsmål! Hele dette svar på mig afhænger af, hvad jeg mente! Så det betyder, at du ikke kan være sikker på, om dette er korrekt eller ej, medmindre jeg siger dig, om jeg mente ” abstrakt ” eller ” beton “. Fremragende! Jeg elsker det! Jeg synes, det svarer til det oprindelige spørgsmål om hensigten med, hvad Mr. Fine mente.
• ” A ” er et konkret objekt.

Det arbejde, der først kommer til at tænke på er Edmund Husserls Philosophy of Arithmetic . Han behandler i detaljer det åbenlyse vanskeligheder med antallet: at at tælle de tællede ting skal være begge forskellige (så der kan være mere end en) og det samme (du tæller visse ting). Når jeg siger “tre æbler”, er de alle ens i én forstand (de er æbler), og de er alle forskellige i en anden (der er tre af dem, der adskilles af deres rumlige forhold hvis ikke andet)

Der er samtidig “mangfoldighed” og “enhed”. Dette fører til spørgsmålet “det samme på hvilken måde og forskelligt på hvilken måde”.

Det, jeg husker mest fra denne bog, er diskussion af forskel og skelnen. Det er noget, der er værd at tale om. Der er to udtryk, der kan kontrasteres, “forskellige”, “skelnes”.

• For at skelne mellem to ting skal vi lave en dom
• Different er en nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse for, at ting kan skelnes

I matematik skelnes alt, hvad der er anderledes, og man betragter en helhed af forskellige ting. Dette undgår den vanskelige del: menneskelig dom.

Denne dom er ofte let for os. Det er klart, at vi opfatter mange ting som forskellige, og at verden “krystalliserer” til objekter. Selv om denne opfattelse ikke altid er alt hvad der er nødvendigt for at skelne mellem ting, i de fleste daglige situationer er det nok. Det er kun i kanttilfælde, hvor vi skal gå ud over vores udseende af objekter adskilt i rummet og bruge en anden måde at bedømme.

Evnen til at skelne mellem ting er hovedemnet for det videnskabelige felt af psykofysik, som virkelig kom i gang omkring 1890erne og fortsætter den dag i dag. Der har også været mange filosofiske skrifter om denne menneskelige kapacitet, faktisk er jeg af den opfattelse, at det er hovedspørgsmålet om filosofi (andre er måske ikke enige).

For at besvare dit spørgsmål direkte: matematik udelukker menneskelig vurdering, så når vi konstruerer et formelt system, skal vi starte, når dommen er truffet – vi gør det ved at antage, at dets objekter alle kan skelnes fra hinanden. Hvis objekter i matematik ikke skelnes, anses de for at være de samme. Dette gælder ikke for virkelige ting, som kan være forskellige, men ikke skelnes.

Bemærk: Detaljerne om, hvordan aritmetik bliver abstraheret fra menneskelige domme, er dækket i resten af Husserls bog. Jeg er ikke rigtig i stand til at formulere det her. Jeg tror, der kan være nogle problemer med det i lyset af nyere videnskabelig forskning “talrige” . Jeg er ikke sikkert endnu.

Kommentarer

• Problemet med ” En-for-mange ” går tilbage til Platon; se Tredjemands argument , men det giver os lidt indsigt i, hvad tal er, og hvordan de understøtter ” menneskelig proces ” for optælling. Matematik kan angive tal som primitive eller prøve at ” forklare ” dem gennem set-teori ved hjælp af begreberne af korrespondance (hovedtal) og rækkefølge (ordinære tal). Men stadig er problemet der: hvad er tal, og hvorfor er vi i stand til at ” anvende dem ” på den eksterne virkelighed?
• @MauroALLEGRANZA Yup, det ‘ er gammelt, det ‘ er hovedspørgsmålet;) Resten af Husserl ‘ s bog handler om forholdet mellem abstrakt aritmetik og verden, hvorfor jeg ‘ snarere nævner det end noget andet. Jeg detaljerede det ikke ‘ fordi det er 1) ret teknisk (hovedårsag) 2) muligvis forkert og 3) ikke nødvendigt at forklare ” Hvorfor Mr. Fine kun har begrænset dette udtryk til de grupper, der har alle de forskellige elementer. ”
• I ‘ jeg siger ikke, at Husserl tog fejl … Min personlige forståelse er, at Fine (1890!) forsøgte at ” belyse ” begrebet antal undgå ” platonist ” smag, undgår al henvisning til ” abstrakte ” objekter. Jeg ‘ er ikke overbevist om, at Platon havde ret … men jeg ‘ er overbevist om, at indtil nu nej lydargument til ” der forklarer ” hvilke tal der er fundet, der undgår alle referencer til ” abstrakt ” objekter eller koncepter.
• @MauroALLEGRANZA Jeg ville ikke ‘ ikke sige, at du var det. Husserl er temmelig kritisk over for ideen om, at tal skal begrænses til fysiske objekter (specifikt Mill), han siger ” Den blotte hentydning til psykiske handlinger eller tilstande, som helt sikkert kan tælles lige så godt som fysisk indhold, tilbageviser [dette] “. Hvis man kan tælle abstrakte objekter, ville en teori, der udelader referenceabstrakte objekter, være ufuldstændig. Men måske forstår jeg ‘ dig ikke helt.
• Igen er jeg enig med dig; Jeg ” elsker ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” Aritmetikens fundamenter: En logisk-matematisk undersøgelse af begrebet nummer “), Breslau, 1884 hvor han ” revet ” Mill ‘ s empiristiske teori om tal. Der var forbindelser (og kontakter) mellem H og F; se af Claire Ortiz Hill, Husserl eller Frege? Betydning, objektivitet og matematik .

Forord

Jeg gav to svar på dette spørgsmål:

• Dette svar er det bedre svar, og det antyder, at Mr. Fine henviser til naiv sætteori. Der er heller ikke noget stort forsøg på strenghed her, og Mr. Fine springer simpelthen frem til sit emne af interesse. Dette svar er mit primære svar.

• Jeg leverede et andet svar i den samme tråd, fordi OP insisterede på at tænke på {A, A, A} som indeholdende “tre forskellige elementer” og bogførte en dusør. Der var absolut ingen overbevisende OP ellers, så hvorfor ikke bare være enig og få bounty? 🙂

  De to svar supplerer hinanden faktisk, da de viser, hvordan man kan beskrive de samme matematiske fænomener ved at ændre aksiomer, definitioner og regler forskellige steder. Du siger TOE MAY TOE Jeg siger TOE MAH TOE. Som det viser sig, indeholder det andet svar et sødt “matematisk bevis”, som Mr. Fin tanke {A, A, A} repræsenterer tre forskellige elementer. Det kan være interessant at se, hvordan jeg forsvarede et sådant forslag.

1. Bogen henviser til naiv sætteori

Følgende Google Bøger-link er nemmere at henvise til: Nummer-systemet i algebra: Behandlet teoretisk og historisk “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, offentliggjort 1907). Følgende er det pågældende uddrag fra denne bog fra 1907:

I. DET POSITIVE INTEGER OG LOVEN, DER REGULERER TILFØJELSE OG MULTIPLIKATION AF POSITIVE INTEGERE

1 nummer. Vi siger om visse forskellige ting, at de danner en gruppe (med gruppe mener vi en endelig gruppe, der er en, der ikke kan bringes i en til en korrespondance 2 med enhver del af sig selv) når vi kollektivt gør dem til et enkelt objekt for vores opmærksomhed.

Antallet af ting i en gruppe er den egenskab for gruppen, der forbliver uændret under hver ændring i gruppen, der gør ikke ødelægge separaterne s af tingene fra hinanden eller deres fælles adskillelse fra alle andre ting.

Sådanne ændringer kan være ændringer i tingens karakteristika eller i deres arrangement inden for gruppen. Igen kan ændringer i arrangement være ændringer enten i rækkefølgen af tingene eller i den måde, hvorpå de er forbundet med hinanden i mindre grupper.

Vi kan derfor sige: Antallet af ting i enhver gruppe af forskellige ting er uafhængig af tegnene i disse ting i den rækkefølge, som de kan arrangeres i gruppen, og af den måde, hvorpå de kan forbindes med hinanden i mindre grupper.

2 Numerisk ligestilling. Antallet af ting i to grupper af forskellige ting er det samme, når der for hver ting i den første gruppe er en i den anden og gensidigt for hver ting i den anden gruppe en først og fremmest. Således antallet af bogstaver i de to grupper A, B, C; D, E, F, er den samme … [Mr. Fine fortsætter med at tale om 1-til-1 korrespondance – CoolHandLouis] …

Det er klart for alle, der tager en “Set Theory 101” klasse på begyndelsesniveau, at denne bog beskriver grundlaget for sætteori. Vi kan med sikkerhed sige, at Mr. Fines referencer til en “gruppe” er nøjagtigt og præcist det, der nu er kendt som et “sæt”, og til “elementer”, da han beskrev “forskellige ting” (som en bortset fra dette hele indlægget refererer faktisk til det, der kaldes “Naive Set Theory”, men det er uden betydning for dette spørgsmål / svar.)

I betragtning af at Mr. Fine henviser til Set Theory, og hans bog blev skrevet i 1907 , mit første forslag er, at du glemmer Mr. Fine helt og google for nogle gode referencer til nybegynder” sætteori “ og se også på nogle af de korte videoer om samme emne.

Mr. Fines fodnote” Med gruppe mener vi endelig gruppe, der er en, der ikke kan bringes ind i en til en korrespondance med nogen del af sig selv “er meget stærkt bevis, han taler om (naiv) sætteori. Han undgår naturligvis uendelige sæt og baseret på historien om sætteori, at kan have været for pol itiske grunde. Der er ingen grund til, at han er omstridt på det tidspunkt i sin karriere, og enhver grund til at spille det sikkert, især med denne bog.

Men det er et metasvar. Her er et rigtigt svar:

2. Svar på spørgsmål – Intro

Lad os først standardisere resten af dette indlægs sprog til det 21. århundrede: Et sæt er en samling af forskellige elementer. Så lad os ikke længere tale om “ting” eller “grupper”. Og det betyder ikke noget, hvis de er konkrete eller abstrakte, virkelige eller forestillede.

Ændring af navnene på disse udtryk betyder ikke i på nogen måde ændre ethvert af de problemer, du støder på. De nye ord henviser til nøjagtigt det samme, som Mr. Fine sagde. Det er alt sammen et spørgsmål om definition, og jeg definerer alt, når vi går for at vise dig forskellen, som forårsager forvirring.

3. Hvordan ser du på “Distinct” og “Counting”

Først på en måde har du ret. Inden for din egen personlige forståelse / trossystem / definitioner af “distinkt”, “samling”, “sæt af ting” og “gruppe”, og hvordan man håndterer dem, du er “concludi ng “at” du har ret “. Og hverken jeg eller nogen matematiker kan argumentere imod din “retfærdighed” i denne forstand. Baseret på dine definitioner og tænkemetoder har du helt ret. Men det er bare en start; det løser ikke forvirringen.

Lad os sminke / opfinde et system, hvor du har “ret”. (Husk, at vi lige så godt kunne sige “grupper” og “ting”, men jeg standardiserer til “sæt” og “elementer”. De anvendte ord gør ikke nogen forskel så længe vi definerer dem.)

Ikke-standardiserede sætteorieregler ifølge originalplakat

• Et sæt er en samling af elementer.
• Hvert element er repræsenteret af et eller flere symboler (alfanumerisk).
• Sættets størrelse er det samlede antal elementer.
• OP “s Definition af Distinct: Hvert element betragtes som” særskilt “, hvis det vises i en anden position, så {A , A} indeholder to forskellige elementer, fordi de er i forskellige positioner (position et og position to).

Spørgsmål: Hvor mange elementer er der i {A, A, A} i henhold til over ikke-standardiserede regler af Ori ginal plakat? Svar: 3.

4. Hvordan Math Set Theory (Mr. Fines s Book) definerer “Distinct” og “Counting”

Lad os nu overveje dette mere fra den standard matematiske definition.

Regler for standard matematiske sætteorier

• Et sæt er et samling af forskellige elementer.
• Hvert element er repræsenteret af et eller flere symboler.
• Størrelsen på et sæt er det samlede antal elementer.
• Sæt teoridefinition af særskilt: Hvert element betragtes som “særskilt”, hvis det kan bestemmes, at det er forskelligt fra alle andre elementer. Når det er repræsenteret med bogstaver og ord, gælder kun for tydelighed, om elementer har forskellige navne eller ej. I skriftlig matematik er forskellige = forskellige navne.

Med henblik på dette svar er noget, der hedder det samme, ikke særskilt – det refererer til det samme. Så {A, A} er som at sige, {Indien, Indien}. Det refererer kun til et land, ikke to lande. Det refererer til det samme land to gange. Så hvilken er optællingen? Det ene land eller de to gange, det er nævnt? I sætteori er det det første.

“Men hvorfor?” spørger du måske. På en måde kan du tænke på dette som helt vilkårligt. “Det er pr. Definition.” (Men det er sådan med en god grund; det får mange andre ting i sætteori til at fungere godt, men det er ud over denne diskussion). Så du skal bare acceptere det , ligesom “vi er nødt til at acceptere, at du har ret med din definition”.

Spørgsmål: Hvor mange forskellige lande er der i {Frankrig, Frankrig, Frankrig, Frankrig, Indien, Indien, Indien, Brasilien, Svar} 3: Svar, fordi sættet bare henviser til tre forskellige steder = {Frankrig, Indien, Brasilien}.

5. Mønter i din lomme

Det er af denne grund og af enkelheds skyld, tilføjer vi simpelthen en anden regel til Set Theory:

• Ingen duplikater er tilladt i sæt.

Hvorfor? Fordi en sæt er som en “taske med ting” (konkret eller abstrakt). Lad os f.eks. overveje fire mønter i din venstre lomme på mandag. Lad os sige, at vi ikke ved, hvad de er. Så vi navngiver dem C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

I betragtning af denne idé gør det ingen mening at henvise til dette som {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Hvorfor henvise til den første mønt tre gange? Det er allerede i lommen. Det skal kun refereres til én gang. Lad os nu tildele nogle attributter til mønterne:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Dato = 1999; Vægt = 2,4993399494 g; Betingelse = Mint
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Dato = 1999; Vægt = 2,4990044384 g; Tilstand = God
• C3 = Type = Nikkel; FaceValue = 0,05; Dato = 2002; Vægt = 5.0002292833 g; Tilstand = Meget god
• C4 = Type = Nikkel; FaceValue = 0,05; Dato = 2003; Vægt = 5,0010022229 g; Tilstand = Meget god

Nu hvor vi ved, at to af dem er øre, er møntsættet i lommen stadig det samme:

• Mandag_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Men nu kan vi spørge om, hvor mange forskellige (forskellige) typer mønter der er i din lomme:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Lad os flytte mønter C2, C3 og C4 til din højre lomme på tirsdag. Hvad er der i dine lommer på onsdag?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Kommentarer

• Efter at have studeret begrebet type-token Jeg tvivler på den logiske nøjagtighed af Fine ‘ s bog. Jeg konstruerer et nyt spørgsmål relateret til fodnoten angivet på ” gruppe $ {} ^ 1 $ “.
• Nej vent venligst for alle ‘ s skyld …. vent bare lidt. ikke et andet spørgsmål, det drejer sig kun om at være spikret. Giv svarerne lidt tid til at svare på mit svar og dine bekymringer. ” Gruppe ” i fin ‘ s bog er nøjagtig sæt moderne matematik. Du ‘ vil gå ud på en anden tangent helt, hvis du tager dette til et andet spørgsmål.
• ” Gruppe ” i fin ‘ s bog er nøjagtigt ikke set i moderne matematik. Denne gang har jeg ret.
• Ok hvad er dit bevis på det. Jeg gav meget tid på dette svar, så vær venlig at holde fast ved mig på dette bare, ok?
• Min personlige opfattelse er, at spørgsmålsspørgsmål, givet gratis besvarelsestjeneste, skal opstemme alle svar, der give en vis værdi, selvom det ‘ ikke er det rigtige svar. Det ‘ er en måde at sige på, ” Tak fordi du har bidraget til processen med at finde svaret. ” Tilsvarende mener jeg, at enhver, der besvarer et spørgsmål, skal stemme for spørgsmålet; hvis de brugte tid på at svare, må det have en vis værdi. Vær generøs med stemmer. De er gratis, abstrakte tegn på påskønnelse / værdi. Lad andre op / nedstemme på strammere fortjeneste. Det ‘ er dit valg, men jeg ville ikke ‘ ikke nedstemme om sådan en teknisk egenskab.

Q1: Da $ A $ og $ A $ ikke er forskellige, er kun $ A $ og $ B $ er forskellige (medmindre du er rabulistisk og skelner mellem “den første blækblæk, der danner en $ A $” og “den anden blækblæk, der danner en $ A $”, men det gør det umuligt at nævne korrekt nogen af disse $ A $ s som det konkrete bogstav (blækblæk) $ A $, der bruges til at nævne et bestemt bogstav (blækblæk) $ A $ adskiller sig automatisk fra den blækblæk, i modsætning til hensigten. i alle disse tilfælde taler vi om “ideen” om $ A $, dvs. enhver forekomst af “$ A $” i teksten henviser til det samme objekt, som i sig selv skal tænkes uden for teksten (for at gøre det muligt i den første sted at bruge “$ A $” til at tale om $ A $). Kun i denne forstand $ A = A $ (for som konkrete blobs af blæk på papiret har de forskellige positioner, hvilket gør dem forskellige) og de to $ A $ s i “$ A, B, A $” mangler tydelighed. Din gruppe er således den samme som den, der har elementerne $ A, B $ (eller $ B, A $ hvis du vil), dvs. antallet er $ 2 $.

Q2: De er stadig ikke identiske med objekter. For eksempel. Du kan tage den første på og læg den anden i dit skab, mens du stryger den tredje; du vil let bemærke det, hvis du faktisk stryger den samme skjorte som den, du har på dig. Skjorterne kan ikke skelnes fra egenskaben “farve” (som de var før, der allerede ikke kunne skelnes for eksempel ved ejendommen “størrelse” antager jeg), men de kan stadig skelnes mellem egenskaben “rumlig position”. Spændende efterlader dette os med det problem, at vi får vanskeligheder med at identificere skjorterne i dag med de i går. Man må tænke et stykke tid, hvad “særskilt” (i modsætning til perhas til “skelnes”) og “samme ting” betyder.

Q3: Elementernes forskelligartethed (som muligvis tillader identisk farvede skjorter) er vigtig, da du ikke vil tælle det samme objekt igen (hvis du gør det, bliver du til en rig mand med kun en mønt i lommen). En helt (?) Anden tilgang er at definere “antal” som ækvivalensklassen af sæt (og det ser ud til at Fin “s” gruppe “er det, vi ville kalde” sæt “i dag) under” equinumerability “(dvs. eksistensen af en sammenhæng mellem sætene. På denne måde svarer begrebet 2 eller Two-ness til (eller faktisk er) klassen af alle sæt $ X $ således, at der findes en sammenkædningsform $ X $ til ethvert specifikt sæt (hvad vi kalder ) to elementer, såsom $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Hvis du har en rædsel om (ordentlige) klasser, kan man bemærke, at hver sådan ækvivalensklasse indeholder et specielt “simpelt” sæt, et ordinal (i det mindste i det endelige tilfælde og generelt under antagelse af det valgte aksiom).

Kommentarer

• Hvad mener vi med antal ting ? hvorfor vi siger i Q1, at gruppe G: {A, A, B} har 2 antal ting, hvorfor ikke 3 som det burde være, fordi der er 3 antal ting i gruppe G , selv de to ting i gruppe G er de samme, men de findes, og vi skal tælle dem til o. Bruger vi udtrykket antal ting forskelligt i matematik end normalt. det primitive tællebegreb generer ikke forskellen mellem forskellige ting i en gruppe, mens man beregner antallet af ting i en gruppe. Hvorfor i matematik lavede vi denne type usædvanlige definition af udtrykket nej. af ting .
• Sir, jeg har redigeret mit spørgsmål til at være mere direkte. Vil du i det mindste forklare, hvad vi mener med Antal ting .

“Antal ting” generelt engelsk: Der er ikke nok information i udtrykket alene til at give et svar.

Problemet er udtrykket “ting”. Generelt refererer engelsk til nogle allerede defineret arrangement, for eksempel antallet af emner, der har samme farve eller antallet af æg i en kasse, eller antallet af cifre “3” findes i et telefonnummer.

Uden det betyder betydningen af “nummer af ting “er mangfoldigt – det er antallet af objekter i en container af enhver art / størrelse, klassificeret efter enhver metode, du gerne vil forestille dig.

Kommentarer

• Antag at en gruppe {A, A, A} er der. Jeg spørger hvor mange bogstaver der er i denne gruppe ? Hvad skal svaret være.
• Se Typer og poletter
• @MauroALLEGRANZA det link, du har givet er ganske interessant. De synes at antyde, at ” Skriv ” = ” Abstrakt objekt ” og ” Token ” = ” Beton “. I bogen Me.Fine ved udgangen siger: ” Vi siger om visse forskellige ting at de danner en gruppe ” ” Ting ” = ” beton ” = ” Token ” har jeg ret?
• @Mauro, undskyld, men I har det baglæns. Ordet ” ting ” afleder det ikke ‘ s betydning fra ” Type / Token-filosofi “. Definitionen fra google.com/search?q=definition+thing inkluderer ” en abstrakt enhed eller et koncept: ‘ sorg og depression er ikke den samme ‘. synonymer: karakteristisk, kvalitet, attribut, egenskab, egenskab, funktion, punkt, aspekt, facet, sære …
• @Mauro, også, ” en endelig samling ” indebærer ikke konkrete ting. Her er nogle begrænsede samlinger af abstrakte ting / elementer: {1,2,3,4,5}, {kærlighed, krig, fred}. Mere end sandsynligt undgik han uendelige sæt, fordi de var meget kontroversielle på det tidspunkt: da.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_teori .

Jeg foreslår, at du sammenligner Fin-definitionen med følgende diskussion, fra RL Goodstein, Rekursivt talteori (1957) :

Spørgsmålet “Hvad er karakteren af en matematisk enhed?” er et spørgsmål, der har interesseret tænkere i over to tusind år og har vist sig at være meget vanskeligt at besvare. Selv den først og fremmest af disse enheder, det naturlige har det undvigende ved en vilje-af-den-visp, når wc prøver at definere det.

En af kilderne til vanskeligheden ved at sige, hvad tal er, er at der ikke er noget, vi kan pege på i verden omkring os, når vi leder efter en definition af antal. Nummeret syv f.eks. er ikke nogen særlig samling af syv objekter, da hvis det var tilfældet, kunne ingen anden samling siges at have syv medlemmer; for hvis vi identificerer egenskaben at være syv med egenskaben at være en bestemt samling, så er syv en ejendom, som ingen anden samling kan have. Et mere rimeligt forsøg på at definere nummer syv ville være at sige, at ejendommen til at være syv er den egenskab, som alle samlinger af syv objekter har til fælles. Vanskeligheden ved denne definition er imidlertid at sige, hvad det er, som alle samlinger af syv objekter virkelig har til fælles (selvom vi foregiver, at vi nogensinde kan blive bekendt med alle samlinger med syv objekter). Bestemt antallet af en samling er ikke en egenskab ved den i den forstand, at farven på en dør er en egenskab ved døren, for vi kan ændre farven på en dør, men vi kan ikke ændre antallet af en samling uden at ændre samlingen sig selv. Det giver en god mening at sige, at en dør, der tidligere var rød og nu er grøn, er den samme dør, men det er noget vrøvl at sige om en samling af syv perler, at det er den samme samling som en samling på otte perler. Hvis antallet af en samling er en egenskab for en samling, er det en definerende egenskab for samlingen, et væsentligt kendetegn.

Dette bringer os imidlertid ikke nærmere svaret på vores spørgsmål “Hvad er det, som alle samlinger af syv objekter har til fælles?” En god måde at gøre fremskridt med et spørgsmål af denne art er at spørge os selv “Hvordan ved vi, at en samling har syv medlemmer?” fordi svaret på dette spørgsmål bestemt burde bringe noget i lyset, som samlinger af syv objekter har fælles. Et oplagt svar er, at vi finder ud af antallet af en samling ved at tælle samlingen, men dette svar ser ikke ud til at hjælpe os, fordi når vi tæller en samling, ser vi ud til at gøre mere end at “mærke” hvert medlem af samlingen med et nummer. (Tænk på en række soldater, der nummererer.) Det giver tydeligvis ikke en definition af antal at sige, at antallet er en egenskab ved en samling, der findes ved at tildele numre til medlemmerne af samlingen.

At mærke hvert medlem af en samling med et tal, som vi ser ud til at tælle, er faktisk at oprette en korrespondance mellem medlemmerne i to samlinger, objekterne, der skal tælles, og de naturlige tal . Når vi f.eks. Tæller en samling på syv objekter, opretter vi en korrespondance mellem de optalte objekter og tallene fra et til syv. Hvert objekt tildeles et unikt nummer, og hvert nummer (fra et til syv) tildeles et eller andet objekt i samlingen. Hvis vi siger, at to samlinger er ens, når hver har en unik tilknytning til den anden, så kan optælling af en samling siges at bestemme en samling af numre, der ligner den optalte samling.

Definitionens svaghed ligger i denne opfattelse af korrespondance. Hvordan ved vi, hvornår to elementer svarer til hinanden?Kopperne og underkopene i en samling kopper, der står i underkoppen, har en åbenbar korrespondance, men hvad er korrespondancen mellem f.eks. Planeterne og muserne? Det nytter ikke at sige, at selvom der ikke er nogen patentkorrespondance mellem planeterne og muserne, kan vi let etablere en, for hvordan ved vi det, og hvad er vigtigere, hvilken slags korrespondance tillader vi? Ved at definere antal med hensyn til lighed har vi kun erstattet det undvigende talbegreb med det lige så undvigende begreb korrespondance.

Nogle matematikere har forsøgt at undslippe vanskelighederne med at definere tal ved at identificere tal med tal. Nummeret 1 er identificeret med tallet 1, tallet to med tallet 11, nummeret tre med 111 osv. Men dette forsøg mislykkes, så snart man opfatter, at egenskaberne for tal ikke er egenskaberne for tal. Tal kan være blå eller røde, trykte eller håndskrevne, gået tabt og fundet, men det giver ingen mening at tilskrive disse egenskaber til tal, og omvendt kan tal være lige eller ulige, primære eller sammensatte, men disse er ikke egenskaber ved tal.

Modsætningen af “tal” og “tal” er en, der er almindelig i sprog, og måske er den mest kendte forekomst at finde i parret med udtryk “proposition” og “sætning”. Sætningen er en vis fysisk repræsentation af propositionen, men kan ikke identificeres med propositionen, da forskellige sætninger (for eksempel på forskellige sprog) kan udtrykke den samme proposition. [se typer og tokens ]

Skakspelet, som det ofte er blevet observeret, giver en fremragende parallel med matematik (eller for den sags skyld selve sproget). Til tallene svarer skakbrikkerne og til aritmetiske operationer, bevægelserne i spillet.

Her finder vi endelig svaret på problemet med antallet af tal. For det første ser vi, at for at vi kan forstå betydningen af tal, skal vi se på det “spil”, som tal spiller, det vil sige til aritmetik. Tallene, en, to, tre og så videre, er tegn i regnestykket, brikkerne, der spiller disse tegn, er tallene, og hvad der gør et tegn til tallet for et bestemt nummer er den del, det spiller, eller som vi kan sige i en form af ord, der er mere passende til konteksten, hvad der udgør et tegn tegnet på et bestemt nummer er tegnets transformationsregler. Det følger derfor, at genstanden for oue-undersøgelse er IKKE NUMMERER SIG, MEN TRANSFORMATIONSREGLER FOR NUMMERSKILT .

Interseting, men diskutabelt …

Mere end 60 år før kritiserede Frege alredy denne opfattelse; se Gottlob Frege, Aritmetiske grundlæggende love (1893), ny engelsk oversættelse af Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, side xiii:

[der er en] udbredt tendens til kun at acceptere det, der kan opfattes som værende. […] Nu er genstandene for aritmetik, tallene, umærkelige; hvordan man kan komme til enighed med dette? Meget simpelt! Erklær nummertegnene som numrene. […] Nogle gange ser det ud til, at taltegnene betragtes som skakbrikker, og de såkaldte definitioner som spilleregler. I så fald betegner skiltet intet, men er snarere selve tingen. En lille detalje overses naturligvis i alt dette; nemlig at en tanke udtrykkes ved hjælp af “3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, hvorimod en konfiguration af skakstykker ikke siger noget.

Kommentarer

• Jeg husker den spænding, jeg følte første gang jeg læste Goodstein ‘ s introduktion. Han ‘ er ingen Frege, men det ‘ er fantastisk at få en klar erklæring om en visning, så hvis man er uenig, kan man sig nøjagtigt med hvad.

For at tydeliggøre Fins definition af ” antal ting “, hvilket er helt anderledes fra ” moderne ” set-teoretisk tilgang, jeg tror, det kan være nyttigt at henvise til den filosofiske tradition fra det XIX århundrede britiske emprisisme.

Især filosofen John Stuart Mill viet en del af sit arbejde Et system af logik, ratiocinativ og induktiv (1843) til diskussionen om grundlaget for aritmetik.

Her er nogle passager, som – håber jeg – kan tydeliggøre Fins definition:

Tre småsten i to separate pakker, og tre småsten i en pakke, gør ikke det samme indtryk på vores sanser – og påstanden om, at de samme småsten ved en ændring af sted og indretning kan bringes til at producere enten det ene sæt af fornemmelser eller det andet, dog en meget velkendt forslag, er ikke identisk. […]

De videnskabelige grundlæggende sandheder [talernes videnskab] hviler alle på beviset for mening – de bevises ved at vise vores øjne og vores fingre, at et hvilket som helst antal objekter, ti kugler, for eksempel ved adskillelse og omarrangering kan udvise vores sanser alle de forskellige sæt tal, hvis sum er lig med ti. ( CW VII, 256-57)

Således, når vi siger, at terningen af 12 er 1782, hvad vi bekræfter er dette: at hvis vi har et tilstrækkeligt antal småsten eller andre genstande, sætter vi dem sammen til th en bestemt slags pakker eller aggregater kaldet tolve; og sammensatte disse selv i lignende samlinger – og til sidst udgør de tolv af disse største pakker: det således dannede aggregat vil være sådan, som vi kalder 1728; nemlig det, der (for at tage det mest kendte af dets former for dannelse) kan laves ved at slutte sig til pakken kaldet tusind småsten, pakken kaldet syv hundrede småsten, pakken kaldet tyve småsten og pakken kaldet otte småsten. ( CW VII: 611-12)

Mill “s naturalistisk tilgang til fundamentet for aritmetik er baseret på ” grundlæggende ” processer til sammenføjning og adskillelse, der giver anledning til og nedbryder ” aggregater ” af fysiske objekter.

Den empiriske opfattelse af Mill blev skarpt kritiseret af Gottlob Frege i sin grundlæggende Die Grundlagen der Arithmetik ( The Fundament of Arithmetic ) (1884).

For en redegørelse for Mills filosofi om matematik se Philip Kitcher, Mill, matematik og den naturalistiske tradition i John Skorupski (redaktør), Cambridge Companion to Mill (1998), side 57-on.

Kommentarer

• Sir, tak for dette andet meget nyttige svar . Det vil tage tid for mig at læse så mange relaterede tekster (jeg ser i øjeblikket på de bøger, som du og andre nævnte tidligere). Er der en endelig bog, der er helt viet til historien om aritmetik ? En bog, der kunne forklare ting startende fra historien og derefter flytte til sidst for at forklare, hvordan moderne aritmetik blev etableret. En bog, der forklarer alle relaterede ting, dvs. hvem, hvordan, hvornår, hvorfor af aritmetik. Om en måned vil jeg stille to meget filosofiske (og tekniske) spørgsmål om aritmetik. Skal jeg pinge dig.
• Om historien om ” moderne ” aritmetikfilosofi , fra Kant af (men JSMill diskuteres ikke) kan du se Michael Potter, Årsag ‘ s nærmeste kin: Aritmetikfilosofier fra Kant til Carnap (2002).

I bogen adskiller sig “antallet af ting” effektivt fra deres repræsentation. Antag at du har gæster, du ønsker at invitere til en fest. Hvad er antallet af gæster-ting, som du inviterer?

Hvis du inviterer 5 venner, kalder vi dem John, Fred, Mary, Jill og Barney. Der er 5 gæstevenner- ting, som du inviterer til festen.

Men hvad nu, hvis festen er en maskerade-bold, og de er alle i forklædning. John er klædt som et spøgelse, Fred som en nisse, Mary som en heks, Jill som et græskar og Barney som en dinosaur. Bare fordi de nu er spøgelse, nisser, heks, græskar og dinosaur ændrer ikke antallet af gæstevenn-ting, som du har inviteret til festen. Deres egenskaber har ændret sig – de ligner ikke længere dine venner, de ser ud som deres forklædninger.

Hvad hvis de 5 af dem kommer klædt alle sammen som ikke skelnes mellem spøgelser. Betyder det, at vi siger, at der kun er et spøgelse, der er kommet til dit parti? lokalitet, ankomsttidspunkt, højde, vægt, arkfarve osv.

Hvad hvis de havde nøjagtigt samme kostume, og du aldrig så mere end én ad gangen – sådan at der ikke var nogen definerende egenskaber, der adskiller en ven fra en anden. Du er måske ikke sikker på, hvor mange gæstevenn-ting, du havde på din fest. DENNE transformation har ødelagt den særpræg, der adskilt dem forud for dette, og det er derfor ikke en gyldig transformation til at tælle antallet af ting.

Idéen om “antal ting” med hensyn til dine invitationer er specifikt gruppens egenskab, således at ændringer (aktivering, omnummerering, ombestilling, men IKKE duplikering, eliminering eller optælling af undergrupper), der bevarer elementernes særpræg, opretholder den egenskab. Det handler ikke om, hvorvidt ejendommens værdi er 1, 5 eller en million milliarder, men kun at “antallet af ting” er en endelig værdi, der holder denne ejendom.

Med hensyn til for almindelig engelsk er antallet af ting bare … antallet af ting af interesse. Det bliver ikke mere simpelt end det, og fordi det er et så simpelt koncept, er det meget vanskeligt at skrive en præcis definition, der ikke forårsager problemer i mulige dagligdags udtryk.

Dette spørgsmål (og mange af svarene for den sags skyld) overser formålet med matematisk teori, som er at behandle aksiomer som noget givet. Vi antager, at vi har en forestilling om (for eksempel) særpræg og undersøger derefter konsekvenserne af at have denne forestilling.

Med andre ord er det umuligt at stille spørgsmålet “Hvor mange elementer er der i sættet $ \ { A, A, B \} $? “Uden først at give aksiomer omkring $ A $ og $ B $. I henhold til standard matematisk syntaks skal vi egentlig kun stille dette spørgsmål efter ommærkning til $ \ {A, A”, B \} $ for at undgå forvirring, men dette er et spørgsmål om kommunikation og praktisk, ikke dogme og bestemt ikke en slags sandhed om sæt.

Matematik, med Roberto Ungers ord, er en “visionær udforskningaf et simulacrum af verden “. Hvis du er uenig med en andens vision, er det helt okay. Men hvis du tror, du har et problem med selve matematikken, er chancerne for, at du genererer dine egne modsætninger ved at misbruge sprog. Hvis du er klar over hvilke egenskaber din forestilling om tydelighed skal have, så gælder sætteori , det er kun et spørgsmål om hvordan. Det foreskriver ikke en bestemt form for særpræg, men snarere udforskning af fællesforholdet mellem alle former for særpræg.

Det ser ud til at svaret på dit spørgsmål er meget sammenflettet med hvad “en ting” er. Du er måske opmærksom på, at det som abstrakt et spørgsmål måske er blevet stillet gentagne gange i fysiksamfundet i forbindelse med kvantefeltteori og grundlaget for kvantemekanik (se f.eks. Paul Teller og Chris Isham). En af konklusionerne er, at begrebet ting som en essens, som egenskaber “klæber til”, skal afvises. Dette er, hvad Teller beskriver som problemet med “mærket tensorprodukt Hilbert rumformalisme”, da det er uforeneligt med den fysiske adfærd, der faktisk observeres. Så hvis du vil have en universel definition af “antal ting”, kan du ikke undgå disse overvejelser om, hvad en ting er, og om hvad der kan skelnes fra et fysisk synspunkt (medmindre du vil have en definition, der gælder for et univers, der er ikke vores egen.

Bare for at give dig et eksempel, lad os sige, at du har en foton i din højre hånd og en i din venstre. Du kan skelne dem ved at henvise til, hvilken hånd de er i. Så “antallet af måder at lægge dem i lommen på” er 2 (først den i din venstre hånd, derefter den i din højre hånd eller omvendt) . Når de først er i lommen, kan de ikke skelnes fysisk, og “antallet af måder at tage dem ud” er 1 (ud kommer den ene, så den anden).

Kommentarer

• I fotonerne i et lommeeksempel, du giver, synes ‘ for mig at være to fotoner. Deres identitet (venstre / højre) går tabt (den ene, der ved hvilken, der er den første, den anden anden). Der er ‘ stadig to af dem, selvom du ‘ har mistet lidt information. De data, der går tabt, er af ” i venstre / højre hånd ” egenskab, som ikke er ‘ en egenskab for fotoner generelt. Du ser ud til at sige, at alle egenskaber kan dispenseres på en lignende måde, men jeg kan ‘ ikke regne ud, hvis du siger, at dette er et uoverstigeligt problem for en ” universel definition af ‘ antal ting ‘ “. Eller kan ting tælles uanset?
• Åh ja, der er altid 2 fotoner rundt. Jeg ‘ taler om konsekvensen af at miste identitet på vores evne til at tælle, og dette er en konsekvens af ‘ en ting ‘ som en foton. Den modsatte adfærd sker for fermioner, som altid skal skelnes, og dette forhindrer dig i at klemme for mange på det samme sted (hvilket er Pauli-udelukkelsesprincippet).Så at tælle ting ved (som i eksemplet) at tælle måderne du kan omarrangere dem på fungerer ikke ‘ ikke altid. Jeg ved ikke ‘ om dette er et uoverstigeligt problem, men en definition, der er universel, kan bestemt ikke ignorere det.