Hvis 1 + 1! = 2, så er 1 – 1! = 0, hvilket betyder, at ladningen på protonerne i en kerne ikke længere annullerer ladning på elektronerne. Således erhverver alle atomer en elektrisk elektrisk ladning, og alle makroskopiske legemer tiltrækkes (eller frastøttes) til (fra) hinanden med en utrolig kraft – 36 størrelsesordener stærkere end tyngdekraften. Dette ville knuse hele universet i en subatomær masse i temmelig kort rækkefølge …

Kommentarer

• Sikker på, men så ville det også ikke gør det.
• Total protonisk tilbageførsel? At krydse vandløbene er dårligt, Ray.
• Dette er faktisk det eneste svar, jeg ' har læst her, der præsenterer en teori om " hvad der ville ske " del af spørgsmålet. Bravo, Oscar.
• " Hvis 1 + 1! = 2, så er 1 – 1! = 0 " Jeg kan ikke ' få det. Hvordan drages den konklusion?
• @CPHPython Det kunne ske, hvis 1 + 1 = 2 er falsk ( og hvis elektrisk ladning overholder reglerne for + ). Men hvis det ' s tilbagevist , betyder det bare, at vi gør disproofing brudt.

Hvad der ville ske er konceptuelt meget simpelt. Papiret, der beviser “¬1 + 1 = 2”, får titlen “ Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent ” og offentliggøres.

Fra der bliver det sværere. Afhængigt af hvordan beviset fungerer, bør vi ende med en ny, svagere sætning, der resulterer i, at konsistens gendannes. Eller noget værre; Peano Axioms kunne være ugyldig med konsekvensen af, ja, det ved jeg ærligt talt ikke. En eller anden operation, vi plejede at have, går væk, men den vandt “t være tilføjelse. Heltalsaddition kan ikke afvises i det endelige område (tak videnskab!), så noget andet på vejen til modbestandighed smides ud. Måske er håndteringen af uendeligt forkert i al matematik. Måske noget andet. Jeg beklager, hvis dette lyder som spekulation. Spekulationen er faktisk i spørgsmålet. Det afhænger lidt af, hvor stort et hul du vil slå.

På den praktiske side ved vi allerede, hvad der sker . 1 + 1 = 2 vil stadig være sandt for ethvert rimeligt domæne og brugssag, så vi fortsætter med at bruge det. Efter et stykke tid vil fejltilstanden forstås og omhyggeligt (eller ikke så omhyggeligt) udelukkes som vi gør inden for datalogi til overløb nu.

Kommentarer

• " Zermelo – Fraenkel sætteori er inkonsekvent " – eller en endnu bedre titel, hvis beviset ikke krævede ' t kræver alle ZF-aksiomerne.
• Pudlak teoretiserer, at hvis en modsigelse blev fundet i Peano-aksiomerne, ville vi begynde at begrænse induktionsaksiomet til " små " formler, for en eller anden definition af lille. Dette ville sandsynligvis gendanne konsistensen.
• Og denne slags sker allerede redigeret en gang med Russel ' s Paradox. (Bortset fra at jeg ikke ' ikke ved, at Cantor ' s sætteori almindeligvis blev betragtet som et godt fundament for al matematik på det tidspunkt som ZF [C] er nu.)

1 + 1 = 2 er en nødvendig sandhed — nogenlunde et udsagn, der er sandt i enhver mulig verden. Dit spørgsmål beder således om ægte kontrafaktiske betingelser med umulige fortilfælde. Disse kaldes undertiden modmuligheder (f.eks. Afsnit 5.1 her ).

Den traditionelle visning var tidligere alle disse modmuligheder er trivielt sande. Ifølge denne opfattelse, “hvis en plus en ikke var to, så ville q ” være sandt for vilkårlig q . For nylig har flere filosoffer hævdet, at det at give mening om videnskab og dagligdags ræsonnement kræver en semantik for modmuligheder, der ikke trivielt medfører deres sandhed. Se henvisninger til denne debat i den sidste SEP-post, der er linket til ovenfor.

Under alle omstændigheder kan du være sikker på, at en plus en nødvendigvis er lig med to.

Kommentarer

• " i enhver mulig verden ". Dette kan diskuteres. Der kan være en verden, vi kan ' ikke forstå og endda forestille os, da den ' s logiske love (og aritmetiske, hvis de endda findes der) er helt forskellige.
• @ rus9384 konsensus blandt teoretikere, der arbejder med dette emne, er, at logiske sandheder er nødvendige. Hvis vi antager her, at OP ikke er interesseret i at bestride sandheden af Peano-aksiomerne, er 1 + 1 = 2, som følger af disse aksiomer, nødvendig. I den mulige verdens fortolkning af nødvendighed betyder det at være nødvendigt bare at være sandt i enhver mulig verden. Fordi, som du siger, vi undertiden har brug for at argumentere over umulige forhold, nogle teorier arbejder med en forestilling om umulig verden til netop dette formål.
• Så den verden er umulig, fordi vi ikke kan ' ikke tænke på den? Blinde mennesker kan ' ikke se, men at ' ikke er problemet. Der er andre farver, som andre dyr opfatter, som vi ikke oplever ' (medmindre teknologien vil udvikle sig meget nok). Det er bare sådan, at vores sans for logik ikke tillader opfattelse af andre logiske systemer. Og vi kan ' ikke være sikre på, at Peano-aksiomer virkelig fungerer i vores verden. Selv 1 + 1 = 2 kan bestrides på kvantaniveau.
• Nå, lad ' s sige dette: mulighed er en nyttig forestilling, idet ikke alle brønde -formet sætning i den vejledende repræsenterer en mulig situation. Tag en sætning, der udtrykker en af de ikke-mulige ting. Hvordan skal vi tænke over dem? Nogle siger: ved at postulere ekstra verdener, hvor pr. Umulig sådanne ting er sande.
• @ rus9384 Jeg tror ikke ' Jeg tror ikke, at 1+ 1 = 2 kan bestrides på ethvert niveau. Hvad du måske bestrider er, at Peano-aksiomerne modellerer verden godt på kvantaniveau. ' t gør ikke 1 + 1 = 2 ikke sandt i betragtning af Peano-aksiomerne.

Beviset skal have været udført i en form for system, ellers er det ikke så meget et bevis som et overbevisende argument. Så vi har et bevis i et eller andet system på udsagnet 1 + 1! = 2.

Filosoffer inden for logik og matematikere vil se nærmere på detaljerne i dette bevis. Da alle formelle systemer, som enhver er interesseret i, viser det modsatte af denne erklæring, også bevis for, at denne erklæring viser, at uanset hvilket system der blev brugt, er inkonsekvent. Så dette system kunne ikke længere bruges til seriøst arbejde. Derfor ville logikere have lært noget ekstremt vigtigt om det specifikke logiske system, og de ønsker at vide, hvilke andre systemer den samme teknik vil vise sig at være inkonsekvent.

Universet kunne ikke “kastes i kaos”, medmindre man tror på en slags (tør jeg sa y it: magisk?) effekt, hvor bevægelse af stjerner i Andromeda-galaksen er væsentligt påvirket af hvilke markeringer du laver på et stykke papir på jorden. En solipsist kan, formoder jeg, tro, at universet udelukkende opretholdes af deres personlige tro på logisk konsistens, og dermed at universet fundamentalt ville blive ændret ved at læse dette bevis. De fleste mennesker har tilstrækkelig tillid til eksistensen af en ekstern virkelighed for ikke at tro, at universet har nogen interesse i, hvad bevis mennesker gør eller ikke producerer.

Jeg forventer, at filosoffer ikke er interesseret i logik og formelt bevis systemer ville for det meste ignorere resultatet, i det mindste indtil logikerne forklarede dem nøjagtigt under hvilke betingelser de (ikke-logikere) faktisk bruger det samme fejlbehæftede system, der viser 1 + 1! = 2, og hvorfor er det derfor, hvad de har brug for at stoppe med at bruge.

Selvfølgelig afhænger det også i en udstrækning af, hvad du mener med at afvise at 1 + 1 = 2. Man kan forestille sig et “fysisk bevis” snarere end et formelt logisk. Hvis du mener, at nogen har bevist, at de kan placere en appelsin i en tom skål, og derefter placere en anden appelsin i den samme skål, og ingen andre appelsiner er tilføjet eller fjernet, og at skålen nu indeholder et andet antal appelsiner end 2, du kan sige, at de “har bevist 1 + 1! = 2. Men alles forventning er, at der faktisk er involveret en slags tidligere ukendt fysisk proces, der involverer appelsiner. Så mens du “har opdaget noget, der virkelig ændrer vores forestillinger om virkelighedens natur, er det ikke på grund af at den” mest fundamentale ligning “er logisk forkert, det er fordi appelsiner (eller fysiske objekter generelt) adlyder tilsyneladende ikke aritmetik mere, og derfor er ligningen ikke længere anvendelig for dem. Naturligvis ville dette være ekstremt foruroligende, fordi mennesker hele tiden stoler på at være i stand til at tælle ting, og så det menneskelige samfund kan meget vel blive kastet i kaos.

Måske er relevant for diskussionen Inkonsekvent matematik :

det er studiet af almindelige matematiske objekter, som sæt, tal og funktioner, hvor nogle [ fremhævelse tilføjet ] modsætninger er tilladt.

Og se diskussionen om Aritmetik :

En inkonsekvent aritmetik kan betragtes som et alternativ eller en variant på standardteorien, som en ikke-euklidisk geometri.

Aritmetikens standardaksiomer er Peanos, og deres konsekvenser – standardteorien for aritmetik – kaldes PA . Standardmodellen for aritmetik er N = {0, 1, 2, …} , zero og dens efterfølgere.

De ensartede ikke-standardmodeller er alle ex spændinger i standardmodellen, modeller, der indeholder ekstra objekter. Inkonsekvente modeller af aritmetik er den naturlige dobbelte, hvor standardmodellen i sig selv er en udvidelse af en mere grundlæggende struktur, som også gør alle de rigtige sætninger sande.

Inkonsekvent aritmetik blev først undersøgt af Robert Meyer i 1970 “s. Der tog han den parakonsistente logik R og tilføjede den aksiomer, der styrede efterfølger, addition, multiplikation og induktion, hvilket gav systemet R #.

I 1975 beviste Meyer, at hans aritemiske er ikke-triviel, fordi R # har modeller. Mest bemærkelsesværdigt har R # endelige modeller med et to-element domæne {0, 1} , med efterfølgerfunktionen bevæger sig i en meget tæt cirkel over elementerne.

Sådanne modeller gør alle sætningerne i R # sande, men hold ligninger som 0 = 1 bare falsk.

Så hvad? Måske kan vi overleve til en (begrænset?) mængde inkonsekvens .

Men overvej dette, du skal h-eksperiment, baseret på et intuitivt eksempel afledt af Graham Priest analyse af den generelle struktur af modeller for inkonsekvent aritmetik:

forestil dig aritmetikens standardmodel, op til et inkonsekvent element

n = n + 1 .

Denne n mistænkes for at være en meget , meget stort antal [ fremhævelse tilføjet ], " uden fysisk virkelighed eller psykologisk betydning. " Afhængigt af din smag er det det største uendelige antal eller det mindst inkonsekvente antal. Vi forestiller os yderligere, at for j, k > n , har vi j = k .

Hvis i den klassiske model j ≠ k , så er dette også sandt; derfor har vi en inkonsekvens, j = k og j ≠ k . Enhver kendsgerning, der er sand for tal større end n gælder for n også, for efter n er alle tal identiske med n .

Ingen fakta fra den konsistente model går tabt.

Men overvej nu sagen, at n er meget meget stor, men ikke " uden psykologisk betydning " og forestil dig, at din bankkonto føjer til et beløb på n USD (eller GBP eller hvad som helst).

Fra det øjeblik vil bankkontoen ikke vokse mere, uden " forstyrrelse " i de sædvanlige aritmetiske love.

Må vi overveje det som et tilfælde af " universet kastes i kaos " ?

Gödels sætning siger groft, at ethvert tilstrækkeligt nyttigt matematisk system enten er ufuldstændigt eller modstridende, det vil sige, at der enten er udsagn, der ikke kan bevises eller afkræftes, eller at der er udsagn, der kan bevises både sande og falske.

Der er mange udsagn om, at vi ikke har været i stand til at bevise sande eller falske (men det kan være, fordi vi ikke var kloge nok), og der er ikke bevist nogen modsigelse (men det kan også være, fordi vi var ikke kloge nok), så det er ikke utænkeligt, at “1 + 1 ≠ 2” kunne bevises. 1 + 1 = 2 ville så være samtidig sand og falsk.

Hvad ville der ske?Meget sværd blandt matematikere ville ske. En masse diskussioner ville foregå, hvordan vi kan ignorere denne kendsgerning og stå tilbage med nyttig matematik. Universet ville ikke ændre sig.

I betragtning af spørgsmålet: “1 + 1 = 2” kan ikke og vil aldrig blive modbevist (hvilket betyder, at beviset, som ikke er meget mere end simpel anvendelse af aksiomer, er bevist at være forkert). Det, der er eksternt, er, at der ud over beviset for, at det er sandt, også kan være et bevis for, at det er falsk.

Matematik og / eller videnskab ville forbedres.

Matematikere søger og bruger mønstre til at formulere nye formodninger; de løser sandheden eller falske formodninger ved matematisk bevis ( fra wikipedia ). Vi kan argumentere for, at 1 + 1 = 2 stammer fra definition ikke fra bevis, der gør spørgsmålet svagt eller dårligt dannet. Men dit spørgsmål er stadig gyldigt i en bredere forstand. Et matematisk bevis kan være forkert. Det er allerede sket. Dette mathoverflow-spørgsmål er fuld af historiske beviser og conjetures, som ikke er korrekte. Når en sådan fejl opdages, er der ingen ting univers-knusning sker. Vi holder bare op med at være forkert og har ret, vi har forbedret vores viden om matematik.

Så lad os sige, at vi arbejder med aksiomer, der ikke inkluderer 1 + 1 = 2. Og at vi kommer til 1 + 1 = 2 gennem matematisk ræsonnement og skaber et matematisk bevis for det. Og lad os sige, for argumentets skyld opdager vi senere, at et sådant bevis er forkert, faktisk 1 + 1 = 3. Nej, det ville ikke kaste universet i kaos. Universet var, hvad det var, før mennesker kom til begrebet 1 + 1 = 2 (eller så antager jeg, jeg var ikke der for at observere det, men vi har mange gode beviser, der hjælper os med at vide, hvordan det var). Og hver gang et matematisk bevis er bevist forkert, har universet ikke blevet kastet i kaos. Hvad der ændrede var vores forståelse af matematik. Det er rimeligt at antage, at det ville være det samme for 1 + 1 = 3.

Der er en ting, der ville blive kastet i kaos. Matematikere Nu, hvor vi ved, at 1 + 1 = 2 er falsk, er ethvert bevis, der afhænger af det, mangelfuldt. Fejlbehæftet, ikke ligefrem forkert. Påstandene valideret af bevis, der afhænger af 1 + 1 = 2, kan stadig være sande, men de gamle bevis ville ikke tjene til at fastslå denne sandhed. Masser af materiale skulle revideres og omskrives, ville meget diskussion opstå. Men vi ville komme klogere ud af ved kaos.

Hvad med videnskabelige teorier, der afhænger af 1 + 1 = 2 ?. Ligesom hvad der er beskrevet i et andet svar på dette spørgsmål. Nej, dette ville ikke mase hele universet i en subatomær masse i temmelig kort rækkefølge. Universet var, hvad det var, før vi opdagede 1 + 1 = 3 og ville fortsætte med at være det (jeg antager, at da sådan er sket for andre afviste beviser). Da vi ville have opdaget, at de gamle videnskabelige teorier ikke korrekt forklarer universet, ville der blive udviklet bedre modeller.

Hvis sådanne elementære ting kastes i tvivl, så så fortælles det meget mindre elementære ting, såsom de ræsonnementstrin, der er nødvendige for at bevise, at en og en ikke tilføjer til to. Således ville det være rimeligt at betvivle et sådant bevis. Faktisk ville jeg ignorere beviset – sammen med et dusin eller andre utrolige påstande, jeg møder hver dag – som (jeg formoder) ville gøre for de fleste andre mennesker.

Som et resultat ville jeg forvente, at beviset skulle har lige så stor indflydelse på verden som en ny demonstration af euklidisk vinkeltrækning (som det er blevet sendt mange gange før). Det vil sige, at det midlertidigt vil besætte de relativt få mennesker, der valgte at se på det.

Kort svar: Ja. Hvis du kunne bevise, at en sådan elementær og tilsyneladende åbenbar erklæring er falsk, ville det sætte spørgsmålstegn ved en hel del af, hvad vi mener, vi ved om matematik og sandsynligvis mange andre ting om universet.

Så hvad? Medmindre du har nogle beviser for, at denne erklæring er falsk, er den “meningsløs hypotetisk. Faktisk har jeg haft mange samtaler, hvor nogen præsenterede mig for nogle hypotetiske om et komplekst emne, som:” Hvad hvis det blev bevist, at denne politiske politik at du støtter fungerer ikke ?, eller “Hvad hvis Gud befalede dig at gøre noget ondt?” osv. Og mit svar er generelt at sige: “Jeg tror ikke, at den hypotetiske situation, du beskriver, sandsynligvis vil ske. Hvad hvis nogen beviste, at 1 + 1 = 2 er falsk? “

I en streng matematisk forstand kan jeg ikke se, hvordan du kunne bevise, at 1 + 1 = 2 var falsk, fordi det pr. Definition er sandt. definition af “2” er “1 + 1”. I det mindste er det, hvad jeg blev undervist i i talteori. I betragtning af kompleksiteten af moderne matematik er der sandsynligvis andre definitioner i andre grene. Men du kan ikke bevise, at en definition er falsk. Det er sandt ved … definition.

Intet ville ske med virkeligheden – det ville forblive som det er. Imidlertid ville vi derefter kræve en ændring i vores teori om tælling, som ville genklang gennem andre matematiske teorier, der er bygget på tælling. Da denne ligning af aritmetik faktisk er en definition af to (se f.eks. Opbygningen af aritmetik i matematiske aksiomsystemer), ville et bevis på, at denne ligning er forkert, betyde, at vi ikke gyldigt kan tilføje en og en ( eller mere præcist, ethvert aksiomsystem, der giver os mulighed for at tilføje en og en, er logisk inkonsekvent). Det ville kræve, at vi formulerede alternative aksiomsystemer i matematik, der undgår inkonsekvensen. Virkeligheden ville blive ved med at chugge sammen som normalt, mens vi forsøgte at finde ud af det.

Du kan ikke afvise et aksiom , og Peanos aksiomer angiver, at 1 + 1 = 2.

Kontekstskift i boolsk logik + betyder noget andet og 1 + 1 = 1.

Kommentarer

• Jeg ' er ret sikker på, at ' s cirkulære logik. du sagde i det væsentlige, at det ' er et aksiom, fordi det ' er på en liste over aksiomer.
• @ Ruadhan2300 Peano-aksiomerne er de sædvanlige logiske aksiomer. Du kan måske betragte det som dogmatisk, men det er lige så trivielt som " Hvert nummer har en efterfølger. "
• Ikke benægter, at Peano-aksiomerne bestemt er en meget troværdig kilde, men " det ' er sandt, fordi det ' s sand " er stadig et underligt argument at lave.