Hvor bruges Atiyah-Singer-indeks sætning i fysik?

Bevægelsesligningerne eller ligningerne af instantoner eller solitoner eller Einsteins ligninger eller næsten alle ligninger i fysikken er differentialligninger. I mange tilfælde er vi interesserede i rummet af løsninger i en differentialligning. Hvis vi skriver den samlede (muligvis ikke-lineære) differentialligning af interesse som $ L (u) = 0, $ kan vi linearisere i nærheden af en løsning $ u_0, $ dvs. skrive $ u = u_0 + v $ og udvid $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ for at konstruere en lineær ligning $ D (v) = 0 $ i forskydningen $ v. $

En lineær differentialligning er som en matrixligning. Husk at en $ n \ gange m $ matrix $ M $ er et kort fra $ R ^ n $ til $ R ^ m $ og $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ uafhængig af den bestemte matrix (eller lineær transformation, mere generelt). Dette nummer kaldes “indekset”. I uendelige dimensioner er disse tal generelt ikke endelige, men ofte (især for elliptiske differentialligninger) er de og afhænger kun af visse “globale” oplysninger om de rum, som de virker på.

Indeks sætningen fortæller dig, hvad indekset for en lineær differentiel operator ($ D, $ ovenfor) er. Du kan bruge den til at beregne dimensionen af løsningsrummet til ligningen $ L (u) = 0. $ (Når løsningsrummet er en manifold [en anden historie], er dimensionen dimensionen af tangentrummet, som ligningen $ D (v) = 0 $ beskriver.) Det fortæller ikke dig hvad det aktuelle løsningsrum er. Det “et hårde, ikke-lineære spørgsmål.

Kommentarer

• Jeg gætter det ‘ et godt matematisk svar for fysikere, der ikke ‘ ikke allerede kender udsagnet om indeks sætningen. Men jeg ser ikke noget faktisk fysisk eksempel. Hvilket er en skam, jeg er sikker på at Eric må kende mange af dem Jeg ved, at folk bruger det hele tiden i strengteori. Men jeg ved ikke ‘ til at give mit eget svar.
• Indeks sætningen er meget generelt og gælder for alle de eksempler, jeg citerede (instantons, solitons, Einstein ‘ s ligninger). F.eks. modulrummet for $ SU (2) $ instantons på de fire -sfære $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ med konstant adfærd ved uendelig) med øjeblikkeligt antal $ k $ er lig med $ 8k – 3 $ af indeks sætningen.
• Nå, du sagde ” næsten alle ligninger i fysik ” som er i direkte modsætning til min hverdag observation 🙂 Det jeg håbede på var nogle konkrete eksempler som dem Steve gav. Eller noget i retning af dit øjeblikeksempel (jeg tror dog du mente $ S ^ 3 $?). Jeg ville elske at se flere af disse, især forbundet med en vis fysisk fortolkning. På forhånd tak 🙂
• Det er sandt, at næsten enhver ligning i fysik er en differentialligning! Ikke alle fører til indeksproblemer. (Jeg mente S ^ 4. Instantons er tidsafhængige feltkonfigurationer.) Et eksempel fra strengteori, hvis Feynman-diagram er todimensionale QFT-amplituder. At 2d feltteori beskriver kort fra en overflade til en rumtid, og øjeblikkningerne i denne teori er holomorfe kort. Dimensionen af rummet på sådanne kort findes ved hjælp af en indeksformel. For en CY er denne dimension nul, hvilket betyder at du kan tælle løsninger (dette er relateret til topologisk strengteori).
• +1 på det gode svar og omtale af instantons. Men er der faktisk en applikation til Einstein ‘ s ligning? AFAIK indeks sætningen gælder for lineære elliptiske operatorer …

Eric og andre har givet godt svar på, hvorfor man forventer, at indeks sætningen opstår i forskellige fysiske systemer. En af de tidligste og vigtigste applikationer er “t Hoofts” opløsning af $ U (1) $ problemet. Dette refererer til manglen på et niende pseudo-Goldstone-boson (som pioner og kaoner) i QCD, som man naivt ville forvente af, at chiral symmetri bryder. Der er to dele til opløsningen. Den første er det faktum, at den chirale $ U (1) $ er anomal. Det andet er erkendelsen af, at der er konfigurationer af endelig handling (instantons), som bidrager til korrelationsfunktioner, der involverer divergensen af den aksiale strøm $ U (1) $. Analysen er stærkt afhængig af indekssætningen for Dirac-operatøren koblet til $ SU (3) $ gauge-feltet i QCD. For en mere komplet forklaring se S. Colemans “Erice-forelæsninger” Brug af instantons.”Der er også vigtige applikationer til S-dualiteten på $ N = 4 $ SYM, som involverer indeks sætningen for Dirac-operatøren på monopoliserede modulrum.

Kommentarer

• Jeff, hold dig på linjen! Jeg tror, at Physics Stack Exchange kan være nyttigt for fysiksamfundet, hvis det bruges så bredt og så klogt som Math Overflow – f.eks. fra mennesker som dig!
• Tak Eric. Jeg samler dette er netop genstartet. Jeg håber det fungerer. Det har nogle måder at gå, før det er MO-kvalitet.
• Faktisk. Jeg tror der ‘ er nu et sted under udvikling (Theoretical Physics Stack Exchange), der sigter mod at være mere som Math Overflow, men denne har fordelen af at være bevaret.

Lad mig først forklare, hvad indeks i spørgsmålet henviser til Hvis matematikken bliver for fuld af jargon, så lad mig det vide i kommentarerne.

I fysik er vi ofte interesserede i spektrum af forskellige operatører på nogle manifolder, vi holder af. F.eks .: Dirac-operatøren i 3 + 1 rumtid. Især er lavenergi langdistancefysik indeholdt i nultilstande (jordtilstande).

Hvad måler “indekset” nu for Dirac-operatøren $ D $ og en given manifold $ M $ er forskellen mellem antallet af venstrehåndede nultilstande og antallet af højrehåndede nultilstande. Mere teknisk:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

hvor $ D $ er den pågældende operatør $ ker \, D $ er kernen af $ D $ – det sæt stater, der udslettes af $ D $; og $ ker \, D ^ {+} $ er kernen i dens tilknytning. Derefter, som du kan se, $ ind \, D $ tæller forskellen mellem dimensionerne i disse to rum. Dette tal afhænger kun af topologien på $ M $.

Kort fortalt relaterer ASI-sætningen topologien for en manifold $ M $ til nultilstande eller jordtilstande for en differentiel operatør $ D $, der virker på $ M $. Dette er naturligvis information af relevans for fysikere.

Måske kan en anden uddybe mere om de fysiske aspekter.

Den bedste reference til dette og andre matematiske fysiske emner er efter min mening er Nakahara .

I tilfælde af en Dirac-operator, indekset er den (underskrevne) overskydende dimension af rummet for vakuumtilstande for den ene chiralitet m / r / t den anden: dvs. antallet af anomale “spøgelser” i en chiral feltteori.

Anomalier opstår, når den klassiske / kvante-symmetri-korrespondance bryder sammen under renormalisering (en global anomali kan være ansvarlig for kvarkmasse i QCD; løsning af den lokale chirale anomali i SM-konti for kvarker og leptoner; løsning af det i superstrengsteori løser måleren gruppe [til enten SO (32) eller E8 x E8], og opløsningen af en konform anomali fastsætter dimensionen af rumtid og fermionindholdet). Når man prøver at gøre strengteori til faktisk fysik, spørger man

• Kan det forklare tre generationer af chirale fermioner?
• Kan det forklare de eksperimentelle resultater ved protonforfald?
• Kan det forklare den lille masse af elektronmassen?
• Kan det forklare [ting om den kosmologiske konstant]?

og AST hjælper med at besvare disse spørgsmål.