Hvor langt kan papegøjer flyve uden at skulle lande?

Flyvefugle var den originale inspiration til designet af en maskine, der kunne flyve og bære en person opad, derfor er det ikke overraskende, at luftfartens og flyets aerodynamik har meget til fælles. Specifikt bruger de begge masse som energikilde til at opretholde flyvning, flybrændstof eller benzin i tilfælde af fly og opbevaret kropsfedt hos fugle, og de har begge vinger , der giver aerodynamisk løft, når luften bevæger sig over dem under flyvning. Derudover deler begge et andet kendetegn ved flyvning, evnen til at glide , at fortsætte flyvning uden at give nogen af deres egen energi til at opretholde denne flyvning. Denne energi tilvejebringes af atmosfæren selv i form af stigende luftstrømme forårsaget af en forskel i temperaturen i en lokal “lomme” af luft; en lomme med luft, der er varmere end den omgivende luft, vil stige, fordi den har lavere tæthed, Archimedes-princippet i aktion. En lignende proces opstår, når en pakke fugtig luft er omgivet af tør luft ved samme temperatur som den fugtige luft, og dermed mindre tæt end tør luft. Den tredje kilde til stigende luft skyldes den lokale topografi; luften på vindsiden af en højderyg eller bjerg tvinges opad og bruges ofte af fugle som en kilde til løft.

Enhver diskussion af svæveflyvning vil uundgåeligt involvere nogle aspekter af atmosfærisk fysik (aka, vejr), det er ikke anderledes her. Som nævnt ovenfor, en pakke fugtig luft omgivet af tør (er) luft ved den samme temperatur vil stige. Så længe denne temperatur er over mætningstemperaturen (dugpunktet) for den pakke luft, forbliver vandet i dampform. Vi ved alle, at når vi går højere i atmosfæren, falder temperaturen; det er køligere på toppen af et bjerg end ved dets base. Når vores pakke fugtig luft stiger, vil temperaturen derfor falde, og til sidst er temperaturen den samme som dugpunktet i den pakke, der fører til kondensering af fugtigheden, dvs. der dannes en sky. Da en overflade med konstant temperatur i atmosfæren næsten er en plan overflade, ser vi skyer på himlen, hvis baser alle er på samme niveau, det niveau, hvor denne kondens begynder. Nu for lidt termodynamik; når vi koger vand ved at tilføje varme (det vil sige energi) til det, omdanner vi flydende vand til en damp (damp).Her er sagen, når vi køler den damp ned til dugpunktet, kondenserer den tilbage til flydende vand, og når vi får det, får vi varmen (som blev sat i for at få det til at koge) tilbage igen ! Den genvundne varme viser sig som en stigning i temperaturen i den luft, der netop gav vanddampen op. Denne stigning i temperaturen får luften til at fortsætte med at stige nu på grund af en temperaturforskel med den omgivende luft i stedet for en vanddamptryksforskel ; skyen fortsætter med at vokse opad. Dette er kilden til de cumulonimbus-skyer, vi ser på himlen, og som til sidst kan danne tordenvejr. Denne diskussion hi-lights a nøglefakta om vejret, der relaterer sig direkte til vores diskussion om svæveflyvning; hvis der ikke er nogen opsamling, er der ingen skyer. Det er korrekt, for at en sky skal dannes, skal der være opsætninger indeholdende fugtig luft . Ingen skyer angiver ingen opdateringer. Hvis der ikke er nogen opsving, er der ingen svæveflyvning. Vi bemærker dog, at virkelig tør luft er meget svær at finde; der kan stadig være termik omkring, men ikke sandsynligt, og de ikke meget stærke. Fjernelsen fra denne diskussion er denne: hvis vi vil medtage stigninger i det maksimale rækkevidde som følge af svæveflyvning, er vi nødt til at være i stand til at forudsige vejret (som endnu ikke er sket, og jeg siger det som en der har brugt år som en bachelor- og kandidatstuderende, der er aktiv i atmosfærisk forskning.). Derfor vil langdistanceflyvning ikke blive behandlet yderligere her.

Vi begynder vores analyse af drevet flyvning ved at overveje et bestemt fly, siger en Boeing 787-passagerstråle. For at finde det maksimale rækkevidde ville flyet blive brændt helt op, tage afsted og flyve en jævn, konstant hastigheds flyvebane, da enhver acceleration (ved at ændre højde eller gå hurtigere) ville talje Når brændstoftanken går tør, har du nået det maksimale rækkevidde af drevet flyvning (forudsat at der naturligvis ikke er nogen hoved- eller bagvind).

Fra et analytisk synspunkt, det brændstof, der transporteres af 787, er energikilden $ E_s $ , der styrer dens motorer. Disse motorer producerer trykkraften, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ rettet vandret, parallelt med 787 “s længdeakse og til flyvevejen, der modvirker effekten af den atmosfæriske trækkraft, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ , der modsætter sig 787 “s bevægelse langs sin flyvevej. Under stabile flyveforhold (konstant hastighed og højde) er netto vandrette kræfter på 787 nul, så $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ eller $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Under størrelsen af begge sider af dette udtryk finder vi, at $ D = T $ , så $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Vi finder ud af, at drivkraften, der genereres af motorerne, har samme størrelse som, men rettet modsat den atmosfæriske træk.

Under de samme flyveforhold finder vi et lignende forhold for de lodrette kraftkomponenter, der virker på 787, dens vægt, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ afbalanceres af lift $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ genereret af vingerne, så $ F_w = m_p g = L $ og $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ hvor $ m_p $ er den øjeblikkelige masse (= startmasse af flyet, $ m_ {p_0} $ , minus mængden af brændstof brugt så langt genererende fremdrift) af 787 og $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ er standard tyngdeacceleration på jordens overflade. Vi bemærker her, at både $ \ mathbf {L} $ og $ \ mathbf {F} _w under disse flyveforhold $ er vinkelret på $ \ mathbf {T} $ og $ \ mathbf {D} $ .

Hvis fremdriften fjernes, så $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , er trækstyrken ikke længere modsat og vil sænke flyet ned, reducere luftens hastighed, der strømmer over vingen, hvilket igen får vingen til at generere mindre løft og dermed starte flyets nedstigning (dens vægt er større end den lift, vinger). Hvis planet derefter “næses ned” med en vinkel $ \ alpha $ fra vandret, projicering af planets vægtvektor, $ \ mathbf {F} _w $ på planets længdeakse vil ikke længere være nul, men vil i stedet være $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ rettet frem mod modstandskraften.Hvis $ \ alpha $ vælges således, at summen af denne projektion og trækvektoren er nul, vil planet ned med en konstant hastighed og størrelsen af træk gives af $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Fremspringet af vægtvektoren på aksen vinkelret på planet “s længdeakse, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , er afbalanceret med den samme størrelse, men modsat rettet liftvektor, hvis størrelse nu bliver $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Hvis vi danner forholdet $ D / L $ vi finder \ begin {ligning} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {ligning} Det omvendte af dette forhold, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , er kendt i aerodynamik som forholdet løft til træk mens vinklen $ \ alpha $ kaldes glidehældningsvinkel . Disse to parametre er vigtige i den overordnede karakterisering af aerodynamikken i en luftramme. Når dette forhold er kendt, kan det bruges til at estimere træk i jævn flyvning. Men i jævn flyvning, Elevatoren er lig med størrelsen på planets vægt, $ L = F_w = m_p g $ . Udskiftning af dette udtryk til ligning ~ $ \ eqref {1} $ og løsning af træk \ begin {ligning} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {ligning}

Vi har nået punktet i vores analyser, som vi har brug for til at adressere masse- / energibudget for flyets flyvning. Det vil være nyttigt at adskille flyets masse i dets tomme masse (uden brændstof), $ m_ {p_e} $ og massen af tilgængeligt brændstof, $ m_f $ , med den indledende startmasse af brændstof givet af $ m_ {f_0} $ . Når disse størrelser er defineret, angives startens startmasse af $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ mens den øjeblikkelige masse er angivet af $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Under flyvningen er massen af til rådighed brændstof, $ m_f $ , varierer således, at $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ mens flyets masse, $ m_p $ , varierer som $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Der er yderligere to konstanter, der kræves for at bestemme nettoeffektiv energi til rådighed for at udføre arbejde mod trækkraften, når man bruger (differentiel) mængde $ \ delta m_f $ brændstof, mens du flyver (differentiel) afstand $ \ delta \ mathbf {r} $ . Den første af disse, $ \ kappa $ , bestemmer den samlede (differentiale) energi, $ \ delta E $ , tilgængelig fra forbrændingen af mængden $ \ delta m_f $ af brændstof \ begin {ligning} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {ligning} For et amerikansk fly som 787, $ \ kappa $ vil have enheder, der ligner BTU pr. pund brændstof brugt. Den anden, $ \ eta $ , specificerer effektiviteten ved at konvertere den tilgængelige energi til faktisk arbejde, $ \ delta W $ , der genererer tryk, der modvirker træk \ begin {ligning} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {ligning} hvor $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ er en forskydningsforskydningsvektor langs flyvevejen under konstant hastighed, vandret bevægelse og minus tegn tegner sig for, at flyets energilagre forbruges, da energien bruges til at modvirke træk (en fundamentalt dissipativ proces).

At lade $ \ delta $ “bliver derivater, divideret med $ m_p $ og bruger $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ og erstatning af de integrerede variabler med primede størrelser, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ kan omskrives i den integrerede form \ begynde {ligning} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm “} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr “\ tag {5} \ label {5} \ end {ligning} med grænserne for integration evalueret ved start og den aktuelle nedrangeposition en afstand $ r $ fra start.

Udførelse af de integrationer, der er angivet i ligning ~ $ \ eqref {5} $ og forenkling, vi har resultatet \ begin {ligning} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {ligning} Vi finder ud af, at flyets masse, $ m_p $ , er en eksponentielt faldende funktion af den tilbagelagte afstand, $ r $ . At lade $ r = r_m $ være det maksimale planområde, hvor alt brændstof er brugt (når $ m_f = 0 $ således at $ m_p = m_ {p_e} $ ), Eq. ~ $ \ eqref {6} $ bliver \ begin {ligning} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {ligning} Vi bemærker ligheden mellem dette udtryk og Tsiolkovsky raketligning .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ kan løses i det maksimale interval $ r_m $ \ begin {ligning} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {ligning} et utroligt simpelt resultat, alt taget i betragtning! Dette resultat forbliver gyldigt for ethvert aerodynamisk system, der opnår sit løft via fremadgående bevægelse gennem luften leveret af et fremdrivningssystem, der bruger masse til at producere fremdrift. Det kunne anvendes på en Cessna 172 eller endda en nitro-drevet radiostyret (RC) model af en 172. Det kunne ikke anvendes på en elektrisk (batteridrevet) model af 172, fordi der er intet massetab fra et batteri eller til enhver type svævefly (ingen skub eller massetab). Og det kan dog anvendes på enhver flyvefugl, inklusive vores papegøje!

For papegøjen er energikilden det fedt, der er lagret i kroppen. Denne masse forbruges gennem metaboliske processer, der omdanner den til $ \ text {CO} _2 $ og vanddamp, der udvises under åndedræt, og så sved og urin som papegøje fluer (papegøjens “udstødning” som det var!). Energiindholdet i kropsfedt ( $ \ kappa $ som defineret i ligning ~ $ \ eqref {3} $ ) er 9 (mad) Kalorier pr. gram. En madkalorie er lig med en kilokalorie, hvilket igen er lig med 4184 Joule i SI-enheder, se Wikipedia artikel Fødevareenergi .

Effektiviteten ved at konvertere lagret energi i menneskekroppen til mekanisk arbejde er blevet anslået til at være $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (se Wikipedia-side Muscle ). Man kunne forvente lignende tal for andre varmblodede hvirveldyr, så vi til en signifikant figur tager $ \ eta = 20 \% = 0,2 $ (en dimensionsløs mængde).

Der synes at være et meget bredt interval for procentdelen af kropsmasse, der er fedt. Nogle trækfugle har op til $ 70 \% $ (se Overvægtige superatleter: fedtdrevet migration hos fugle og flagermus , men papegøjen betragtes generelt ikke som en trækfugl. Websiden Sammenligning af flykilometer for forskellige vilde papegøjearter angiver en vandringsafstand på 320 km for tyknebbede papegøjer for eksempel. Derfor er antallet af $ 70 \% $ sandsynligvis alt for stort. På den anden yderkant betragtes hakket oksekød som magert, hvis det indeholder $ 10 \% $ fedt, men mere generelt er det tættere på $ 20 \% $ . Vi vælger en værdi noget under medianen af disse ekstremer, sig $ 35 \% $ .

En typisk masse for en papegøje er et andet vanskeligt tal at fastslå, som der er en meget stor forskel i kropsmasse for de forskellige medlemmer af papegøjefamilien. websiden Gennemsnitlige fuglevægte hos almindelige papegøjearter giver data for 52 papegøjearter med links til fire andre arter, hver med flere poster. Disse varierer fra 10 gram for zebrafink til 1530 gram for den grønvingede ara, der dækker et masseområde på over to størrelsesordener! Resultat: der findes ikke en “typisk” papegøje! Vi vælger den tykke fakturerede papegøje, da vi har nogle langdistanceoplysninger, der kan sammenlignes vores resultat med. Wikipedia-siden Tyknebb papegøje giver sit masseområde som 315-370 gram, vi skal bruge 370 gram, så $ m_ {p_0} = 0.37 \, \ text {kg} $ , hvoraf $ 35 \% $ skal betragtes som brændstof, så $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ efterlader papegøjen “s” tom masse “ved $ m_ {p_e} = 0.24 \, \ text {kg} $ .

Vi har en resterende parameter at estimere, nemlig at det er glidehældningsvinklen, $ \ alpha $ , der bruges til at finde liften til trækforhold ovenfor. Overvej størrelsesordenens estimater for $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ ca. 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ ca. 6 ^ o $ eller $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0.01 \, \ text {radian} \ ca. 0.6 ^ o $ . Det er klart, at $ 60 ^ o $ er alt for stejl og $ 0,6 ^ o $ er alt for lavt, hvilket efterlader $ 6 ^ o $ som den eneste acceptable rækkefølge størrelsesvalg, derfor indstiller vi $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radian, et tal, der er gyldigt for de fleste flyvefugle.

Gentager Lignende ~ $ \ eqref {8} $ ovenfor, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ og erstatter papegøjeens værdier ovenfra (inklusive enhedsomregningsfaktorer)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ højre) \ venstre (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ højre) \ højre ] \ venstre (0.2 \ højre)} {\ venstre (\ frac {9.8 \, \ tekst {m}} {\ tekst {s} ^ 2} \ højre) \ venstre (\ tan \ venstre (0,1 \ højre) \ højre)} \ ln \ left (\ frac {0.37 \, \ text {kg}} {0.24 \, \ text {kg}} \ right) \ ca. 370 \ text {km} $$

finder vi svaret på spørgsmålet, “Hvor langt kan en papegøje flyve [under magt] på en enkelt dag?” at være

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a nummer, der er i nøje overensstemmelse med de tilgængelige (begrænsede) data, der gav et faktisk (vs maksimalt ) dagligt migrationsområde på 320 km.

Det “interessant at bemærke, at dette maksimum rækkevidde for motoriseret flyvning kan ses som minimum rækkevidde, når flyvning flyvning er inkluderet. Under ideelle vejrforhold , kunne det faktiske maksimale interval udvides betydeligt, hvis papegøjen skulle udnytte enhver tilgængelig termisk, den stødte på under sin flyvning.