Givet en satellit i en ækvatorial bane, udføres en bestemt prograde eller retrograd forbrænding på et vilkårligt punkt inden i banen, og jeg skal beregne den resulterende orbitale ellips.
Den teknik, jeg bruger, er at først bruge satellitens positions- og hastighedsvektorer til at finde flyvevejens vinkel som følger:
$ \ varphi = cos ^ {- 1} (\ frac {r_pv_p} {r_bv_b}) $
Hvor $ r_p $ og $ v_p $ er placerings- og hastighedsvektorerne ved periapsis af den oprindelige bane, og $ r_b $ og $ v_b $ er placerings- og hastighedsvektorerne ved brændpunktet, og $ v_b = v_ {orig } + \ Delta v $ .
Så beregner jeg excentriciteten af den resulterende ellipse som følger:
$ e = \ sqrt {(\ frac {r_bv ^ 2 _b} {GM} -1) ^ 2 \ cos ^ 2 (\ varphi) + sin ^ 2 (\ varphi)} $
Fra excentriciteten, jeg kan trivielt beregne den halv-store akse.
Hvad jeg ikke ved, hvordan man beregner, er argumentet for periapsis, $ \ omega $ , af den resulterende elliptiske bane. Jeg genkender, at det er en funktion af den oprindelige bane “s $ \ omega $ og brændingens vinkelposition, men jeg sidder fast og kommer op med højre beregning. Er der nogen der kender en formel til at finde den?
Kommentarer
- En mulighed, der skal fungere, men jeg har ikke ' t prøvede det, er at konvertere til kartesiske koordinater og tilbage.
Svar
velkommen til SE!
Argumentet for periapsis er en funktion af excentricitetsvektoren og den gennemsnitlige bevægelsesvektor for en bane og beregnes ud fra formlen:
$$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {e}} {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {e} |} $$ emne til hvis $$ e_ {Z} < 1, \ antyder \ omega = 360 ^ {o} – \ omega $$
hvor de gennemsnitlige bevægelses- og excentricitetsvektorer er defineret som: $$ n = \ sqrt \ frac {\ mu} {a ^ 3}, \ boldsymbol { e} = \ frac {(v ^ 2- \ frac {\ mu} {r}) \ boldsymbol {r} – (\ boldsymbol {r} \ cdot \ boldsymbol {v}) \ boldsymbol {v}} {\ mu } $$
Da vores determiner er cosinus for argumentet om periapsis, bestemmer tegnet på Z-vektoren eller den tredje vektor i ECI-rammen, hvor den ligger.
Så du tager disse vektorer i det centrale legems inertiale ramme, bruger deres prikprodukt og normaliserer dem derefter efter produktet af deres størrelser.
Der er tre spe cielle tilfælde afhængigt af kredsløbets hældning og excentricitet. Hvis kredsløbet er ækvatorialt, men elliptisk, skal $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {e_X} {| \ boldsymbol {e} |} $$
Hvis det er cirkulært, men skråt, så $$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {r} } {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {r} |} $$
Og hvis det er cirkulært og ækvatorialt, så $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {r_X} {| \ boldsymbol {r} |} $$
Dette er standardkonverteringer, når du omdanner radius og hastighedstilstande til klassiske orbitalelementer og kan findes i de fleste astrodynamiske bøger / referencer.