Superpositionssætning
“ Superpositionssætningen for elektriske kredsløb siger, at for et lineært system respons (spænding eller strøm) i enhver gren af et bilateralt lineært kredsløb, der har mere end en uafhængig kilde, er lig med den algebraiske sum af svarene forårsaget af hver uafhængige kilde, der fungerer alene, hvor alle de andre uafhængige kilder erstattes af deres interne impedanser . “

Hvilke slags kredsløb kan løses ved hjælp af superposition?

Kredsløb lavet af en af følgende komponenter kan løses ved hjælp af superpositionssætning

• Uafhængig kilder
• Lineære passive elementer – Modstand, kondensator og induktor
• Transformer
• Lineære afhængige kilder

Hvad er trinnene for at løse et kredsløb ved hjælp af superpositionssætningen?

Følg algoritmen:

1. Svar = 0;
2. Vælg den første uafhængige kilde.
3. Udskift alle uafhængige kilder i det originale kredsløb bortset fra den valgte kilde med dens interne impedans.
4. Beregn mængden (spænding eller strøm ) af interesse og tilføj til svar.
5. Afslut, hvis dette var den endelige uafhængige kilde. Ellers gå til trin 3 med valg af næste kilde.

Den interne impedans for en spændingskilde er nul, og for en strømkilde er uendelig. Så udskift spændingskilde med en kortslutning og strømkilde med åbent kredsløb, mens du udfører trin 3 i ovenstående algoritme.

Hvordan behandles forskellige slags kilder, når løser ved superposition?

De uafhængige kilder skal behandles som forklaret ovenfor.

I tilfælde af afhængige kilder skal du ikke røre ved dem.

Superposition gælder kun, når du have et rent lineært system, dvs.:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

I forbindelse med kredsløbsanalyse skal kredsløbet være sammensat af lineær elementer (kondensatorer, induktorer, lineære transformatorer og modstande) med N-uafhængige kilder, og hvad du løser for skal være enten spændinger eller strømme. Bemærk, at du kan tage en superpålagt løsning til spænding / strøm for at finde andre størrelser, er ikke lineære (f.eks. spredt strøm i en modstand), men du kan ikke overlejre (tilføj) ikke-lineære størrelser for at finde løsningen til et større system.

Lad os f.eks. tage en enkelt modstand og se på Ohms lov (jeg bruger U og J til henholdsvis spænding / strøm, ingen særlig grund) og se, hvordan strøm bidrog fra kilde \ $ i \ $ påvirker spændingen:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Så jeg kan finde spændingen over en modstand ved at opsummere det aktuelle bidrag fra hver kilde uafhængig af enhver anden kilde . Tilsvarende for at finde strømmen, der flyder gennem modstanden:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Men hvis jeg starter når man ser på magt, gælder superposition ikke længere:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Den generelle proces til løsning et kredsløb ved hjælp af superposition er:

1. For hver kilde \ $ i \ $ skal alle andre kilder udskiftes med deres ækvivalente nulkilde, dvs. spændingskilder bliver 0V (kortslutning) og strømkilder bliver 0A ( åbne kredsløb). Find løsningen \ $ F_i \ $, uanset hvilke ukendte du er interesseret i.
2. Den endelige løsning er summen af alle løsninger \ $ F_i \ $.

Eksempel 1

Tag dette kredsløb med to kilder:

^{simuler dette kredsløb – Skematisk oprettet ved hjælp af CircuitLab}

Jeg vil løse den aktuelle J, der flyder gennem R1.

Vælg V1 som kilde 1 og I1 som kilde 2.

Løsning for \ $ J_1 \ $ bliver kredsløbet:

^{simuler dette kredsløb}

Så vi ved, at \ $ J_1 = 0 \ $.

Løser nu for \ $ J_2 \ $ bliver kredsløbet:

^{simuler dette kredsløb}

Så vi kan finde ud af, at \ $ J_2 = I_1 \ $.

Anvendelse af superposition, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Eksempel 2

^{simulerer th er kredsløb}

Nu er jeg interesseret i strømmen gennem R4 \ $ J \ $. Efter den generelle proces, der er skitseret tidligere, hvis jeg betegner V1 som kilde 1, V2 som kilde 2 og I1 som kilde 3, kan jeg finde:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Således den endelige løsning er: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Styrken ved superposition kommer fra at stille spørgsmålet “hvad hvis jeg vil tilføje / fjerne en kilde?” Sig, jeg vil tilføje en aktuel kilde I2:

^{simuler dette kredsløb}

I stedet for at starte forfra fra starten er det eneste, jeg skal gøre nu, at finde løsningen til min nye kilde I2 og føje den til min gamle løsning: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Kommentarer

• Jeg har et par kommentarer, som jeg håber vil være nyttige: 1. Jeg finder ved hjælp af U og J er noget forvirrende, V og jeg er bedre; 2. Den første ligning for U bør ikke være summering, da den ' s kun for i ' kilden; 3. De andre summeringer skal, tror jeg, tages fra i = 1 til N, ikke fra i til N; 4. Superposition i kredsløbsteori bruges kun til strøm og spænding, så jeg vil flytte diskussionen om magt senere i teksten; 5. I eksemplet, der følger den enkle af I1 og R1, skal ' t J3 = -I1 (…), da I1 virker i den modsatte retning af J3?
• 1. Jeg valgte at bruge U og J, fordi jeg mærkede mine kilder med V og I, og jeg ' ville ikke have forvirring forårsaget af \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Jeg siger klart, hvad U og J er i håb om at begrænse forvirring. 2. Ja, jeg gjorde notationen klarere for, hvad summeringsvariablen og startindekset er. 4. Min idé var at lægge alle de grundlæggende oplysninger om hvornår superpositionsteori var før eksemplerne. Jeg gjorde eksemplerne mere tydelige for at adskille de to. 5. Ja, det var min fejltagelse.