Hvordan kan 64 = 65?

Dette er et berømt fysisk puslespil, der kan knyttes til Fibonacci-serier .

For at besvare det stillede spørgsmål er problemet, at de to skråninger er forskellige ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Bemærk, at alle disse tal er i Fibonacci-serien ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Efterfølgende fraktioner er tilnærmelsesvis tættere på $ \ varphi $ , skiftevis mellem oven og under. Diagrammer som dette kan genereres ved at lave en firkant med sider svarende til et tal i Fibonacci-serien (i dette spørgsmål 8) og derefter opdele det i to rektangler med bredderne på de to Fibonacci-tal, der udgør den første valgte (3 og 5).

Skær den mindre ned i diagonalen, og skær den større ned midt på en diagonal, således at bredden på den diagonale snit er det næste mindste tal (2 i dette tilfælde). Bemærk, at dette efterlader en trapez, hvis lille parallelle størrelse svarer til den oprindelige lille rektangel “s mindre side (3 i dette tilfælde), og hvis større parallelle størrelse svarer til den oprindelige større rektangel” s mindre side (5 i dette tilfælde).

Da $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , og fra ovenstående konstruktioner, kan stykkerne arrangeres i et rektangel (som vist), hvis område altid vil være et væk fra den oprindelige firkant, men vil se tilnærmelsesvis korrekt ud, da skråningerne næsten matcher.

Rediger: Da dette svar modtog så mange op-stemmer (tak!), jeg Antag, at folk er meget interesserede i det, så jeg tænkte, at jeg ville tegne et par billeder!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (OPets eksempel)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

En kommentar fra @EricJ . førte til en diskussion, der kan være værd at bringe her op:

Jeg hævder ikke, at alle sådanne gåder er baseret på Fibonacci-serien. Bare at alle Fibonacci-tal kan generere disse diagrammer. Der er flere karakteristika ved Fibonacci tal, der får dette til at fungere.

1. Den ene er, at firkanten af et Fibonacci-nummer skifter mellem at være en mere og en mindre end produktet af tallene på begge sider.
2. Der er skråningen, som jeg allerede har nævnt, hvilket betyder, at vores konstruktion vil give os to skråninger, der er omtrent lige store. Og
3. Der er et argument for, at den samlede konstruktion kan udføres baseret på, at hvert tal er summen af de to foregående.

De to sidstnævnte punkter kan bedst være forstået ved at studere konstruktionen i detaljer. Det første punkt kan bevises ved induktion:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ for $ k \ geq1 $

Vi indekserer, så $ f_0 = 0 $ og $ f_1 = 1 $ .

Trin 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ kan verificeres ved erstatning.

Trin 2 : Antag, at det er sandt for $ k $ . Så $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Jeg bruger m $ \ mp1 $ fordi jeg forventer, at det skal skifte, og så i trin 3 vil jeg bevise det for $ \ pm1 $ )

Trin 3 : Vi skal vise, at $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Så her går:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Jeg brugte definitionen af Fibonacci-serien to gange ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ og $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) og antagelsen fra trin 2.

Dette betyder, at når du laver ovenstående konstruktion, vil områderne altid være forskellige med kun 1 (skiftevis over og under hver gang).

Kommentarer

• Exc godt svar! Jeg ‘ er fortrolig med disse gåder, men har aldrig hørt om Fibonacci-forbindelsen. Faktisk vidste jeg ikke ‘ ikke engang, at der var en algoritme til at generere sådanne former.
• Dette er grunden til, at jeg aldrig stoler på ” bevis ved demonstration ” billeder på math.stackexchange.com .
• Efter at have set dette spørgsmål indså jeg, hvorfor min hurtigere-end-lette tidsrejser Ferrari 488 ikke ‘ t fungerer ganske (jeg mener, det ‘ d går baglæns i tiden hurtigere end lyset Bare fint – men det blev ved med at komme tilbage som en Ford Fiesta!) Og jeg ‘ d blev bare færdig fikse det og lancerede det på en testkørsel, da jeg læste dette dumme svar! Og SÅ kom Ferrari tilbage – men denne gang kom den tilbage som en cykel MED EN DINOSAUR RIDT DEN! Så OK, jeg slog dinoen (hans navn ‘ s Fred, BTW – dejlig fyr. Sjov ol ‘ ting, liv .. .) med en stegepande, og nu ‘ fikserer jeg FTL-motoren igen. Så t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Jeg tror, at han ‘ bare siger, at han gjorde noget umuligt og nu kan ‘ t længere fordi det ‘ har vist sig at være umuligt. Hvad jeg ikke ‘ ikke får, er hvorfor så mange stemmer op? Jeg mener, jeg troede, at jeg var klog, men ikke den kloge!
• Åh, ja? GODT! Jeg har lige opstemt dit svar, bare for at gøre det til endnu 100! SÅ DER!!!! 🙂 (Og som en bortset fra @ghosts_in_the_code – jeg var ikke ‘ t virkelig at sige, at dette svar er dumt – jeg henviste til det som ” dum ” i ironisk forstand betyder det ” Svaret har vist mig forkert! Hvilket dumt svar! ” – dvs. jeg ‘ er den rigtige dummy her. Forhåbentlig er vi ‘ alt godt nu …) . Min kommentar er faktisk en hyldest til tre film: Back To The Future, ET og Caddyshack. Og blafferen ‘ Guide til galaksen-trilogien – alle fem bøger. 🙂

Diagrammet er vildledende , da det skjuler et hul midt i den anden konfiguration.

Dette er hvad vi faktisk får, hvis vi omarrangerer de pågældende figurer. Bemærk, at diagonalen “bukker” let og efterlader lidt ekstra mellemrum mellem figurerne – det er her, den ekstra enhed af området kryber ind.

Men du skal ikke stole på mig mere end den person, der tegner det originale billede!

Som vi ser her, kan billeder være vildledende – så mit diagram er ikke bevis for, at det originale diagram var forkert. Dette giver bare en intuitiv fornemmelse af, hvor den ekstra plads er kommet fra.

For at få et korrekt bevis skal du overveje gradienterne:

• Gradienten af det blå trapezium er $ 5/2 = 2,5 $
• Gradienten af rød trekant er $ 8/3 = 2.666 … $

Da gradienterne ikke stemmer overens, kan vi ikke arrangere dem side om side sådan uden noget tomt mellemrum mellem dem . Men fordi de er tæt på, kan øjet blive narret til at tro, at de danner en enkelt kontinuerlig linje og ikke bemærker hældningen på trekanten, der skifter midtvejs ned.

Kommentarer

• Jeg elsker disse gåder – der ‘ er en god filosofisk moral om ikke at acceptere ting som de ‘ præsenteres til dig.

Billedet til højre snyderi : stykkerne passer faktisk ikke perfekt sammen, der er et mellemrum imellem. For at bevise det kan vi beregne afstanden ved at beregne størrelsen på en trekant dannet af:

• den længste side af den gule trekant: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• trapezens skrå side: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• diagonalen på rektanglet på højre: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Arealet af denne trekant kan beregnes ved hjælp af Herons formel:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

hvor

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

At erstatte værdierne i formlen giver nøjagtigt 0,5 for $ A $. Der er to sådanne trekanter, så “sa total 1 = den forventede uoverensstemmelse.

Det er et vildledende diagram. I virkeligheden stemmer vinklerne ikke op – den større indvendige vinkel af den orange trekant er omkring 69,5 grader, hvorimod det er 68.2 for den grå firkant. (Ret mig, hvis jeg forkert støver af min trig her.) I diagrammet med område 65 er de orange områder faktisk firkantede. Hvis du ser nøje, kan du se, at de har en svag bøjning, hvor de møder den anden orange Dette ekstra område kommer fra at udvide dem bare en smule.

Trekanterne har ikke den samme hældning ; du kan se, at den store diagonale linje gennem det “større” rektangel bøjes. Det er dækket af de tykke streger omkring trekanterne, men der er et meget tyndt hul, der har et samlet areal på en firkant – den samme firkant, der angiveligt “dukkede op fra ingenting”.

Bare forstør billedet, og du “ll se svaret.

Enkelt svar :

Disse figurer (i orange) i højre side af billedet er slet ikke trekanter! de er to firkanter. og de har således et areal, der er større end visuelt forventet. så der er ingen egenkapital her. De er forskellige og har således forskelligt samlet areal.

Billedet af det nederste rektangel er vildledende, fordi det narrer folk til forkert at antage, at bredden af trekanterne er nøjagtigt 3 enheder.

Den reelle bredde kan let beregnes – det er en brøkdel af den samlede bredde, defineret af punktets højde på diagonalen, eller nøjagtigt 8./13. af 5, dvs. 3.076923077 (og ikke 3), qed

Kommentarer

• Ifølge puslespilssætningen er trekanterne i begge diagrammer er identiske, og trekantenes form er defineret i 8×8-konfigurationen til at være nøjagtigt tre enheder med otte enheder. Fejlen er godt illustreret i alexwlchan ‘ s svar og matematisk forklaret i flere andre: Stykkerne passer ikke ‘ t faktisk sammen i 5×13-konfigurationen. Der ‘ et tyndt trapezformet hul mellem dem, som er skjult af den tykke, sorte og ikke helt lige diagonale linje trukket i den originale 5×13-illustration.