Hvordan kan området være en vektor?

Dette kan være mere et matematisk spørgsmål . Dette er en ejendommelig ting ved tredimensionelt rum. Bemærk, at et område som et plan i tre dimensioner er et todimensionelt underrum. På et ark papir har du kun brug for to tal for entydigt at betegne et punkt.

Forestil dig nu at stå på papiret, den retning dit hoved peger på vil altid være en måde at vide, hvordan dette plan er orienteret i rummet. Dette kaldes den “normale” vektor til dette plan, den er i en ret vinkel i forhold til planet.

Hvis du nu vælger konventionen for at have længden af denne normale vektor lig med arealet af denne overflade får du en komplet beskrivelse af det todimensionale plan, dets orientering i et tredimensionelt rum (vektordelen) og hvor stort dette plan er (længden af denne vektor).

Matematisk kan du udtrykke dette af “krydsproduktet” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ hvis størrelse er defineret som $ | c | = | a || b | sin \ theta $, der er lig med arealet af parallelogrammet, der spænder over for vektorer (som virkelig definerer et plan). For at stjæle dette billede fra wikipedias artikel om krydsproduktet:

Som jeg sagde i begyndelsen dette er en meget speciel ting for tre dimensioner, i højere dimensioner, det virker ikke så pænt af forskellige årsager. Hvis du vil lære mere om dette emne, ville et nøgleord være “eksteriøralgebra”

Opdatering:

Hvad angår den fysiske betydning af dette koncept, er fremtrædende eksempler vektorfelter, der strømmer gennem overflader. Tag en cirkulær ledning. Denne cirkel kan orienteres på forskellige måder i 3D. Hvis du har et eksternt magnetfelt, ved du måske, at dette kan inducere en elektrisk strøm, der er proportional med ændringshastigheden for den mængde, der strømmer gennem cirklen (tænk på dette, hvor meget pilene perforerer området). Hvis magnetfeltvektorerne er parallelle med cirklen (og dermed vinkelret på dens normale vektor) “perforerer” de ikke området overhovedet, så strømmen gennem dette område er nul.På den anden side, hvis feltvektorerne er vinkelrette på planet (dvs. parallelt med det normale), “perforerer” dette område maksimalt og strømmen er maksimal.

hvis du ændrer orienteringen mellem disse to tilstande, du kan få elektrisk strøm.

Kommentarer

• +1 for omtale af magnetfelter. Ikke alle overfladevektorer, der anvendes i fysik, er forskellige.
• Tak. Bare et par afklaringer. Du bad mig forestille mig, at en person stod på et papir & betragter retning af hovedet som repræsenterende den normale vektor. Men antag, at denne person stod på det nøjagtige modsatte ansigt, så vandt ‘ t papirets retning stadig er den samme? Men nu er vektorens retning i den modsatte retning. Forklar det.
• For det andet sagde du, at dette koncept ikke fungerer ‘ i højere dimensioner. Så betyder det, at mit spørgsmål om retningen af et område ‘ s område er ugyldigt? Hvis ja, er området en skalar i dette særlige tilfælde, da betragtning af det som en vektor ikke kan specificere dets retning i rummet?
• hvad ‘ forhindrer dig i at være tilfreds ?
• Det ‘ er ikke tilfredsstillende, for selvom axb er en vektor, er | axb |, dvs. området, en skalar, derfor er det ikke overbevisende, at området er en vektor.

Den vigtigste anvendelsesregime er, når et område er uendeligt lille, som man ville brug i en integral. I så fald kan vi let se, at den er flad, og at formen ikke betyder noget. I så fald kan vi kode informationen som en vektor med størrelsen, der repræsenterer området (skalar); valget (som du bemærket) at påpege fra en given side er nøjagtigt det — et valg — men et, der kan foretages konsekvent. Vi kan udvide dette til ikke-uendelige planer, men det fungerer ikke så godt for buede overflader.

For at være præcis, hvad du virkelig vil have, er en co-vektor . Dette er en abstrakt gadget, der tager en vektor og spytter en skalar ud. For et plan ønsker du, at dette skal repræsentere “mængden” af vektoren, der går gennem planet — så den skal være lineær i vektoren (fordobling af vektoren fordobler output), og den skal tage højde for den vinkel, hvormed vektoren rammer den (giver en faktor på $ \ cos $). Nu kan vi stille spørgsmålet om, hvordan vi repræsenterer denne abstrakte co-vektor, og det viser sig, at en vektor er en god idé! Specifikt kan vi repræsentere handlingen som at tage prikproduktet, som naturligt koder for linearitet og cosinus. Nu generelt har dette tilfældigvis det samme antal dimensioner som en ordentlig vektor, men dette koder kun for et område (en 2D-overflade) i 3D — i 2D får du en linje, i 4D et volumen (ja! En 4-vektor skærer et volumen på et tidspunkt!).

Hvis du vil lære mere om denne slags ting, vil du undersøge differentiel geometri, hvor alt det er nødvendigt at være klar over denne slags ting og ikke blande vektorer og co-vektorer (kaldet formularer i dette felt). En god læsbar reference er Gauge Fields, Knots and Gravity , der starter med en grundlæggende oversigt over matematikken og udvikler den til fysisk brug.

Kommentarer

• I forbindelse med feltteorier, som f.eks. Med elektromagnetisme, er begrebet ” størrelsen af en vektor (felt ), der går gennem et plan segment ” får navnet flux . Så du kan tænke på området som karakteriseret ved en funktion, der kortlægger vektorer (eller et vektorfelt) til strømmen af denne vektor (felt) gennem området.
• @luksen den bog, som han nævnte, er god for hvilket niveau af matematisk og fysisk viden? For at omformulere, hvad er forudsætningerne for at begynde at følge bogen effektivt? Og er det en kandidat- eller bachelorbog?

Tænk på kraft er tryk gange område ($ F = P \ cdot A $). Du ved, at trykket er en skalar (der er ingen retning forbundet med det), og en kraft er en vektor (den virker langs en akse). Så hvad betyder det for tryk.

Tag et lille område og se det bidrag til den samlede kraft på grund af tryk

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Kraftens retning er normal i forhold til området, og dens størrelse er proportional med størrelsen på området. Derfor er en uendeligt minimalt område $ {\ rm d} A $ kan være en vektor. Det er praktisk at tænke på (vektor) = (skalar) * (vektor).

Der er et særligt malerisk eksempel på loven om pythagorer i tre dimensioner anvendt på områderne med en simpleks. (Hvor med “simplex” mener jeg, at jeg mener et rumsnit afgrænset af tre ortogonale fly og et vilkårligt plan.) Summen af firkanterne (af arealerne) af de tre små ansigter er lig med kvadratet af det skrå fladeareal. Det forklares let af de argumenter for tryk / strømningstype, der er fremsat i de andre svar, der er indsendt her, plus den åbenlyse fysiske tilstand, at en uforstyrret væske er i ligevægt med sig selv.