Hvordan kan vi forklare, at beryllium har positive ladningsbærere som et metal (fra Feynman Lectures)?

Forskellen mellem et metal og en halvleder er, at et metal har sit øvre energibånd delvist fyldt med elektroner, mens vi i en halvleder skelner mellem valensbåndet, fyldt til toppen, og ledningsbåndet, der er tomt (ved temperatur nul). Det delvist fyldte bånd i et metal kaldes normalt ledningsbånd , men analogien med ledningsbåndet til en halvleder er kun korrekt, hvis mindre end halvdelen af dette bånd er fyldt. På den anden side, hvis mere end halvdelen af dette bånd er fyldt, bevæger elektronerne sig i den del af båndet med den negative krumning, dvs. deres opførsel vil være mere som hullerne i valensbåndet på en halvleder . Jeg ved ikke, om dette er tilfældet for Berillium, men jeg tror, at svaret fra @Agnius Vasiliauskas gør dette punkt.

Bemærk til båndenergi
For gratis elektroner gives energien af $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m}, $$ men for båndelektroner er det ikke tilfældet, da båndenergien er afgrænset fra bunden og fra toppen. En god måde at visualisere den på er den endimensionelle stramme bindingsmodel, hvor $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ hvor $ 2 \ Delta $ er båndbredden og $ a $ er gitterkonstanten. Når koncentrationen af elektronerne er lav, er vi berettiget til at udvide denne energi nær dens minimim, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ Vi kan derefter definere t den effektive masse $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( effektiv massetilpasning ) og behandle elektroner, som om de var en fri elektrongas.

Men hvis båndet næsten er fyldt, er vi mere berettigede til at udvide båndenergien nær dets øverste punkt, $ k = \ pi + q / a $ med resultatet $$ \ epsilon (k) \ approx \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ I dette tilfælde taler man om negativ effektiv masse , hvilket fører til den helhedslignende opførsel af ledningsegenskaberne.

En anden måde at se på det er ved at bemærke, at elektronhastigheden, der indtaster udtrykket for strømmen, er defineret som gruppehastigheden for sandsynlighedsbølgerne: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ hvilket giver os velkendt momentum over masse til gratis elektroner $ v (k ) = \ hbar k / m $ , men ser ret anderledes ud leje for elektroner i båndet, hvor det kan tage negative værdier (dvs. udviser hullignende opførsel): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Kommentarer

• Har du noget imod at uddybe, hvorfor bandet i et metal er buet i første omgang? Det ser ud til, at der er to måder at beskrive det på: via elektrongas som beskrevet af @Agnius Vasiliauskas og via båndstruktur, og jeg kan ikke ‘ se, hvordan de overlapper hinanden
• @fruchti Jeg har tilføjet mere materiale. Det er virkelig for kort til en introduktion til bandteorien, men jeg håber, det hjælper.

Som positive ladningsbærere kan der være huller og ioner. Hvis du ser på de første ioniseringsenergier af metaller:

Du vil se, at den mindste første ioniseringsenergi $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ har Alkali metalgruppe :
lithium (Li), natrium (Na), kalium (K), rubidium (Rb), cæsium (Cs), francium (Fr).
Alkalisk metalmetalgruppe har de første ioniseringsenergier mellem $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {ionization}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Til denne gruppe hører:
beryllium (Be) , magnesium (Mg), calcium (Ca), strontium (Sr ), barium (Ba), radium (Ra).
Lav ioniseringstærskler i alkaliske og alkaliske metaller kan ses som en god understøttelse af større koncentration af frie elektroner i sådanne metaller, og dette indebærer større koncentration af positive ladninger – huller & ioner i dem, for når atom er ioniseret – løst koblet elektron fjernes fra det og bliver en fri elektron, bliver atom således positivt ladet ion eller med andre ord – et sted hvor elektronen var før, nu er der et hul, $ 𝑒 ^ + _ Ø $ charge.

EDIT

Hvad angår hvorfor i dette tilfælde positive ladninger er hovedladningsbæreren, – jeg ved ikke den nøjagtige årsag, men min fysiske intuition fortæller dette. Ifølge kinetisk teori om gasser, betyder fri stien til partikler er defineret som: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ For $ \ pi d ^ {2} $ kan du træde i kraft e tværsnitsareal af fri elektronatomkollision. Og fordi frie elektroner danner en Fermi-gas, for tryk kan du tage elektrondegenerationstryk, hvilket er: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

hvor $ n $ er fri elektronantæthed.

Så når nummertætheden stiger (som det gør i disse let ioniserbare materialer), stiger degenereret elektrongastryk også. Når fermi-gastrykket stiger, betyder det, at den frie elektronveje falder, hvilket betyder at for større elektronkoncentrationer er langt sværere at bevæge sig frit for dem. Derfor, fordi huller er bundet til et atom og ikke er genstand for atomspredningseffekter – reagerer de mere ensartet på Hall-effekten. Det er min 2 cents gætte.

Kommentarer

• Kan du gå i detaljer om, hvordan en større koncentration af frie elektroner fører til en større koncentration Hvis vi har masser af begge dele, hvorfor transporterer hullerne ladningerne, ikke elektronerne?
• Jeg ‘ har ændret mit svar .
• Hvis jeg forstår godt dine argumenter, ville du forudsige en positiv Hall-koefficient for alkhalimetalerne? Men det er ikke det, der observeres. Jeg er også forbløffet over at læse, at huller er bundet til et atom. Kan du venligst forklare mere detaljeret, hvad du har i tankerne?
• Jeg mener, at huller ikke er som frie elektroner. Gratis elektroner er ikke bundet til noget atom, men huller er , kan de bevæge sig mellem atomer, men de kan ‘ t forlade ethvert atom, fordi per definition hul bor på et sted, hvor elektronen var bundet til et atom.
• Så synes jeg det er forkert. Hvad med min første kommentar, gør du jo dit svar indebærer en positiv Hall-koefficient for alkhalimetaller?

Ziman tilbyder løsningen i “Elektroner i Metaller: En kort guide til Fermi Surface “, i del III.

Det korte svar er “på grund af interaktionen mellem elektronerne og gitteret.”

Dette indebærer, at den frie elektronmodel (der fører til en sfærisk Fermi-overflade) ikke er i stand til at forklare denne adfærd.

Det lidt mere involverede svar kunne være: Hvis der ikke var nogen interaktion mellem frie elektroner og gitteret, blev Fermi-overfladen (bestemt af $ E (\ vec k) $ ) ville være en perfekt sfære, og hastigheden af elektronerne, der bidrager til ledning, ville være parallel med (krystal) momentum $ \ vec k $ og det er altid normalt for Fermi-overfladen.Tilstedeværelsen af gitteret ændrer dog formen på Fermi-overfladen (forvrænger den), så hastigheden af (kvasi) elektroner, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ , kan ændres alvorligt på grund af interaktionen mellem elektronerne og gitteret, hvilket gør dem med en hastighed, der ikke er parallel med krystallen momentum, dog stadig vinkelret på Fermi-overfladen.

Nu når et elektrisk felt påføres vinkelret på et magnetfelt (Hall-effekt), vil elektronerne være under en Lorentz-kraft. Ved at kombinere Lorentz-kraften med hastighedsformlen skrevet ovenfor kommer man til den konklusion, at det er som om nogle af elektronerne havde en negativ effektiv masse. Disse kan betragtes som “huller”.

Dette argument kan bruges til at forklare, hvorfor Be, Zn, Cd, Sn og Pb viser positive Hall-koefficienter på trods af at de er “metaller”.