Det vides, at en standard multivariat Brownian bridge $ y (\ mathbf u) $ er en centreret Gaussisk proces med kovariansfunktion $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Jeg er ikke sikker på, hvordan jeg skal konstruere en sådan multivariat Brownian-bro.
Min første tanke var at starte på en eller anden måde med en univariat Brownian-bro. Jeg har fundet oplysninger om det og endda en pakke i R, der kan gøre dette, men kun til den univariate Brownian-bro.
Jeg fandt dette , men som jeg forstår det, er der ikke gjort en standard multivariat Brownian-bro som defineret ovenfor eller f.eks. i dette papir .
Jeg ville sætte pris på ethvert tip og support.
Kommentarer
- Som jeg fandt ud af i Deheuvels papir link er der følgende forhold mellem en Brownian Bridge $ B_t $ og en Brownian Sheet (eller Wiener Sheet) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Så jeg tror, problemet reduceres til at simulere et brownian ark. Jeg vil stille mine spørgsmål om dette i et separat spørgsmål.
- korrektion, forholdet for flere dimensioner er $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Relateret: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Svar
Som du allerede påpegede ud i kommentarerne reduceres spørgsmålet til simulering af et brownian ark. Dette kan gøres ved at generalisere simulering af brownian bevægelse på en ligetil måde.
For at simulere den brownian bevægelse kan man tage en i.i.d. middel-0 varians-1 tidsserie $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , og konstruer den normaliserede delsummeproces $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ svag konvergens (i følelsen af Borels sandsynlighedsmålinger på et metrisk rum) til standardbruniansk $ B $ på Skorohod-rummet $ D [0 , 1] $ .
Iid med et endeligt andet øjeblik er tilfældet den enkleste måde at simulere på. Det matematiske resultat (Functional Central Limit Theorem / Donskers Theorem / Invariance Principle) har meget større generalitet.
Nu til at simulere det (for eksempel to-dimensionelle) Brownian ark tager det middelværdi-0 varians -1 array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , og konstruer den normaliserede delsummeproces $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ svag konvergens til det standardbrune ark på Skorohod-pladsen $ D ([0,1] ^ 2) $ på enhedens firkant .
(Beviset er et standard svagt konvergensargument:
-
Konvergens af endelig dimensionel fordeling følger af Levy-Lindeberg CLT.
-
Tæthed på $ D ([0,1] ^ 2) $ følger af en tilstrækkelig øjebliksbetingelse, der holder trivielt i i.i.d. endelig anden øjebliks sag — se f.eks. Bickel og Wichura (1971). )
Derefter ved løbende kortlægningssætning $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ konvergerer svagt til den todimensionale Brownian-bro.