Jeg har fået et spørgsmål om sort model 1976 og Bachelier-model.
Jeg ved, at en geometrisk brownian bevægelse i P-målingen $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ for en aktiekurs $ S_ {t} $ fører (efter en ændring af mål) til sort- Scholes-formel for et opkald:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Hvor $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ og $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Jeg ved faktisk ikke, hvordan det er muligt at få den berømte sorte formel på en terminkontrakt:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
hvor nu $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ og $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Skal jeg blot indsætte $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ i den første BS formel for at få den anden?
Jeg spørger dette, fordi jeg har forsøgt at udlede BS-formlen ved hjælp af en aritmetisk brownian-bevægelse som $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, en og jeg får:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
hvor $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ og $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ og husker at $ N (d) $ og $ n (d) $ er CDF og PDF.
men den tidligere erstatning $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ synes ikke at føre til det kendte resultat $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
hvor nu $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Jeg tror, jeg kunne nå ligningerne fremad både i det geometriske brownian-bevægelse og aritmetisk brownian-bevægelse ved hjælp af ligningerne
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ og $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ men jeg don ” ikke vide, hvordan det er berettiget at bruge dem.
Kommentarer
- @Macro Velkommen til Quant. S.E.! Vil du prissætte bare forward-kontrakt eller option på forward-kontrakt?
- Hej Neeraj, tak for dit svar. Jeg ' vil gerne prissætte en option på terminskontrakt!
- Bare udskift $ S_0 $ med $ F e ^ {- rT} $ i din originale BS-formel eller du kan bruge en risikoneutral tilgang. Begge vil føre til den samme værdiansættelsesformel.
- Ok, tak. Men kan jeg gøre det samme for ABM? Fordi jeg ikke kan ' ikke få resultatet, når jeg foretager denne udskiftning.
Svar
Europæisk mulighed i fremtiden
For at prissætte europæisk mulighed i fremtiden skal du bare erstatte $ S_0 $ med $ Fe ^ {- rT} $ i din oprindelige BS-formel, eller du kan bruge en risikoneutral tilgang. Begge vil føre til samme værdiansættelsesformel.
Amerikansk option i fremtiden
Ovenstående procedure kan ikke bruges til at prissætte amerikansk option i fremtiden. I et papir sagde Værdiansættelsen af optioner på fremtidige kontrakter af Ramaswamy , at
Der er ingen kendt analytisk løsning på værdiansættelsen af amerikansk option på fremtidig kontrakt.
Forfattere brugte implicit endelig forskelsmetode til at prissætte amerikansk option på fremtidig kontrakt.
Redigering: Afledning af pris på europæisk option på fremtidig kontrakt
Under risikon neutral måling, fremtidig pris, $ F_t $ tilfredsstille følgende SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ hvor $ W_t $ er en Wiener-proces. Det kan let vises, at: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Optionens pris på fremtidig kontrakt $ (C_t) $ under risikoneutralt mål er: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Du kan nemt løse ovenstående udtryk for at få prisen på optionen skrevet i fremtiden. Fordelingen af $ F_T $ svarer meget til $ S_T $ (se dette svar) . Hvis du udskifter $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , får du den samme fordeling af $ S_T $ som under risiko-neutral foranstaltning. Dette er grunden til, for at få prisen på option i fremtiden, erstatter vi $ S_t $ med $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ i BS-model for europæisk pris for opkaldsoption.
Kommentarer
- Hej Neeraj, faktisk jeg ' vil gerne prissætte en europæisk mulighed med start fra en ABM.
- @Marco skal du kontrollere rediger svar.
Svar
Her “er en enkel måde at få prisen på opkaldet på den fremadrettede pris ved hjælp af risikonutral prisfastsættelse.
Antag, at vi har et europæisk opkald, der betaler til $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , hvor $ T ^ * \ geq T $ . Antag yderligere, at rentesatserne er konstante og er repræsenteret af “ $ r $ “. Lad $ c ^ {For} (t, s) $ være prisen på opkaldet, hvor $ S (t) = s $ .
Så hvis aktien ikke udbytter:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Ved replikering kan den vises, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , og
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Du skal straks bemærke, at rentesatserne er konstante og dermed deterministiske, vi kan trække matematikken “ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” term ud af forventningen:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Dette er således nu proportionalt med Black Scholes-opkaldsprisen med strejke $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , hvor $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
også:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Dette er den “berømte sorte formel på en terminskontrakt”. Jeg håber, det hjælper!
Vær opmærksom på, at terminkursen og prisen på terminkontrakten ikke er den samme. Prisen på forwardkontrakten på tidspunktet 0 er 0, men kan ændre sig, forwardprisen er den pris, du accepterer at betale ved levering.
Hvis du er nysgerrig efter, hvad det ville være, hvis det var et opkald til futuresprisen i stedet for et opkald på forwardprisen, hævder jeg, at hvis aktivprisen ikke er korreleret med renten, er de de samme, ellers ville der være arbitrage (under antagelser om ingen modpartsrisiko osv.). Jeg opfordrer dig til at prøve at vise dette.
(PS Til de tidligere kommentarers svar om, at der ikke er nogen formel for en amerikansk option på forwardprisen, forhindrer det os ikke i at bruge Monte Carlo!) / p>