Det følgende er et interviewspørgsmål fra Mark Joshi et al. Quant Job Interview.
Spørgsmål: Hvorfor er Brownian-bevægelse nyttig i økonomi?
Jeg er fra en ren matematik-ph.d.-baggrund (funktionel analyse, især Banach Space Theory). Jeg vil gerne vove mig ud i kvantfinansieringsindustrien efter min ph.d.-eksamen.
Således har jeg ingen idé om, hvordan jeg skal besvare spørgsmålet ovenfor, da det ser ud til, at de fleste stokastiske beregningsbøger ville involvere taler om Brownian-bevægelse, men aldrig give motiver.
Kommentarer
- Hej: En af grundene er, at det ' er en martingale, og nogle er okay med at se logpriser som en martingale. Derfor kan BW være en rimelig proces at bruge til modellering af ændringer i logpriser. Faktisk er hele sorte skoles rammer baseret på den antagelse.
- standard Brownian-bevægelse eller geometrisk Brownian-bevægelse?
- Jeg kan antage, at kan svare begge dele?
- Den vigtigste nytteværdi af BM og Ito Calculus i modsætning til ting som diskrete tilfældige vandringer er evnen til en derivatportefølje i et sådant univers kontinuerligt at blive afdækket.
Svar
Brownsk bevægelse er simpelthen grænsen for en skaleret (diskret tid) tilfældig gang og dermed en naturlig kandidat til at bruge. Det er meget intuitivt og uden tvivl en af de enkleste og bedst forståede tidskontinuerlige stokastiske processer. Glem heller ikke, at du opnår mange flere stokastiske processer som funktioner i en (tidsændret) Brownian-bevægelse. I mange bøger om stokastisk calculus definerer du først Ito-integralet med hensyn til en Brownian-bevægelse, inden du udvider den til generel Under antagelse af, at log-retur følger en bruniansk bevægelse (med afdrift), kan du nemt udlede lukkede formløsninger til optionspriser. Brownsk bevægelse er desuden Markovian og en martingale, der repræsenterer nøgleegenskaber i økonomi.
Brownian motion blev først introduceret af Bachelier i 1900. Samuelson brugte derefter eksponentialet af en Brownian motion (geometrisk Brownian motion) for at undgå negativitet for en aktiekursmodel. Baseret på dette arbejde fandt Black og Scholes deres berømte formel i 1973.
Kommentarer
- Dette ligner svaret, de vil have dig i et interview. Et advarselsord, da du har en ren matematisk baggrund. Alle disse modeller antage, at forskellige mængder er e Gaussisk normalt distribueret. Data fra det virkelige liv er ikke. Hvorvidt modellerne stadig er nyttige eller ej, er nøjagtigt det spørgsmål, de skulle ønske at ansætte en ren matematisk ph.d. til.
- Men hvorfor er en tilfældig gang en naturlig kandidat til modellering af aktiver? Svaret er et økonomisk spørgsmål snarere end et matematisk spørgsmål (hvis afkastet kunne være " forudsagt ", ville handel ske sådan, at afkast ville ikke længere være " forudsigelig ")
Svar
Fysiske objekter bevæger sig efter enkle glatte kurver, der kan repræsenteres af polynomier med lav ordre: en lige linje, en parabel, en ellipse osv.
Priserne på de finansielle markeder bevæger sig på en helt anden måde, som man kan se ved at se på en hvilken som helst graf over aktiekurser, renter osv. i en avis: der er konstante, uregelmæssige udsving, nogle gange i den ene retning, undertiden i den anden, nogle gange små og nogle gange store, der giver kurven et groft, tilfældigt udseende. Brownian Motion er en passende model til denne form for kurve.