Hvorfor er det elektriske felt nul, hvor potentielle overflader krydser hinanden?

Lad os først og fremmest rense luften med et simpelt eksempel, der viser den ønskede adfærd (og som i det væsentlige er isomorf i de fleste ikke-private tilfælde). især følgende påstand:

Potentialet $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ er et perfekt gyldigt elektrostatisk potentiale, og det kan meget naturligt ses som at have to potentialudligningsoverflader ($ yz $ -planet og $ xz $ -planet), der krydser hinanden langs en linje.

Dette eksempel kan være skurrende til den sædvanlige intuition, at ækvipotentiale overflader, som feltlinjer, aldrig krydser, men det tjekker perfekt ud – og det er i overensstemmelse med din professors påstand om, at det elektriske felt $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes ved skæringspunktet $ x = y = 0 $.

(For dem der gerne vil udvide konvolutten lidt længere: dette generaliserer naturligvis til skæringspunktet for et vilkårligt antal $ n $ af ækvipotentiale overflader langs en linje ved blot at skifte til $ n $ -polær potentiale $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ højre] \ mathclose {} $.)

Så hvad sker der, eller hvordan leverer vi noget ægte matematisk kød til udsagnet?

Nå, lad os starte med at definere ækvipotentiale overflader: en overflade $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ til \ mathbb R ^ 3 $ er en ækvipotential af det elektrostatiske potentiale $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ er konstant for alle $ (u, v) \ i D $. Desuden ved vi, at på ethvert tidspunkt $ \ mathbf r = S (u, v) $ på overfladen, det elektriske felt $ \ mathbf E = – \ nabla V $ har et nul indre produkt med en hvilken som helst vektor, der ligger inden i tangentplanet $ TS_ \ mathbf r $ til overflade ved $ \ mathbf r $ som en konsekvens af at tage kurver $ \ gamma: (a, b) \ til D $ og differentiere konstante forholdet $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ med respekt til parameteren $ t $, hvilket giver $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ for alle vektorer $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Da dette plan er todimensionalt og rummet er tredimensionelt, slutter vi, at der er en unik normal retning $ \ hat {\ mathbf n} $ til overfladen, og at $ \ mathbf E $ skal være parallel med den normale (eller muligvis nul), men kerneresultatet er, at $ \ mathbf E $ “s-komponent i en hvilken som helst retning inde i tangentplanet skal forsvinde.

OK, så lad os nu gå op i ante og overveje to forskellige overflader $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, som på et eller andet tidspunkt skærer $ \ mathbf r_0 $, og lad os også bestemme, at begge overflader er ækvipotentialer på $ V $.

Lige uden for flagermus kan vi udlede, at potentialet på alle punkter på begge overflader skal svare til den samme konstant, fordi $ V = V (\ mathbf r) $ er en (enkeltværdi ) funktion. Hvis den er lig med $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ for $ \ mathbf r_0 \ i S_1 $, skal den være lig med $ V_1 $ i hele $ S_1 $ – men $ \ mathbf r_0 $ er også i $ S_2 $, så $ V $ skal også være lig med $ V_1 $ i hele $ S_2 $. Dette er sandsynligvis, hvad din professor talte om i påstanden om, at du rapporterer som

Han hævdede også, at to ækvivalente overflader ikke kan krydse hinanden, da det ville give to forskellige potentialer på samme punkt,

men som sandsynligvis var meget tættere på

to ækvipotentialflader med et andet potentiale kan ikke krydse hinanden, da det ville give to forskellige potentialer på samme punkt.

Det er den nemme bit.Lad os sige noget ikke-trivielt: hvad med det elektriske felt i krydset?

Lad os dog starte med den lette sag først og antage, at ækvipotentialer har en passende dimension-en krydsning langs en kurve, hvilket indebærer, at tangentplanerne til de to overflader på et hvilket som helst punkt $ \ mathbf r $ langs krydset krydser hinanden på en linje, og hver af dem vil have en separat, lineær uafhængig retning, der ikke hører til den anden plan.

Dette lader os derefter bringe de værktøjer, vi udviklede tidligere, ind: vi ved, at $ \ mathbf E $ skal have forsvindende indre produkt med en hvilken som helst vektor, der ligger inde i begge tangentplaner, bortset fra at vi nu har tre lineært uafhængige vektorer $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ og $ \ mathbf e_3 $ at forsvinde mod, en langs krydset og en anden uafhængig vektor langs hvert plan. Den eneste måde, hvorpå enhver vektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ kan tilfredsstille $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ for lineært uafhængig $ \ mathbf e_i, $ er for $ \ mathbf v = 0 $ . Det er her din professors påstand kommer fra.

Lad os endelig tage fat på det lidt mere patologiske tilfælde, du nævner i slutningen af dit spørgsmål:

Hvorfor kan der ikke bare være to forskellige potentiale med samme potentiale, som […] rører ved?

Dette er ikke et dårligt spørgsmål, og svaret er i det væsentlige, at dette kan ske, men de omstændigheder, hvor det sker, er så patologiske, at vi for det meste er klar til at smide den baby ud med Når vi siger “to overflader krydser hinanden”, mener vi normalt, at de har en dimension-en krydsning langs en kurve. Hvis vi vil lade overfladerne røre ved eller have en lignende patologisk adfærd, skal vi eksplicit bemærke, at . (Matematikere er lidt mere forsigtige med deres sprog, men så igen gør fysikere mere interessante ting, og du kan ikke spilde tid på at rode med mindre detaljer.)

Alligevel, hvis du vil have et potentiale med to potentiale, der tryk på et enkelt punkt, det reneste eksempel, jeg kan tænke på, er $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ hvor potentialet $ V (\ mathbf r) = 0 $ er to cirkulære paraboloider, der rører ved deres top. Dette er ikke en løsning af Laplace-ligningen, hvilket betyder, at det ikke er et rimeligt potentiale i frit rum, men du kan bare indstille ladetætheden $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, og du får en rimelig fordeling. Hvis du vil spare på det, er det bedre at vælge $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ for hvilken ladningstætheden $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ er yderst rimelig, og som bytter en af paraboloiderne ud for $ z = 0 $ -planet.

Nu, for begge disse eksempler, skal du har et ret højt ordens polynom som dit potentiale, og det elektriske felt forsvinder ved krydspunktet for ækvipotentialet. Hvis du vil have noget med at røre ækvipotentialer og et ikke-nul elektrisk felt der, er det tætteste, jeg kommer på med på en ren måde, at kombinere de to eksempler ovenfor og give tre ækvipotentialer (de to paraboloider og $ xy $ -planet) møde på et punkt, $$ V (x, y, z) = \ venstre (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ højre) z, $$ med en $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ afhængighed langs $ z $ aksen, og derefter faktorere det ved at tage en terningrod, hvilket giver $$ V (x, y, z) = \ venstre [\ venstre (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ som har de samme rørende ækvipotentialer som ovenfor, men nu har det et konstant elektrisk felt $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ på alle point $ (0,0, z) $ med $ z \ neq 0 $. Desværre kan du dog “t virkelig konkludere, at det elektriske felt der ikke er nul, fordi grænserne til $ \ mathbf r \ to0 $ langs $ z $ aksen og langs $ xy $ planet ikke “t pendler – og faktisk divergerer $ \ nabla V $ overalt på $ xy $ -planet.

Jeg tegner her det ækvivalente landskab, når det skæres langs $ xz $ -planet for at give en idé af den type patologiske struktur, som du vil blive skubbet til ved at overveje denne type sager:

^{Kilde: Import [“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

Den skarpe klippe vender mod potentialet i 3D-visningen på $ V (x, 0, z) $ er klare markører for det faktum, at det elektriske felt er uendeligt overalt ved $ V = 0 $ ækvipotentialer, med den enlige undtagelse af oprindelsen, når den kontaktes fra $ z $ aksen. / p>

Alligevel er det den slags pris, du skal betale for at have De ækvipotentialer, der berører uden, at der kræves et nul elektrisk felt ved berøringspunktet for at holde alt pænt og glat. Generelt kaster du bare disse sager ud ved dekret ved at kræve et regelmæssigt kryds.

Elektrisk felt er defineret som (negativ) gradient af elektrostatisk potentiale.Der kan derfor ikke være noget elektrisk felt langs linjen / overfladen defineret af en ækvipotential.

Det betyder, at det eneste elektriske felt, der er tilladt på et punkt på en ækvipotential, skal være vinkelret på ækvipotential overflade, ellers ville den have en ikke-nul komponent langs overfladen.

Hvis der er to forskellige krydsende ækvipotentialer, er det eneste gyldige elektriske felt nul, da ethvert felt, der ikke er nul, vil have et ikke -nul komponent langs mindst en af ækvipotentialerne.

En undtagelse ser ud til at være, hvor ækvipotentialfladerne er parallelle ved deres kryds.

Kommentarer

• Jeg ‘ har forsøgt, og indtil videre mislykkedes, at producere et potentiale med ækvipotentialer, der rører ved et enkelt punkt med parallelle normaler, og som alligevel producerer en ikke-nul elektrisk felt der. Kan du se igennem den ene?
• @ Rob ridse det, jeg fandt et eksempel – men det ‘ er ikke ligefrem den enkleste funktion I ‘ har nogensinde set. Jeg formoder, at man kan vise, at berøring af ækvipotentialer med et ikke-nul elektrisk felt kræver den slags patologiske adfærd, men jeg ‘ ser ikke helt, hvordan du ‘ d bevise, at (eller faktisk hvorfor du ‘ plejer nok til at bruge meget tid på at prøve det).

To ækvipotentialflader kan ikke krydse hinanden. Retningen af det elektriske felt på ethvert punkt på en ækvipotential overflade er vinkelret på overflade på det punkt. Hvis to ækvivalente overflader skulle krydse hinanden, ville det elektriske felt ved skæringspunkterne være vinkelret på både den første overflade og anden overflade på disse punkter … med andre ord, hvis to ækvipotentiale overflader kunne krydse hinanden, du ville have det elektriske felt, der peger i to retninger på hvert skæringspunkt … den ene peger vinkelret på den første overflade, den anden peger vinkelret på den anden overflade. Dette er umuligt.

Kommentarer

• Medmindre feltet er nul ved skæringspunktet?
• Det potentielle $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ er et fuldstændigt gyldigt elektrostatisk potentiale, og det kan meget naturligt ses som at have to ækvipotentiale overflader ($ yz $ -planet og $ xz $ -planet), der krydser hinanden langs en linje.
• Meget interessant … Jeg ‘ skal trække Griffith ‘ s bog ud over weekenden og gøre en smule gennemgang … Haven ‘ t studerede elektrostatik siden jeg dimitterede i maj.

For hvis de krydser hinanden, er retningen af det elektriske felt tvetydig, så det er ikke muligt.

Kommentarer

• utvetydig ? Hvorfor er det et problem?
• Ja, det er tvetydigt ikke entydigt som dit svar siger.

Han hævdede også, at to potentiale ikke kan krydse hinanden, da det ville give to forskellige potentialer på samme tid punkt.

Overvej det elektriske felt og potentiale for en elektrisk dipol

Billedkredit

Ingen af de potentialudligningsflader krydser hinanden. Overfladenes tæthed er også størst langs linjen mellem og gennem de to ladninger.

Overvej nu disse potentiale i potentialet for en ideel elektrisk dipol.

Billedkredit

For konstant dipolmoment skal opladningen (plus / minus) øges, når adskillelsesafstanden falder, tætheden af de potentialudligningsoverflader langs linjen gennem overfladen skal afvige i grænsen; det ser ud til, at alle de ækvipotentiale overflader skal krydse hinanden ved placeringen af den ideelle dipol, og det elektriske felt er ental der.

Kommentarer

• Jeg forstår dit punkt, da kuglerne ikke er potentialudjævne, er det ikke indlysende, at der er uendeligt mange potentiale i potentialet, der passerer gennem kontaktpunktet … Jeg ved ikke ….
• @ValterMoretti, OK, så to ikke-ledende kugler, hver med fast, ensartet ladningstæthed af det modsatte tegn og identiske radier og symmetrisk placeret over og under xy-planet langs z-aksen, men ikke rører ved planet. Dette lugter som en metode til billedtypeproblem, og i så fald er x-y-planet nulpotentialefladen?Derefter omgiver de positive (negative) potentialudligningsflader den positivt (negativt) ladede sfære, og når kuglerne bringes tættere, bliver disse overflader ‘ presset ‘ sammen langs linjen gennem midten af kuglerne, der endelig berører hinanden?
• Nå, nu tror jeg, at ækvipotentiale overflader, der adskiller sig fra adskillelsesplanet, kommer ind i (ikke-ledende) kugler, og mit eksempel gør ikke arbejde: når kugler berører hinanden, er der kun en potentiale med potentiale gennem kontaktpunktet. Så mit eksempel fungerer ikke.
• @ValterMoretti, jeg spekulerede bare på, om potentialet kunne komme ind i sfærerne, og jeg begyndte at se igennem Jackson, da din kommentar kom ind.
• Ja den ækvipotentiale overflader skal komme ind i sfærerne: tag ethvert punkt inde i venstre sfære, der forsvinder det elektriske felt på grund af selve sfæren. Det elektriske felt inde i det venstre kuglefelt skyldes derfor fuldstændigt den højre kugle, og det er det samme som for en punktladning centreret uden for den venstre kugle. Det er tydeligt, at de ækvipotentiale overflader kommer ind i venstre sfærer på denne måde. Jeg tænkte her på overfladisk ladede kugler! Hvis opladningen er i lydstyrken? Jeg ved det ikke