Jeg lavede dette spørgsmål for at beregne det elektriske felt på et bestemt punkt i en sfære (længde $ r $ væk fra centrum), hvor ladetætheden er givet ved en ligning. Da jeg tjekkede løsningen på dette spørgsmål, sagde det at beregne elementarladning $ dQ $ for kuglens elementære volumen $ dV $ ved hjælp af ligning for ladningstæthed. Det siger, at lydstyrken mellem to koncentriske skaller inden for sfæren, på afstande $ r $ og $ r + dr $ er
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Nu, hvorfor er dette lig med $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Kommentarer
- Den heuristik, der er anvendt i denne beregning er, at , da $ dr $ er meget lille, kvadratisk eller kuberet, gør det det meget mindre. Derfor er udtrykkene $ 3rdr ^ 2 $ og $ dr ^ 3 $ ubetydelige og kan bare droppes.
- Dette har absolut intet at gøre med fysik! Spørg på en matematik q & et websted. Faktisk @sourisse gav dig det rigtige svar.
- Jeg synes, det er ret relevant for fysik faktisk, det er en tilnærmelse / metode / værktøj, der bruges en masse i fysik, f.eks. elektrostatik, tyngdekraft, solid state osv. osv. osv.
- BTW kan du også tænke på $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ som volumen af en sfærisk skal med radius $ r $ og tykkelse $ dr $ – bare overflade område ganget med tykkelse
- @FraSchelle Jeg tror, at hvis du spurgte dette om matematik.stackexchange, ville du blive ledt her …
Svar
Sourisses kommentar svarer på dit spørgsmål, men bare for ordens skyld vil jeg udvide det her som et Wiki-svar. Bemærk, at dette er et fysikers svar – enhver tilstedeværende matematikere ville være kloge til at afværge deres blik nu.
Husk, at når vi siger, at volumenelementet er:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Vi taler om grænsen, hvor $ dr \ rightarrow 0 $. Hvis $ dr $ er ekstremt lille, så er $ dr ^ 2 $ er ekstremt ekstrem lille og $ dr ^ 3 $ er ekstremt ekstremt lille. Så i grænsen på $ dr \ rightarrow 0 $ kan vi simpelthen ignorere de højere kræfter, og din fulde ligning bliver til ligning (1).
Kommentarer
- Sir dette er den samme ting, som blev lært os, men er der nogen måde at bruge udtrykkene $ (dr) ^ 2 $ eller højere kraft i beregning eller integration? Mange tak!
Svar
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differentiering med hensyn til $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Kommentarer
- lige på! dette er den slags elem entary " trick " glemt alt for ofte. Skam, du kan ' ikke få $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ faktor fra $ 4 \ pi $ på denne måde.