Hvorfor er tyngdepotentialenergi negativ, og hvad betyder det?

Om negative energier: de sætter ikke noget problem:

I denne sammenhæng har kun energiforskelle betydning. Negativ energi vises, fordi når du “har foretaget integrationen, har du indstillet et punkt, hvor du indstiller din energi til 0. I dette tilfælde har du valgt at $ PE_1 = 0 $ for $ r = \ infty $. Hvis du har indstillet $ PE_1 = 1000 $ til $ r = \ infty $, var energien positiv for nogle r .

Men minustegnet er vigtigt, da det fortæller dig, at testpartiklen mister potentiel energi, når flytter til $ r = 0 $, dette er sandt, fordi det accelererer og forårsager en stigning i $ KE $:

lad os beregne $ \ Delta PE_1 $ for en partikel, der bevæger sig i retning af $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ og $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

som forventet: vi mister $ PE $ og vinder $ KE $.

Andet punkt: ja, du har ret. Det er dog kun sandt, hvis de er punktpartikler: har de normalt en bestemt radius, kolliderer de, når $ r = r_1 + r_2 $, hvilket forårsager en elastisk eller uelastisk kollision.

Tredje kugle : du har ret med $ PE_2 = mgh $, men igen vælger du en given henvisning: du antager $ PE_2 = 0 $ for $ y = 0 $, hvilket i den forrige notation betyder, at du indstillede $ PE_1 = 0 $ for $ r = r_ {earth} $.

Det mest i vigtig forskel nu er, at du siger, at en stigning i h bevæger sig længere i r (hvis du er højere, er du længere væk fra jordens centrum).

Ved at gøre analogien til det forrige problem, forestil dig at du vil hente $ \ Delta PE_2 $. I dette tilfælde begynder du ved $ h_i = 10 $, og du vil flytte til $ h_f = 1 $ (bevæger sig i retning til Jordens centrum, som $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Som forventet mister vi $ PE, fordi vi falder $ og vinder $ KE $, det samme resultat har $ PE_1 $

Fjerde punkt: de repræsenterer begge det samme. Forskellen er, at $ gh $ er den første term i Taylor-serien af udvidelsen af $ PE_1 $ nær $ r = r_ {Earth} $. Som øvelse skal du prøve at udvide $ PE_1 (r) $ i en taylor-serie og vise, at lineært udtryk er:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

De beregner numerisk $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (husk at $ m = m_ {earth} $). Hvis du ikke allerede har lavet dette, antager du at du vil blive overrasket.

Så fra hvad jeg forstået, er din logik helt korrekt bortset fra to nøglepunkter:

• energi defineres bortset fra en konstant værdi.

• i th e $ PE_1 $, stigning r betyder fald $ 1 / r $, hvilket betyder stigning $ PE_2 = -Gm / r $. I $ PE_2 $, stigning h betyder stigning $ PE_2 = mgh $.

Kommentarer

• Ah, jeg kan se, tricket er, at det ‘ en relativ værdi – Jeg tænker vedvarende på energi som noget absolut (selvom jeg gætter på, at selv kinetisk energi ændrer sig afhængigt af din referenceramme) . Jeg formoder, at vi ‘ d kan lide at indstille PE = 0, når r = 0, men desværre ville det ifølge ligningen tage uendelig energi at trække partiklerne en del! Så jeg antager, at PE = 0, når r = ∞ er det eneste andet rimelige valg. Det hele giver mening nu – tak!
• Formlen ændres også inden i en ikke-punktmasse, så grænsen $ r \ til 0 $ er endelig.

Jeg vil først (1) opsummere forskellene mellem definitionerne af PE1 og PE2 og derefter vil jeg (2) sidestille de to.

(1) For det første som dette svar på “Hvorfor er tyngdekraftenergi negativ?” siger , PE1 definerer den potentielle energi af en krop af masse m i tyngdefeltet for en masse M som den energi (arbejde), der kræves for at tage den fra sin nuværende position $ r $ til uendelig. PE1 antager, at $ r = \ infty $ er $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2 er derimod defineret som det negative af arbejde udført af tyngdekraften for at løfte en masse af kroppen m fra overfladen af en planet til en højde h over planeten.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 har en anden referenceramme end PE1 , da det antager $ PE = 0 $ ved $ r = R $, eller på overfladen af planeten. Også, og meget vigtigt, bruges PE2 kun, når et objekt er tæt på overfladen af en planet , når $ h < < < R $ (R er radius på planeten) og g kan antages at være konstant:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, nu ved at sidestille de to. Selvom referencerammerne for PE1 og PE2 er forskellige, bør $ | \ Delta PE | $ mellem to punkter helt sikkert være den samme. Lad os f.eks. Sige, at de to punkter er planetens overflade og højde h over planeten.

PE1 siger $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 siger $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

og fordi $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

Og således repræsenterer PE1 og PE2 begge den samme form for energi, men vi skal huske referencerammerne og brugsbetingelserne, når vi bruger dem.

Håber det hjælper !! Fred.

Det skyldes, at tyngdekraften er attraktiv, og arbejdet udføres af selve tyngdekraften. Når systemet selv fungerer, er energi tages som negativ, og når arbejde udføres af et eksternt agentur med systemenergi, tages som positivt.

Jeg tror, det er bare en præference.

Vi kunne se gravitationspotentialenergi som positiv , der repræsenterer den energi “investeret” i vores position i forhold til et massivt objekt. Vi kan “genvinde” den energi (øge kinetisk energi) ved at bevæge os tættere på objektet, på hvilket tidspunkt vi har sænket den mængde energi, vi kunne få ved at flytte yderligere.Så potentiel energi falder, når vi bevæger os tættere (nærmer os nul energi på nul afstand), stiger, når vi bevæger os længere væk, og summen af PE og KE er konstant.

Men hvilken værdi er konstanten? Når vi er meget langt væk fra den massive genstand, skal vi have meget meget potentiel energi. Men selv når vi “er ganske tæt på den massive genstand, er vi” meget langt væk fra alle andre massive genstande i universet og bør derfor have meget meget store gravitationspotentiale energier i forhold til alle disse objekter. Vi kan omtrent beregne en værdi for KE + PE ved kun at overveje de mest relevante objekter (de nærmeste og / eller største), men vores omtrentlige værdi vokser bare og vokser og vokser, når vi prøver at få mere nøjagtige tilnærmelser ved at inkludere mindre og mere -afvigende objekter i vores kategori af “relevante” objekter. Så vores KE + PE-konstant er en umulig stor værdi, som vi aldrig rigtig kan beregne eller estimere som en bestemt værdi. På nogle måder betyder det ikke noget at vi aldrig kan kræve en værdi, da forskelle af energier er alt, hvad vi virkelig har brug for at arbejde med, og vi kan stadig beregne dem (ved at antage, at vores PE i forhold til alt andet i universet kun har ændret sig ubetydeligt, når vi bevæger os nær det massive objekt, vi overvejer). Men det virker utilfredsstillende.

På den anden side i stedet for af at betragte PE som en positiv mængde energi “investeret” i vores position (energi, vi “allerede har” brugt “, hvis vi bevæger os væk fra det massive objekt, som vi kunne få ved at komme tættere på), kan vi i stedet betragte det som et negativt mængde energi, som vi “skylder” på grund af vores position (energi, vi har fået “gratis”, hvis vi bevæger os tættere på objektet fra uendeligheden, som vi bliver nødt til at “bruge” for at flygte til uendelig igen).

Alle beregninger af energi forskelle fungerer alligevel det samme. Men nu går vores PE i forhold til et objekt til nul, da vi kommer meget meget væk fra genstanden. Dette betyder, at når vi kan beregne en tilnærmelse af vores KE + PE-konstant ved kun at overveje de mest relevante objekter, og når vi prøver at få bedre tilnærmelser ved at inkludere mindre og fjernere objekter i vores beregning, bliver virkningerne af disse ekstra objekter tættere på og tættere på nul. Så vi kommer med et faktisk antal, som vi med rette kan sige er værdien for vores KE + PE-konstant.

det faktum, at gravitationspotentialenergien som med alle potentielle energier af attarktiske kræfter er negativ, er baseret på det faktum, at vi vil antage, at når partiklerne er uendelige i forhold til hinanden og i ro, har systemet nul total energi. Forestil dig, at hvis dette ikke var tilfældet, og et system med to partikler ved uendelig adskillelse i hvile ville blive taget for at have en nettoenergi, ville der opstå en vis forvirring med hensyn til energi forbundet med hvilemassen. Systemets samlede energi ville så ikke være $ E = Mc.c $ hvor $ M $ er summen af to masser. Hvorfra ville denne ekstra energi komme fra?

Det er forkert at betragte tyngdepotentialenergi som negativ – tho fælles.

Den store fejl er at tildele PE ved uendelig = 0. Dette er helt klart forkert – P.E. er tydeligt 0 ved 0 adskillelse og stor ved store adskillelser. P.E. af objekter langt væk fra hinanden skulle være summen af P.E. for det første siger 100 “adskillelse plus P.E. for det andet 100” af adskillelse plus — P.E. for hver 100 “indtil hele adskillelsen blev taget højde for. (Jeg vil udtrykke dette som en integral, efter at jeg har børstet min beregning op.) Dvs., PE INDFATTER, når adskillelsen stiger – startende ved 0 uden adskillelse.

Mange mennesker laver en stor fejl ved at betragte tyngdepotentialenergi som negativ!

Kommentarer

• Med feltet fra en punktkilde, der adlyder det omvendte -kvadratisk lov, kraften er proportional med $ r ^ {- 2} $ og potentialet (og den potentielle energi) er derfor proportional med $ r ^ {- 1} $. Den lineære $ P = mgh $ er bare en tilnærmelse for små ændringer i afstanden.
• @ HDE226868 Mente du at kommentere et andet svar?
• @diracula Nej – jeg skulle have gjort mig klarere. Jeg viste matematisk, hvorfor potentialet energi forsvinder ved uendelig snarere end at vokse til uendelig; da $ r \ til \ infty $, $ r ^ {- 1} $ går til $ 0 $.