Til Xi s første punkt: Når du taler om $ \ sigma $ -algebras, du spørger om målbare sæt, så desværre skal ethvert svar fokusere på måle-teori. Jeg vil dog forsøge at opbygge det forsigtigt.

En teori om sandsynlighed, der tillader alle delmængder af utallige sæt, bryder matematik

Overvej dette eksempel. Antag at du har en enheds kvadrat i $ \ mathbb {R} ^ 2 $ , og du er interesseret i sandsynligheden for tilfældigt at vælge et punkt, der er medlem af et specifikt sæt i enhedsfirkanten . Under mange omstændigheder kan dette let besvares baseret på en sammenligning af områder i de forskellige sæt. For eksempel kan vi tegne nogle cirkler, måle deres områder og derefter tage sandsynligheden som den brøkdel af firkanten, der falder i cirklen. Meget simpelt.

Men hvad hvis området for interessesættet ikke er veldefineret?

Hvis området ikke er veldefineret, kan vi begrunde to forskellige, men helt gyldige (i en vis forstand) konklusioner om, hvad området er. Så vi kunne have $ P (A) = 1 $ på den ene side og $ P (A) = 0 $ på den anden side, hvilket indebærer $ 0 = 1 $ . Dette bryder al matematik ud over reparation. Du kan nu bevise $ 5 < 0 $ og en række andre uhyggelige ting. Dette er tydeligvis ikke for nyttigt.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras er den patch, der retter matematik

Hvad er en $ \ sigma $ -algebra, netop? Det er faktisk ikke så skræmmende. Det er bare en definition af hvilke sæt, der kan betragtes som begivenheder. Elementer, der ikke er i $ \ mathscr {F} $ , har simpelthen ikke noget defineret sandsynlighedsmål. Grundlæggende er $ \ sigma $ -algebras er ” patch “, der lader os undgå nogle patologisk adfærd i matematik, nemlig ikke-målbare sæt.

De tre krav til et $ \ sigma $ -felt kan betragtes som konsekvenser af hvad vi vil gerne gøre med sandsynlighed: Et $ \ sigma $ -felt er et sæt, der har tre egenskaber:

1. Lukning under tællelig fagforeninger.
2. Lukning under tællbare kryds.
3. Lukning under komplement.

De tællbare fagforeninger og komponenter, der kan tælles, er direkte konsekvenser af ikke- målbart sæt problem. Lukning under komplement er en konsekvens af Kolmogorov aksiomerne: hvis $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ burde være $ 1/3 $ . Men uden (3) kan det ske, at $ P (A ^ c) $ er udefineret. Det ville være underligt. Lukning under komplement og Kolmogorov-aksiomerne lad os sige ting som $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Endelig overvejer vi begivenheder i relation til $ \ Omega $ , så vi kræver yderligere, at $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Gode nyheder: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras er kun strengt nødvendige for utallige sæt

Men! Der er også gode nyheder her. Eller i det mindste en måde at afslutte problemet på. Vi har kun brug for $ \ sigma $ -algebras, hvis vi arbejder i et sæt med utallig kardinalitet. Hvis vi begrænser os til tællbare sæt, kan vi tage $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ strømforsyningen til $ \ Omega $ , og vi har ikke nogen af disse problemer, fordi der for tællelig $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ består kun af målbare sæt. (Dette er hentydet til i Xi” s “anden kommentar.) Du vil bemærke, at nogle lærebøger rent faktisk vil begå en subtil håndflugt her , og overvej kun tællesæt, når vi diskuterer sandsynlighedsrum.

Derudover i geometriske problemer i $ \ mathbb {R} ^ n $ er det ” s helt tilstrækkelig til kun at overveje $ \ sigma $ -algebras sammensat af sæt, for hvilke $ \ mathcal {L} ^ n $ -mål er defineret. For at grunde dette noget mere fast, $ \ mathcal {L} ^ n $ for $ n = 1,2 , 3 $ svarer til de sædvanlige forestillinger om længde, areal og volumen.Så hvad jeg siger i det foregående eksempel er, at sættet skal have et veldefineret område for at det skal have en geometrisk sandsynlighed. Og årsagen er denne: hvis vi indrømmer ikke-målbare sæt, så kan vi ender i situationer, hvor vi kan tildele sandsynlighed 1 til en begivenhed baseret på noget bevis, og sandsynlighed 0 til den samme begivenhed begivenhed baseret på et andet bevis.

Men ikke lad forbindelsen til utallige sæt forvirre dig! En almindelig misforståelse om, at $ \ sigma $ -algebras er tællbare sæt. Faktisk kan de være tællelige eller utallige. Overvej denne illustration: Som før har vi en enhedsplads. Definer $$ \ mathscr {F} = \ text {Alle undersæt af enhedens firkant med defineret $ \ mathcal {L} ^ 2 $ måle}. $$ Du kan tegne en firkant $ B $ med sidelængde $ s $ for alle $ s \ in (0,1) $ og med et hjørne ved $ (0,0) $ . Det skal være klart, at denne firkant er en delmængde af enhedens firkant. Desuden har alle disse firkanter defineret område, så disse firkanter er elementer i $ \ mathscr {F} $ . Men det skal også være klart, at der er utallige firkanter $ B $ : antallet af sådanne firkanter er utallige, og hver firkant har defineret Lebesgue-mål.

Så som en praktisk sag er det ofte nok at foretage den observation til at gøre den iagttagelse, at du kun betragter Lebesgue-målbare sæt for at komme fremad mod problemet af interesse.

Men vent, hvad “sa ikke-målbart sæt?

Jeg er bange for, at jeg kun kan kaste lidt lys over dette selv. Men Banach-Tarski paradoks (undertiden ” sol og ært ” paradoks) kan hjælpe os med noget:

Givet en solid kugle i et 3-dimensionelt rum, findes der en nedbrydning af kuglen til et endeligt antal uensartede delmængder, som derefter kan sættes sammen igen på en anden måde for at give to identiske kopier af den originale kugle. Faktisk involverer genmonteringsprocessen kun at flytte stykkerne rundt og rotere dem uden at ændre deres form. Imidlertid er selve stykkerne ikke ” faste stoffer ” i den sædvanlige forstand, men uendelige spredninger af punkter. Rekonstruktionen kan fungere med så få som fem stykker.

En stærkere form for sætningen indebærer, at givet ethvert to ” rimelig ” faste genstande (såsom en lille kugle og en kæmpe kugle), den ene kan samles igen i den anden. Dette angives ofte uformelt som ” en ærte kan hugges op og samles igen i solen ” og kaldes ” ærter og solparadoxet “. 1

Så hvis du arbejder med sandsynligheder i $ \ mathbb {R} ^ 3 $ og du bruger den geometriske sandsynlighed måling (forholdet mellem volumener), vil du beregne sandsynligheden for en begivenhed. Men du vil kæmpe for at definere denne sandsynlighed nøjagtigt, fordi du kan omarrangere sætene i dit rum for at ændre lydstyrken! Hvis sandsynligheden afhænger af lydstyrken, og du kan ændre lydstyrken på sættet til at være solens størrelse eller størrelsen på en ærte, så vil sandsynligheden også ændre sig. Så ingen begivenhed vil have en eneste sandsynlighed. Det er endnu værre, du kan omarrangere $ S \ i \ Omega $ sådan at lydstyrken på $ S $ har $ V (S) > V (\ Omega) $ , hvilket indebærer, at det geometriske sandsynlighedsmål måler en sandsynlighed $ P (S) > 1 $ , i åbenbar overtrædelse af Kolmogorov-aksiomerne, der kræver, at sandsynligheden har foranstaltning 1.

For at løse dette paradoks kunne man gøre en af fire indrømmelser:

1. lydstyrken på et sæt kan ændre sig, når det drejes.
2. Volumenet af foreningen af to adskilt sæt kan være forskellige fra summen af deres volumener.
3. Aksiomerne i Zermelo – Fraenkel sætteori med aksiomet af valg (ZFC) skal muligvis ændres.
4. Nogle sæt kan være mærket ” ikke-målelig “, og man skal kontrollere, om et sæt er ” målbar ” før vi taler om dens volumen.

Mulighed (1) hjælper ikke med at definere sandsynligheder, så den er ude. Option (2) overtræder det andet Kolmogorov-aksiom, så det er ude. Option (3) virker som en forfærdelig idé, fordi ZFC løser så mange flere problemer, end det skaber.Men valgmulighed (4) virker attraktiv: hvis vi udvikler en teori om, hvad der er og ikke kan måles, så vil vi have veldefinerede sandsynligheder i dette problem! Dette bringer os tilbage til måle teorien, og vores ven $ \ sigma $ -algebra.

Kommentarer

• Tak for dit svar. $ \ mathcal {L} $ står for målbar Lebesque? Jeg ‘ Ll +1 dit svar på tro, men jeg ‘ ville virkelig sætte pris på det, hvis du kunne få matematikniveauet ned ad flere hak. .. 🙂
• (+1) Gode point! Jeg vil også tilføje, at uden måling og $ \ sigma $ algebraer bliver konditionering og udledning af betingede fordelinger på utallige rum ret hårede, som vist ved Borel-Kolmogorov paradoks .
• @Xi ‘ en tak for venlige ord! Det betyder virkelig meget, kommer fra dig. Jeg var ikke bekendt med Borel-Kolmogorov-paradokset i skrivende stund, men jeg ‘ vil læse lidt og se, om jeg kan klare en nyttig tilføjelse af mine fund.
• @ Student001: Jeg tror, vi deler hår her. Du har ret i, at den generelle definition af ” foranstaltning ” (ethvert mål) gives ved hjælp af begrebet sigma-algebraer. Mit pointe er dog, at der ikke er noget ord eller begreb ” sigma-algebra ” i definitionen af Lebesgue-foranstaltningen, der er angivet i mit første link. Med andre ord kan man definere Lebesgue-mål efter mit første link, men så skal man vise, at det er et mål , og at ‘ er den hårde del. Jeg er enig i, at vi dog skal stoppe denne diskussion.
• Jeg nød virkelig at læse dit svar. Jeg ved ikke ‘ hvordan jeg skal takke dig, men du ‘ har afklaret tingene meget! Jeg ‘ har aldrig studeret reel analyse og heller ikke haft en ordentlig introduktion til matematik. Kom fra en elektroteknisk baggrund, der fokuserede meget på praktisk implementering. Du ‘ har skrevet det i så enkle vendinger, at en fyr som mig kunne forstå det. Jeg sætter stor pris på dit svar og den enkelhed, du ‘ har leveret. Også tak til @Xi ‘ an for hans fyldte kommentarer!

Den bagvedliggende idé (meget praktisk) er enkel. Antag at du er statistiker, der arbejder med en eller anden undersøgelse. Lad os antage, at undersøgelsen har nogle spørgsmål om alder, men bed kun respondenten om at identificere sin alder i nogle givne intervaller, som $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $. Lad os glemme de andre spørgsmål. Dette spørgeskema definerer et “event space”, dit $ (\ Omega, F) $. Sigma algebra $ F $ kodificerer al information, der kan fås fra spørgeskemaet, så for aldersspørgsmålet (og for nu ignorerer vi alle andre spørgsmål), vil det indeholde intervallet $ [18,25) $, men ikke andre intervaller ligesom $ [20,30) $, da vi fra de oplysninger, der er opnået i spørgeskemaet, ikke kan besvare spørgsmål som: tilhører respondenternes alder $ [20,30) $ eller ej? Mere generelt er et sæt en begivenhed (tilhører $ F $), hvis og kun hvis vi kan beslutte, om et prøvepunkt tilhører det sæt eller ej.

Lad os nu definere tilfældige variabler med værdier i det andet hændelsesrum, $ (\ Omega “, F”) $. Tag dette som et eksempel på den rigtige linje med den sædvanlige (Borel) sigma-algebra. Derefter er en (ikke-interessant) funktion, som ikke er en tilfældig variabel, $ f: $ “respondenternes alder er et primtal”, der koder dette som 1, hvis alderen er primær, 0 andet. Nej, $ f ^ {- 1} (1) $ hører ikke til $ F $, så $ f $ er ikke en tilfældig variabel. Årsagen er enkel, vi kan ikke beslutte ud fra oplysningerne i spørgeskemaet, om respondentens alder er førsteklasses eller ej! Nu kan du selv lave mere interessante eksempler.

Hvorfor kræver vi $ F $ for at være en sigma algebra? Lad os sige, at vi vil stille to spørgsmål med dataene, “er respondent nummer 3 18 år eller ældre”, “er respondent 3 en kvinde”. Lad spørgsmålene definere to begivenheder (sæt i $ F $) $ A $ og $ B $, sæt af prøvepunkter, der giver et “ja” svar på dette spørgsmål. Lad os nu stille sammenhængen mellem de to spørgsmål “er svar 3 en kvindelig o18 år eller ældre”. Nu er spørgsmålet repræsenteret af det indstillede kryds $ A \ cap B $. På en lignende måde er adskillelser repræsenteret af den indstillede sammenslutning $ A \ kop B $. Nu kræver det lukkethed for tællbare kryds og fagforeninger, at vi kan stille talbare sammenhæng eller adskillelser. Og negerer et spørgsmål er repræsenteret af det komplementære sæt. Det giver os en sigma-algebra.

Jeg så denne form for introduktion først i det meget gode bog af Peter Whittle “Sandsynlighed via forventning” (Springer).

REDIGER

Forsøger at besvare whubers spørgsmål i en kommentar: “Jeg blev dog lidt overrasket i slutningen, da jeg stødte på denne påstand:” der krævede lukning for tællende kryds og fagforeninger lader os spørge tællbare sammenhæng eller adskillelser. “Dette ser ud til at komme i centrum af spørgsmålet: hvorfor skulle nogen gerne konstruere en sådan uendeligt kompliceret begivenhed?” Nå, hvorfor? Begræns os nu til diskret sandsynlighed, lad os sige, for nemheds skyld, møntkastning. At smide mønten et endeligt antal gange, alle begivenheder, vi kan beskrive ved hjælp af mønten, kan udtrykkes via begivenheder af typen “head on throw $ i $ “,” haler på kast $ i $ og et endeligt antal “og” eller “eller”. Så i denne situation har vi ikke brug for $ \ sigma $ -algebras, algebras af sæt er nok. Så er der nogen situation i denne sammenhæng, hvor $ \ sigma $ -algebras opstår? I praksis, selvom vi kun kan kaste terningerne et begrænset antal gange, udvikler vi tilnærmelser til sandsynligheder via grænsesætninger, når $ n $, antallet af kast, vokser uden bundet. Så se på beviset for den centrale grænsesætning for denne sag, Laplace-de Moivre sætningen. Vi kan bevise via tilnærmelser ved kun at bruge algebraer, ingen $ \ sigma $ -algebra skal være nødvendig. Den svage lov af store tal kan bevises via Chebyshevs ulighed, og til det behøver vi kun beregne varians for endelige $ n $ tilfælde. Men for stærk lov om store tal , den begivenhed, vi viser, har sandsynlighed, kan man kun udtrykkes via et utalligt uendeligt antal “og” og “eller” “s, så for den stærke lov af store tal vi har brug for $ \ sigma $ -algebras.

Men har vi virkelig brug for den stærke lov i stort antal? Ifølge et svar her , måske ikke.

På en måde peger dette på en meget stor konceptuel forskel mellem den store og den svage lov af store tal: Den stærke lov er ikke direkte empirisk meningsfuld, da den handler om faktisk konvergens, som aldrig kan være empirisk verificeret. På den anden side handler den svage lov om, at tilnærmelsens kvalitet øges med $ n $, med numeriske grænser for begrænsede $ n $, så det er mere empirisk meningsfuldt.

Så al praktisk brug af diskret sandsynligheden kunne klare sig uden $ \ sigma $ -algebras. I den kontinuerlige sag er jeg ikke så sikker.

Kommentarer

• Jeg tror ikke ‘ tror ikke dette svar viser, hvorfor $ \ sigma $ -felter er nødvendig. Bekvemmeligheden ved at kunne svare $ P (A) \ i [20,30) $ er ikke ‘ t påkrævet af matematik. Noget puckishly kan man sige, at matematik ikke ‘ ikke bryr sig om, hvad ‘ er praktisk for statistikere. Faktisk ved vi, at $ P (A) \ i [20,30) \ le P (A) \ i [18,34) $, hvilket er veldefineret, så det ‘ er ikke engang klart, at dette eksempel illustrerer, hvad du vil have det til.
• Vi har ikke ‘ t brug for ” $ \ sigma $ ” del af ” $ \ sigma $ -algebra ” for noget af dette svar, Kjetil. Faktisk ser det ud til grundlæggende modellering og ræsonnement om sandsynlighed, at en fungerende statistiker kunne klare sig fint med indstillede algebraer, der kun er lukket under endelige , ikke tællelige, fagforeninger. Den hårde del af Antoni ‘ s spørgsmål vedrører, hvorfor vi har brug for lukning under utallige uendelige fagforeninger: dette er det punkt, hvor motivet bliver målteori i stedet for elementær kombinatorik. (Jeg kan se, at Aksakal også gjorde dette i et for nylig slettet svar.)
• @whuber: Du har selvfølgelig ret, men i mit svar prøver jeg at give en vis motivation for, hvorfor algebraer (eller $ \ sigma $ -algebras) kan formidle information. Det er en måde at forstå, hvorfor den alghebraiske struktur går ind i sandsynligheden og ikke noget andet. Selvfølgelig er der desuden de tekniske grunde, der er forklaret i svaret fra user777. Og selvfølgelig, hvis vi kunne gøre sandsynligheden på en enklere måde, ville alle være glade …
• Jeg synes, dit argument er sundt. Jeg blev dog lidt overrumplet i slutningen, da jeg stødte på denne påstand: ” der kræver lukning for tællbare kryds og fagforeninger, lader os spørge tællbare sammenhæng eller adskillelser. ” Dette ser ud til at være kernen i problemet: hvorfor skulle nogen gerne konstruere en så uendeligt kompliceret begivenhed? Et godt svar på det ville gøre resten af dit indlæg mere overbevisende.
• Re praktiske anvendelser: sandsynligheds- og måle-teorien, der anvendes i finansmatematikken (inklusive stokastiske differentialligninger, Ito-integraler, filtrering af algebraer, osv.) ser ud som om det ville være umuligt uden sigma-algebraer. (Jeg kan ‘ t opstemme redigeringerne, fordi jeg allerede har stemt om dit svar!)

Hvorfor har sandsynligheder brug for $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

Axiomerne i $ \ sigma $ -algebras er ret naturligt motiveret af sandsynligheden. Du vil være i stand til at måle alle Venn-diagramregioner, f.eks. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . For at citere fra dette mindeværdige svar :

Det første aksiom er, at $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Nå ved du ALTID sandsynligheden for, at der ikke sker noget ( $ 0 $ ) eller at der sker noget ( $ 1 $ ).

Det andet aksiom er lukket under komplement. Lad mig komme med et dumt eksempel. Overvej igen en møntklap med $ X = \ {H, T \} $ . Lad som jeg fortæller dig, at $ \ sigma $ algebra for denne flip er $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Det vil sige, jeg kender sandsynligheden for, at der ikke sker noget, at der sker noget og hoveder, men jeg kender ikke sandsynligheden for, at en haler. Du ville med rette kalde mig en idiot. For hvis du kender sandsynligheden for, at et hoveder er, skal du kender automatisk sandsynligheden for haler! Hvis du kender sandsynligheden for, at der sker noget, ved du sandsynligheden for, at det IKKE sker (komplementet)!

Det sidste aksiom er lukket under tællelige fagforeninger. Lad mig give dig et andet dumt eksempel. Overvej rullen til en matrice eller $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Hvad hvis jeg var for at fortælle dig at $ \ sigma $ algebra for dette er $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Det vil sige, jeg kender sandsynligheden for at rulle en $ 1 $ eller rulle en $ 2 $ , men jeg ved ikke sandsynligheden for at rulle en $ 1 $ eller en $ 2 $ . Igen vil du med rette kalde mig en idiot (jeg håber, at årsagen er klar). Hvad der sker, når sætene ikke er adskilt, og hvad der sker med utallige fagforeninger, er lidt mere rodet, men jeg håber, du kan prøve at tænke på nogle eksempler.

Hvorfor har du brug for at tælle i stedet for kun begrænset $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -tilpasning dog?

Nå, det er ikke en helt ren- cut case, men der er nogle solide grunde til .

Hvorfor har sandsynligheder brug for foranstaltninger?

På dette tidspunkt , har du allerede alle aksiomerne til et mål. Fra $ \ sigma $ -additivitet, ikke-negativitet, null tomt sæt og domænet for $ \ sigma $ -algebra. Du kan lige så godt kræve, at $ P $ er et mål. Målteori er allerede berettiget .

Folk bringer Vitalis sæt ind og Banach-Tarski for at forklare, hvorfor du har brug for målteori, men jeg tror, det er vildledende . Vitalis sæt går kun væk for (ikke-trivielle) tiltag, der er oversættelses-invariante, hvilket sandsynlighedsrum ikke kræver. Og Banach-Tarski kræver rotation-invarians. Analyse folk bryr sig om dem, men sandsynlighederne ikke .

dêtre af måle-teorien i sandsynlighedsteori er at samle behandlingen af diskrete og kontinuerlige autocampere, og desuden tillade RVer, der er blandede, og RVer, der simpelthen ikke er nogen.

Kommentarer

• Jeg tror, at dette svar kan være en god tilføjelse til denne tråd, hvis du genarbejder det lidt. Som det står, er det ‘ svært at følge, fordi store dele af det afhænger af links til andre kommentartråde. Jeg tror, at hvis du lagde det ud som en bund-til-top-forklaring på, hvordan målinger, endelig $ \ sigma $ -adgang og $ \ sigma $ -algebra passer sammen som nødvendige funktioner i sandsynlighedsrum, ville det være meget stærkere. Du ‘ er meget tæt, fordi du ‘ allerede har opdelt svaret i forskellige segmenter, men jeg tror, at segmenterne har brug for mere begrundelse og ræsonnement at være fuldt understøttet.

Jeg har altid forstået hele historien sådan:

Vi starter med et mellemrum, såsom den rigtige linje $ \ mathbb {R} $ . Vi vil gerne anvende vores mål på undersæt af dette rum , f.eks. ved at anvende Lebesgue-målingen, som måler længde. Et eksempel ville være at måle længden af delmængden $ [0, 0,5] \ cup [0,75, 1] $ . I dette eksempel er svaret simpelthen $ 0,5 + 0,25 = 0.75 $ , som vi kan få ret let. Vi begynder at spekulere på, om vi kan anvende Lebesgue-målingen på alle delmængder af den rigtige linje.

Desværre fungerer det ikke. Der er disse patologiske sæt, der simpelthen nedbryder matematik Hvis du anvender Lebesgue-målingen på disse sæt, får du inkonsekvente resultater. Et eksempel på et af disse patologiske sæt, også kendt som ikke-målbare sæt, fordi de bogstaveligt talt ikke kan måles, er Vitali-sætene.

For at undgå disse vanvittige sæt definerer vi målingen til kun at fungere for en mindre gruppe af undergrupper, kaldet målbare sæt. Dette er de sæt, der opfører sig konsekvent, når vi anvender foranstaltninger til dem. For at give os mulighed for at udføre operationer med disse sæt, f.eks. Ved at kombinere dem med fagforeninger eller tage deres komplement, kræver vi, at disse målbare sæt udgør en sigma-algebra indbyrdes. Ved at danne en sigma-algebra har vi dannet en slags sikker havn for vores foranstaltninger til at operere inden for, samtidig med at vi tillader os at foretage rimelige manipulationer for at få det, vi ønsker, såsom at tage fagforeninger og komplement. Dette er grunden til, at vi har brug for en sigma-algebra, så vi kunne tegne en region, som målingen kan arbejde inden for, samtidig med at vi undgår ikke-målbare sæt. Bemærk, at hvis det ikke var for disse patologiske delmængder, kan jeg let definere det mål, der skal fungere inden for det topologiske rums energisæt. Dog indeholder elsættet alle mulige ikke-målbare sæt, og det er derfor, vi har at udvælge de målbare og få dem til at danne en sigma-algebra indbyrdes.

Som du kan se, da sigma-algebraer bruges til at undgå ikke-målbare sæt, sæt der er endelige i størrelse ikke ” Vi har faktisk ikke brug for en sigma-algebra. Lad os sige, at du har at gøre med et prøveområde $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (dette kan være alt det mulige resultat af et tilfældigt tal genereret af en computer). Du kan se, det er stort set umuligt at komme med ikke-målbare sæt med sådan et prøveområde. Målingen (i dette tilfælde et sandsynlighedsmål) er veldefineret for den delmængde af $ \ Omega $ du kan tænke på. Men vi gør behov for at definere sigma-algebraer til større prøveområder, såsom den rigtige linje, så vi kan undgå patologiske undergrupper, der nedbryder vores mål. For at opnå konsistens i den teoretiske ramme om sandsynlighed kræver vi, at endelige prøveområder også danner sigma-algebraer, hvor kun sandsynlighedsmålene er defineret i hvilke. Sigma-algebraer i begrænsede prøveområder er en tekniskitet, mens sigma-algebraer i større prøveområder såsom den reelle linje er en nødvendighed .

En almindelig sigma-algebra, vi bruger til den virkelige linje er Borel sigma-algebra. Den dannes af alle mulige åbne sæt og tager derefter komplementerne og fagforeningerne indtil de tre betingelser for en sigma-algebra er opnået. Sig, hvis du “er ved at konstruere Borel sigma-algebra til $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , gør du det ved at angive alle mulige åbne sæt, f.eks. som $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ og så videre, og som du kan forestille dig, er der uendeligt mange muligheder, du kan nævne, og så tager du komplementerne og fagforeningerne, indtil der genereres en sigma-algebra. Som du kan forestille dig, er denne sigma-algebra en BEAST. Det er utroligt stort. vanvittige patologiske sæt, der nedbrød matematik. Disse vanvittige sæt er ikke i Borel sigma-algebra. Desuden er dette sæt omfattende nok til at omfatte næsten alle undergrupper, vi har brug for. Det er svært at tænke på et delmængde, der ikke er indeholdt i Borel sigma-algebra.

Og så er det historien om, hvorfor vi har brug for sigma-algebraer og Borel sigma-algebraer er en almindelig måde at implementere denne idé på.

Kommentarer

• ‘ +1 ‘ meget læselig. Men du ser ud til at modsige svaret af @Yatharth Agarwal, der siger ” Folk bringer Vitalis sæt og Banach-Tarski for at forklare, hvorfor du har brug for målteori, men jeg synes, det er vildledende. Vitalis sæt går kun væk for (ikke-trivielle) tiltag, der er oversættelses-invariante, hvilket sandsynlighedsrum ikke kræver. Og Banach-Tarski kræver rotation-invarians. Analyse folk bekymrer sig om dem, men sandsynlighederne gør det faktisk ikke. “. Måske har du nogle tanker om det?
• +1 (især for ” safe haven ” metaforen!) . @Stop I betragtning af at det svar, du henviser til, har lidt faktisk indhold – det udtrykker kun nogle få meninger – det ‘ er ikke værd at overveje eller diskutere meget, IMHO.