Overvej følgende enkle Atwood-maskine med en ideel remskive og en ideel streng
Ifølge min lærebog svarer spændingen på klemmen, der holder maskinen mod væggen, $ 2T $. Jeg forstår ikke, hvorfor det er. Spændingen i $ T $ i strengen er lig med størrelsen $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, forudsat at $ m_1 $ accelererer opad.
Også , er accelerationen af masser i en træ-maskine givet af
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Udskiftning af dette i , vi får spændingen lig med
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Så ifølge min lærebog skulle spændingen på remskive være:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Men er ikke alle disse kræfter interne kræfter? Hvis vi betragter hele træ-maskinen som systemet (ekskl. Klemmen), er de eneste kræfter, der virker på den, tyngdekraften, $ (m_1 + m_2) g $ og spændingen i klemmen, $ T_c $. Da systemet er i ro
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Har jeg ret, eller er der en fejl i mit argument?
Kommentarer
- Du fandt $ T $, og tekstbogen har den samme ligning ganget med en faktor 2. Der er ikke noget problem her.
- Tip: Systemet er ikke i ro.
- Nick ' s svar er komplet, men jeg kunne godt lide dit spørgsmål, fordi det viser indsatsen at forstå PRINCIP under beregninger. Så det er ' efter min mening vigtigt at forstå, hvorfor systemet ikke er ' t i hvile.
- Sandt, hver beregning bør ikke kun matematisk tjekke ud, men den fysiske fortolkning er også en meget meget vigtig del! Så på punktet med spørgsmålet sagde jeg ' og fortsæt det gode arbejde!
- Hvis det hjælper, kan du vise, at centrum af messen af de to masser $ m_ {1} $ og $ m_ {2} $ accelererer nedad, og selvom det ser ud til, at understøttelsen holder hjulet stabilt, lader det faktisk hjulet / massesystemet accelereres nedad på grund af dette.
Svar
Dit resultat holder, når de to masser er ens, i så fald $ a = 0 $ og du ville have det:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Eller:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
I tilfælde af at masserne ikke er ens, accelererer begge masser, hvilket igen anvender en lavere kraft på remskivesystemet (og på klemmen).
Dette kan let kontrolleres med din formel for spændingen!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Hvis jeg skulle definere den samlede masse som: $ M = m_1 + m_2 $, så kunne jeg udtrykke $ T $ som:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Du kan kontrollere, om du vil tegne $ T $ som en funktion af $ m_1 $, at det når et maksimum i $ m_1 = M / 2 $, hvilket betyder, at spændingen bliver maksimal, hvis de to masser er ens, bliver spændingen derefter:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
eller som du tænkte:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
For fuldstændighedens plot af spændingen i funktion af massen $ m_1 $ i form af dimensionsløse størrelser.
På dette plot kan du let se, at hvis $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ eller $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, at der ikke er nogen spænding, da en af de to masser ville være fri falder. I de mellemliggende tilfælde ville der være spænding, da der er et “” træk “” på begge sider af strengen, jo mere masserne $ m_1 $ og $ m_2 $ er ens, jo mindre bevægelse er der, og jo mere træk er der på strengen.
Kommentarer
- Så hvis mit argument var forkert, kan det kun betyde, at systemet ikke er i ro. Men hvordan kan du sige, at systemet ikke er i ro?
- I ovenstående tilfælde har vi en friktionsfri remskive med en masseløs streng. Den eneste måde, hvorpå systemet kan være i ro, er når de to masser er ens (i din beregning er ' det eneste tilfælde, hvor accelerationen er lig med nul). Når dette er tilfældet, trækker begge masser med lige stor kraft i begge ender af strengen. Bemærk, at dette ikke ' t nødvendigvis indebærer, at systemet er i ro, det kan også bevæge sig med en konstant hastighed!
- @Gerard Hvis du skulle tilføje masse til brodden og / eller friktionen til pullyen, så kan der være andre situationer, hvor systemet er / bliver i ro.
- Det ' er ikke sandt, at det forbliver på samme sted.Dets massecenter accelererer, fordi selvom m_1 går opad og m_2 nedad, er masserne forskellige, så de har en anden " vægt " i den globale bevægelse. Så hvis m_2 > m_1 og m_2 accelererer nedad, så går centrum af massen nedad.
- @Gerard: Højre, bemærk det til dit formål (dvs. total kraft, der virker på systemet) hvile eller bevægelse er ikke det, du ' virkelig leder efter. Jeg ' har været sjusket ved bare at fortælle dig: " systemet er ikke i ro " . Hvad ' er vigtigt, er total acceleration, og i dette tilfælde er det ' forskellig fra 0. En bevægelse med konstant hastighed behøver ingen kraft, der virker på systemet. Jeg ' stopper her, fordi vi ' misbruger lidt plads til kommentarer.
Svar
Systemet er ikke i ro. Hvis du betragter masserne og remskiven som et system, kan du forstå systemets opførsel ved opførelsen af dets massecenter. Medmindre masserne er ens, er systemets massepunkt ikke i ro.
Det kan være nyttigt at tænke på det på denne måde – Inde i systemgrænsen bevæger massen $ m_1 $ sig ned ad en afstand mens masse $ m_2 $ bevæger sig op med samme afstand. Så massacentret er flyttet ned (eller op afhængigt af, om $ m_1 > m_2 $).
Så spændingen vil blive givet ved ligningen:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Du kan arbejde videre med det
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, hvor a er værdien af accelerationen af massen $ m_1 $, som du har nævnt.
Sæt den i ligningen og du finder det ud:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Kommentarer
- Sådan vil jeg prøve at lære dette problem. Tak.
- Enhver chance for at du eller @Nick kunne kommentere løsningen i form af 4g * mu? Jeg ved, det kan være uden for rammerne af problemet, men når jeg ser sådanne forbindelser, prøver jeg at forstå dem.
Svar
Der er faktisk en fejl i dit argument. Kort sagt, spændingen på remskivelåsen er kun nødvendig for at annullere den samlede tyngdekraft på systemet, når alt er i ligevægt ibrium og der er ingen acceleration. Men hvis masserne ikke er i balance, vil den ene falde og den anden stige, og det er ikke klart, at dette vil holde den samlede kraft på den samme værdi som det afbalancerede tilfælde.
Faktisk du kan kontrollere, at når de to masser er ens så falder svarene sammen: den korrekte spænding på remskive er $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$