Bessel-filteroverførselsfunktionen er defineret via bessel-polynomer. Hvis vi for eksempel overvejer et 2. ordens filter, er overførselsfunktionen: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Jeg ville bygge en simulering til et sådant filter med en Sallen-Key-arkitektur. Derfor konsulterede jeg denne designvejledning af TI. De definerer overførselsfunktionen af en 2. ordens lavpas som:
Ao er 1, da jeg ønsker, at gevinsten skal være enhed. Jeg kiggede på tabellen nedenfor for korrekt beregning af C- og R-værdier.
Derfor bliver overførselsfunktionen: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Jeg kørte simuleringen og så på budgeplottet. Det viste det ønskede resultat (-3db cutoff-frekvensen var som beregnet).
Men jeg forstår ikke, hvorfor overføringsfunktionen ser så anderledes ud. Det er bestemt ikke et Bessel-polynom. Jeg kontrollerede trinresponset og observerede en overskridelse på 0,4%, som man kunne forvente for et Bessel-filter. Derfor har jeg 3 spørgsmål:
- Hvordan kommer det sig, at overføringsfunktionen i ti designguiden ikke er et bessel-polynom.
- Skal stangplaceringen af et 2. ordens Bessel-filter være den samme for ethvert filter med en bestemt afskæringsfrekvens?
- Kan en anden ordens bessel lavpas have en anden Q-faktor end 0,5773?
Tak!
Kommentarer
- Konstanten i nævneren for den sidste ligning H (s) skal være ” 1 ” i stedet for ” 3 “. Sidste spørgsmål: NEJ !. Det er kun Q-faktoren, der bestemmer Bessels respons.
- du har ret, det var en skrivefejl. Behøver stadig ikke at gøre meget med et bessel-polynom.
- Hvorfor ikke? Det er en typisk filterfunktion med et frekvensrespons kaldet ” Thomson-Bessel “. Hvad er dit problem? Selvfølgelig er filterfunktionen ikke identisk med ” matematisk Bessel polynominal “.
- Jeg don ‘ t forstår, hvorfor du har denne matematiske definition på den ene side og en overføringsfunktion, der er helt anderledes på den anden side. Hvor kommer disse koefficienter fra?
- Koefficienterne for de såkaldte Bessel-filtre beregnes ud fra kravet om en maksimal flad gruppeforsinkelse i passbåndet (sammenlignes med en maksimal flad amplitude for Butterworth filtes) . Det kan vises, at vi ved beregning af koefficienterne bruger de kendte Bessel-polynominaler (dette er en temmelig involveret procedure) – men det betyder ikke, at størrelsen af overføringsfunktionen har svar, der ligner Bessel-funktioner. Det er – som nævnt – den matematiske procedure bag konstateringen af koefficienterne. OK?
Svar
Hvorfor kommer overførslen funktion i ti designguiden er ikke et bessel-polynom.
Lad os se på den overførselsfunktion, du har skrevet: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Omarrangering: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Ligningen er nu i standardform: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Og tydeligt \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ dermed 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Denne bit er vigtig, fordi den er \ $ \ sqrt3 \ $.
For et Bessel 2. ordres lavpasfilter 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, derfor er zeta 0,866.
På billedet har jeg manipuleret R for at give mig et dæmpningsforhold (zeta) på præcist 1.732 – se på toppen i trinrespons – 1.00433 volt – nøjagtigt korrekt for Bessel. Se på faseforsinkelsen, der er afbildet på den øverste graf – maksimalt flad og gradvist bliver 90 grader ved den naturlige resonansfrekvens. Fd (den dæmpede frekvens) er nøjagtigt 0,5 – indikerer også Bessel.
Kan en anden ordens bessel lavpas have en anden Q-faktor end 0,5773?
0.5773 er den gensidige af \ $ \ sqrt3 \ $ og nej det skal ikke være, at Q for en Bessel LPF.
Kommentarer
- Årsagen til, at polynomet er forskelligt, er for frekvensskalering. En ikke-skaleret Bessel (OP ‘ s første formel) vil have \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $ med en dæmpning på ~ -1.597dB @ 1Hz – intet usædvanligt, Bessel er normalt til flad gruppeforsinkelse, ikke frekvens – så TI skalerede det, så det ‘ er den klassiske -3dB.
- @aconcernedcitizen hvorfor ikke gøre dette til et svar i stedet for at fastgøre det til mit svar, medmindre du selvfølgelig er for subtil og påpeger en fejl i mit svar, at jeg ‘ er for dum at genkende?
- Jeg havde skrevet dette som en kommentar, så svaret, som jeg kommenterer, kan opdateres, hvis det er nødvendigt. Men hvis du siger, at det skal være et svar, så gør det. Jeg ved ikke ‘ hvor kom ” dum ” fra.
Svar
Et Bessel-filter har, som du korrekt viser i din første formel, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Det er ikke usædvanligt, hvis du tror, at et Bessel-filter normalt bruges til sin flade gruppeforsinkelse snarere end dets frekvensadfærd (som @LvW siger i sin kommentar). Men at implementere et filter med denne overføringsfunktion vil give en ~ 1.597dB@1Hz dæmpning, hvilket ikke gør svaret klassisk. Så TI anvendte en frekvensskalering, så dæmpningen er -3dB @ 1Hz. Som det sker, er den kvadrerede frekvens (pulsering) \ $ \ phi \ $ = 1.618 … hvorefter de omarrangerede vilkårene, så de passer til deres opamp-topologi.