Hvis en bowlingkugle bevæger sig med en vis starthastighed, mens den glider, hvor langt vil den bevæge sig, før den begynder at rulle, når den oplever statisk friktion?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
Og der er også et drejningsmoment fra den kinetiske friktion på kuglen (R = kuglens radius )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implicerer \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
Betingelsen for at rulle uden at glide er $ v = R \ omega $ og fra det tidspunkt, hvor bolden kommer i kontakt med jorden, falder tværgående hastighed, mens vinkelhastigheden stiger til en punkt, hvor de er ens. Jeg er ikke sikker på, hvad jeg skal gøre på dette tidspunkt, for alt, hvad jeg prøver, ser ikke ud til at virke.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ antyder v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Jeg ved ikke helt, hvad jeg skal gøre med denne differentialligning, der ikke vandt involverer $ \ theta $, så jeg kan bruge den i den lineære bevægelsesligning. Jeg har prøvet at bruge tid, men jeg ved ikke, hvordan det ville hjælpe, og selve vinklen i sig selv er ubrugelig.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Jeg kan ikke sige $ x = R \ theta $ på grund af glidningen
Kommentarer
- (Interessant til side): Når det begynder at rulle uden at glide, stopper det aldrig! (medmindre vi inkluderer luftmodstand og / eller materialedeformation )
Svar
Lad os sige, at når din kugle først kommer i kontakt med jorden, har den indledende hastighed $ v_0 $ og indledende vinkelhastighed $ \ omega_0 = 0 $.
Du har et konstant drejningsmoment på kuglen, så din diff erentiel ligning er meget let at integrere for at få:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
For forskydningen skal du gå direkte med Newtons lov, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, som også har en konstant kraft og let kan integreres en gang for at få
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
Herfra skal du kunne bruge din $ v = \ omega R $ -tilstand for at finde ud af, hvor lang tid det tager bolden til begynder at rulle uden at glide, og når du har den tid, skal du integrere forskydning en gang til for at få
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
som giver dig den tilbagelagte afstand og indtaster den tid, du har beregnet før.
Kommentarer
- Mange tak. Det giver så meget mening, når du siger det