Okay, så jeg har reelle problemer med at skelne mellem Steady State-konceptet og den afbalancerede vækstvej i denne model :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Jeg er blevet bedt om at udlede steady state-værdierne for kapital pr. effektiv arbejdstager :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Samt forholdet mellem steady state mellem kapital og output (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Jeg fandt begge disse fine, men jeg er også blevet bedt om at finde “steady-state-værdien af det marginale produkt af kapital, dY / dK “. Her er hvad jeg gjorde:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Udskiftning af K i steady state (beregnet ved udarbejdelse af steady state for K / Y-forholdet ovenfor):
$$ K ^ {SS} = AL \ venstre (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ højre) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} til højre] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
For det første skal jeg vide, om denne beregning for steady state-værdien af MPK er korrekt?
For det andet er jeg blevet bedt om at skitsere tidsstierne for kapital-output-forholdet og det marginale kapitalprodukt for en økonomi, der konvergerer til sin afbalancerede vækstvej “nedenfra”.
Jeg har problemer med at forstå nøjagtigt, hvad den afbalancerede vækstvej er i modsætning til steady state, og hvordan jeg bruger mine beregninger til at finde ud af, hvordan disse grafer skal se ud.
Undskyld for den mammut post, enhver hjælp er meget værdsat! På forhånd tak.
Svar
Dette er når forsøg på nøjagtighed skaber forvirring og misforståelse.
Tilbage på dagen indarbejdede vækstmodeller ikke teknologiske fremskridt og førte til en langsigtet ligevægt præget af konstant størrelser pr. indbygger. Mundtligt syntes udtrykket “steady-state” passende at beskrive en sådan situation.
Derefter kom Romer og endogene vækstmodeller, som også skubbede de ældre modeller til at begynde med som en rutinemæssig funktion exogene vækstfaktorer (bortset fra befolkning). Og “pludselig” var udtryk pr. Indbygger ikke konstant i den langsigtede ligevægt, men voksede konstant . Oprindeligt beskrev litteraturen en sådan situation som “steady state in growth rate”.
Så ser det ud til, at erhvervet troede noget som “det er unøjagtigt at bruge ordet” stabil “her, fordi størrelsen pr. indbygger vokser. Hvad der sker er, at alle størrelser vokser i et afbalanceret hastighed (dvs. i samme hastighed, og så forbliver deres forhold nøjagtige). Og da de vokser, følger de en sti … “Eureka !: udtrykket” afbalanceret vækststi “blev født.
… Til frustration for studerende (i det mindste), som nu skal huske, at f.eks. “sadelstien” faktisk er en sti i fasediagrammet, men den “afbalancerede vækstvej” er kun et punkt! (for for faktisk at tegne et fasediagram og opnå en god gammel langsigtet ligevægt udtrykker vi størrelser pr. effektiv arbejdstager, og disse størrelser har en traditionel steady-state. Men vi kalder det fortsat “afbalanceret vækstvej”, fordi størrelsesorden pr. indbygger, hvilket er det, vi er interesseret i, i vores individualistiske tilgang) fortsætter med at vokse).
Så “afbalanceret vækststi” = “stabil tilstand af størrelser pr. effektivitetsenhed af arbejdskraft”, og jeg antager, at du kan finde ud af resten til dit fasediagram.
Svar
Efter samtalen med brugeren @denesp på kommentarer til mit tidligere svar, er jeg nødt til at afklare følgende: den sædvanlige grafiske enhed, vi bruger, er relateret til den grundlæggende Solow-vækstmodel (se for eksempel her , figur 2 ) er ikke et fasediagram, da vi med rimelighed kalder “fasediagrammer” dem, der indeholder nul-ændrings loci, identificerer krydsningspunkterne for dem som faste punkter i en dynamica l system, og undersøge deres stabilitetsegenskaber. Og det er ikke det, vi gør for Solow-modellen. Så det var skødesløs brug af terminologi fra min side.
Ikke desto mindre kan vi tegne et “halvfasediagram” til Solow-vækstmodellen i $ (y, k) $ space. Forståelse af symbolerne som “pr. Effektivitetsenhed” har vi systemet med differentialligninger (mens $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f “_k (k) \ cdot \ dot k $$ At skrive nulændringsligningen som en svag ulighed for også at vise de dynamiske tendenser, vi har
$$ \ dot k \ geq 0 \ implicerer y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ indebærer \ dot k \ geq 0 $$
Så dette system giver et enkelt nulændringslokus, en lige linje Ingen krydsningspunkter for at identificere et fast punkt Hvad kan vi gøre?Tegn også produktionsfunktionen i diagrammet, da $ (y, k) $ -rummet i realiteten ikke er dimensionelt, ikke et område, men en linje. Så får vi
lodrette / vandrette pile, der indikerer de dynamiske tendenser, kommer ordentligt fra de svage uligheder ovenfor (både $ y $ og $ k $ har tendens til at vokse, når de er over nul-ændrings locus). Da $ y $ og $ k $ er begrænset til at bevæge sig på den stiplede linje (som er produktionsfunktionen), følger det, at de bevæger sig mod deres faste punkt, uanset hvor vi starter. Her repræsenterer produktionsfunktionsgrafen i det væsentlige vejen mod langsigtet ligevægt, da konvergens er monoton.