Jeg kigger på en BEKK Multivariat GARCH-model.
I en standard GARCH-model forventer vi generelt,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Alfa ( $ \ alpha $ ) koefficient for at være betydeligt mindre end beta ( $ \ beta $ ), se f.eks. Verbeeks “Guide til moderne økonometriske kapitel om GARCH” med omkring 0,1 alfa og 0,8 beta.
Jeg flytter nu ind i en multivariat indstilling til en BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ slut {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ slut {matrix} \ højre] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
dvs. en MV-ARCH (1),
Ville nogen kende egnede parametre til $ A_ {ij} $ matrix med en reference? Og også BEKK (1,1) med GARCH-udtrykket,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Jeg har brug for egnede parameterværdier (som i hvad vi ville forvente) til A og B . Jeg forstår, at dette vil ændre sig betydeligt mellem datasæt osv. Men generelt, hvilke værdier vi måtte forvente?
Svar
Desværre er der ingen ligefremme kontrol på $ a_ {ij} $ “s og $ b_ {ij} $ ” s koefficienter i BEKK-sagen som $ \ alpha + \ beta < 1 $ sikrer stationaritet og svag tidsafhængighed i GARCH (1,1) sag. Betingelserne er lidt mere indviklede i BEKK-sagen.
Processen er stationær og svagt tidsafhængig (i den forstand at den “er en geometrisk ergodisk Harris tilbagevendende Markov-kæde), hvis alle egenværdierne i $ k ^ 2 \ gange k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ er mindre end 1 og $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ er positiv, men det vil altid være tilfældet med $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , da det er positivt bestemt af konstruktionen. $ \ otimes $ angiver Kronecker-produktet .
Teorem 2 i Comte og Lieberman (2003) siger, at denne betingelse sikrer, at den maksimale sandsynlighedsestimator er konsistent, og hvis vi yderligere antager, at processen har et endeligt sjette ordens øjeblik, er $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , derefter sætter sætning 3 i Hafner og Preminger (2009) asymptotisk normalitet af MLE.
Så vidt jeg ved, giver litteraturen ingen ligefremme parameterbegrænsninger, hvilket sikrer endelige øjeblikke af sjette orden i BEKK-processen. Sætning C.1 i tillægget til Pedersen og Rahbek (2014) giver tilstrækkelige betingelser for ARCH-versionen af den Gaussiske BEKK-proces ( $ B_ {11} = 0 $ ), for at have $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Disse betingelser er, at alle egenværdier for $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ skal være mindre end $ 15 ^ {- 1/3} \ ca. 0,4055 $ .
- F. Comte og O. Lieberman. Asymptotisk teori for multivariate GARCH-processer. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner og A. Preminger. Om asymptotisk teori for multivariate GARCH-modeller. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen og A. Rahbek. Multivariat variansmålretning i bæk-garch-modellen. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Kommentarer
- Ikke sikker på, om dette gælder for den særlige form for BEKK, der er undersøgt her, men McAleer " Hvad de ikke fortalte dig om algebraisk (ikke-) eksistens, matematisk (ir-) regelmæssighed og (ikke-) asymptotiske egenskaber ved den fulde BEKK dynamiske betingede kovariansmodel " (2019) viser, at BEKK måske ikke engang eksisterer undtagen under restriktive forhold og trækker tæppet op fra under 4500+ papirer med henvisning til BEKK.
- @Duffau et godt svar, men har du nogen ideer til, hvad kløften mellem A og B skal være?
- Tak @FrancisOrigi! Så husk at A og B er matricer, så der er ingen klar opfattelse af " gap ". I dynamiske systemer, hvor processen er defineret af matricer, bestemmer ofte en slags egenværdi systemets stabilitet. Ligesom for BEKK styres stabiliteten (stationaritet og svag afhængighed) af egenværdierne af de transformerede matricer, jeg har beskrevet ovenfor. Hvis du vil lære mere, vil jeg se på lineære Vector Autoregressions, de er den enkleste type med multivariat dynamik. De svarer til AR-modeller i den univariate verden.