Var (XY), hvis X og Y er uafhængige tilfældige variabler [duplikat]

Dette spørgsmål har allerede et svar her :

Kommentarer

  • Gør du har du nogle tanker om dette selv? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ ville være forkert – overvej et næsten helt sikkert konstant ikke-nul $ X $
  • Nej sir. Jeg kender Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 og E (XY) = E (X) E (Y) som X, Y er uafhængige, men ingen idé om X ^ 2 og Y ^ 2 er uafhængige eller ej.
  • Hvis $ X $ og $ Y $ er uafhængige, er $ X ^ 2 $ og $ Y ^ 2 $ også uafhængige og $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
  • Generel produkt sag her: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produkt af 2 er angivet i spørgsmålet)
  • Mange tak Glen_b

Svar

Du kan følge Henrys kommentarer for at komme til svaret. En anden måde at komme til svaret er dog at bruge det faktum, at hvis $ X $ og $ Y $ er uafhængige, så $ Y | X = Y $ og $ X | Y = X $ .

Ved itererede forventninger og variansionsudtryk

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ tekst {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}

Kommentarer

  • $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ kan være korrekt, men det er underligt ikke-symmetrisk som $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ ville være. Jeg ville have troet $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ ville være mere naturligt, mens $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ ville også være sandt
  • @Henry Nå, ved at bruge $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, får vi $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Den ' s symmetriske.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *