hvordan kan jeg beregne variansen af p som afledt af en binomialfordeling? Lad os sige, at jeg vender n-mønter og får k-hoveder. Jeg kan estimere p som k / n, men hvordan kan jeg beregne variansen i dette estimat?
Jeg er interesseret i dette, så jeg kan kontrol for varians i mine forholdsestimater, når jeg sammenligner mellem point med forskellige antal forsøg. Jeg er mere sikker på estimatet af p, når n er større, så jeg vil gerne kunne modellere, hvor pålideligt estimatet er.
På forhånd tak!
eksempel:
- 40/100. MLE for p ville være 0,4, men hvad er variansen i p?
- 4/10. MLE ville stadig være 0,4, men estimatet er mindre pålideligt, så der skulle være mere varians i p.
Svar
Hvis $ X $ er $ \ text {Binomial} (n, p) $ derefter MLE på $ p $ er $ \ hat {p} = X / n $.
En binomialvariabel kan betragtes som summen af $ n $ Bernoulli tilfældige variabler. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ hvor $ Y_i \ sim \ tekst {Bernoulli} (p) $.
så vi kan beregne variansen af MLE $ \ hat {p} $ som
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ tekst {Var} \ venstre [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ højre] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Så du kan se, at MLE-variansen bliver mindre for store $ n $, og at den også er mindre for $ p $ tæt på 0 eller 1. Med hensyn til $ p $ maksimeres det, når $ p = 0,5 $.
For nogle tillidsintervaller kan du tjekke Binomiale tillidsintervaller
Kommentarer
- Jeg synes, at linket ligner det, jeg ' leder efter, men jeg vil have en værdi, der svarer til variansen af p. Hvordan kan jeg få det fra konfidensintervallet?
- Jeg redigerede mit originale svar for at svare nærmere på dit spørgsmål.
- Hvordan håndterer du, at formlen for variansen kræver p, men du har kun et skøn på p?
- Du kan overveje at bruge en variansstabiliserende transformation såsom $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $, og så får du, at variansen af den transformerede variabel er $ \ tfrac {1} {4n} $